一道《中學數學》“新題征展”題的探究

☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

一道《中學數學》“新題征展”題的探究

☉甘肅省天水市第一中學 宮前長

一、問題提出

《中學數學》雜志2010年第3期（上）的“新題征展”（113）中的一道創新應用題：

如圖1，設P是⊙O：x2+y2=2上的一點，定點A（－1，0），過原點O作直線PA的垂線交直線x=－2于Q點.

（1）若點P的坐標為（1，1），求證：直線PQ與圓O相切.

（2）試探究：當點P在⊙O上運動時（除去圓與x軸的交點），直線PQ與⊙O是否保持相切的位置關系？若是，請證明；若不是，請說明理由.

題目特點：題目是以圓的標準方程給出，“定點”的出現與“直線PQ與⊙O是否保持相切的位置關系”的出現，給題目增加了亮點.第二問又以存在性問題的形式展示，進一步增強了題目的可讀性與探究的魅力，步步為營，層層誘導解題者堅定信心，促使持之以恒地進行探究，是一道考查直線與圓的位置關系的好題.

圖1

二、問題探究

1.解法賞析

又kPQ·kOP=-1，所以PQ⊥OP.故直線PQ始終與⊙O相切.

點評：上述解法是通性通法，自然具有一般性，有利于對本題進一步的探究.

2.剖析原題的“數”與“形”的關系

經過認真的思考，以逆向思維的方式將題目的“結構”與“數據”中潛藏的關系顯化出來，其思考的過程是：

從題目的“結構”（包含圖形）看，題中有“直線PQ與⊙O是否保持相切的位置關系”的結構，圖形中出現“雙垂直圖”（PQ⊥OP與PA⊥OQ）的結構；從題目的“數據”（包含等式）看，題中有“⊙O的方程：x2+y2=2”、“定點A（－1，0）”、“直線x=－2”的數據，解法中可歸納出斜率等式：kPQ·kOP=kPA·kOQ=－1.這些結論的出現，就會啟發對此題的進一步思考.

反思：從上述題解題過程中，憑直覺思維和對此題的感悟，通過反思題意和解題過程，提出問題：對所涉及的定點與給定的直線之間是否存在什么關系？定點、直線與圓之間是否也有某種關系？能否將其進一步一般化？等等.

感悟：從解決問題的特殊性進行思考：既然“直線PQ始終與⊙O相切”，自然就會將問題特殊化，過定點A（－1，0）作x軸的垂線與圓的交點的坐標為（-1，1），其切線方程是：－x+y=2，這時令y=0，就會得到切線與x軸的交點的橫坐標是－2，結合題目可知，此－2應該是題目給出的直線x=－2與x軸的交點的橫坐標.這就說明，定點與給出的直線方程之間是有一定聯系，而且也與圓之間存在一定的關系.依據上述的剖析和解法，可以將其第二問進一步一般化.

3.原題的探究——變式設計

思路：當點P在⊙O上運動時，直線PQ與⊙O保持相切，只需證明出kPQ·kOP=－1，或直線PQ的斜率與⊙O上在點P處切線的斜率相同即可.

綜合變式1、2，可以得到下面結論

三、原題的推廣——類比設計

大家知道，圓中的許多性質可以通過類比到橢圓、雙曲線中仍然是正確的，為此，對原題的條件進行適當地改變，從而得到橢圓中的類似問題.

圖2

思路：當點P在橢圓上運動時（除去橢圓與x軸的交點），直線PQ與橢圓始終保持相切的位置關系，只需要說明橢圓在點P的切線與直線x=－的交點Q恰好與原點O的連線經過直線PA被橢圓所截弦的中點即可.

1.宮前長.考題無獨有偶理念蘊藏厚重［J］.中國數學教育（高中版），2011（4）：24-27.