基于孔口出流模型的實驗研究及理論分析

祝 洋，段宇星，滕保華

（電子科技大學(xué)a.英才實驗學(xué)院，四川成都611731；b.物理電子學(xué)院，四川成都610054）

1 引 言

由大學(xué)物理可知液體中壓強只與液面高度有關(guān)[1－3]，并且可以利用基于孔口出流模型的實驗裝置對其進(jìn)行實驗驗證.當(dāng)液體從容器底部小孔流出時，液面高度下降，液體壓強將隨之下降.本文研究容器中液體出流過程中液面高度隨時間的變化規(guī)律，先利用孔口出流模型設(shè)計實驗裝置并進(jìn)行實驗分析，然后考慮液體的表面張力和黏滯力的影響對實驗結(jié)果進(jìn)行理論分析，最后確定影響容器中液面高度隨時間變化規(guī)律的因素.

2 實 驗

在內(nèi)徑為72.0mm的亞克力圓柱形桶底部分別鉆有內(nèi)徑為2.30，3.50，4.55，5.60mm的圓孔，內(nèi)盛墨水且起始液面高度為20.0cm，并將圓桶放在距離地面高60.0cm的平臺上，如圖1所示.在實驗過程中用2臺高清攝像機分別記錄液體出流過程中液面高度和孔口出水下落45.0cm后的水平位移[4].

對不同內(nèi)徑的圓孔分別進(jìn)行5次實驗，每組實驗采集不少于20組數(shù)據(jù).根據(jù)不同孔徑液體流盡所需總時間分別選取10，5，3，2s的時間間隔，并將所得數(shù)據(jù)取平均值作為最終實驗數(shù)據(jù)，由圖2中圓圈所示.鑒于不同孔徑所得的數(shù)據(jù)變化規(guī)律相似，圖2中只給出了圓孔孔徑為2.30mm的數(shù)據(jù).

圖1 實驗示意圖

圖2 液面高度與時間的關(guān)系圖

3 理論分析

孔口出流模型如圖1所示，設(shè)t時刻液面下降速度為dh（t）／dt，dt時間內(nèi)從小孔流出的液體質(zhì)量為dm，容器中減少的液體質(zhì)量為－d M，則有－d M＝dm.根據(jù)能量守恒有[5－8]：

于是得到理想情況下液面高度關(guān)于時間的非線性微分方程：

利用Matlab可以對式（2）進(jìn)行數(shù)值求解，結(jié)果如圖2中虛線所示.可見，理論結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)存在很大的差距，這是沒有考慮液體表面張力和黏滯力的必然結(jié)果.

表面張力造成的出流液體收縮和黏滯力造成的能量損失是影響液面高度變化的主要因素.由于液體表面張力的影響[9]，液體在出口后將收縮，直至距孔口約r處c－c斷面收縮完畢，如圖1中插圖所示.設(shè)收縮因數(shù)ε為收縮斷面面積與孔口面積之比，則由流量守恒得[5－6]：

另一方面，由于液體內(nèi)部存在黏滯力，出流過程中伴有一定的能量損失.設(shè)由液體黏滯力造成的能量損失為收縮斷面處液體動能的ζ倍，即

于是將理想情況下孔口出流模型的能量守恒關(guān)系修改為

從而有

很明顯，式（5）即是考慮修正因數(shù)后的非線性微分方程，它描述了計入容器中液體表面張力和黏滯力的影響后液面高度隨時間的變化規(guī)律.

若容器的內(nèi)徑比容器底部小孔的孔徑大得多，即R?r，則式（5）可進(jìn)一步簡化為

這里稱為流量系數(shù)[5].式（7）表明，當(dāng)R?r時，表面張力造成的出流液體收縮和黏滯力造成的能量損失2個因素可以用一常系數(shù)表征.

根據(jù)式（6）利用Matlab對數(shù)據(jù)擬合，可得到小孔口徑為2.30mm時的流量系數(shù)μ＝0.60.圖2中實線為理論曲線，而圓圈為實驗數(shù)據(jù)，可以看出，理論曲線已經(jīng)能準(zhǔn)確地刻畫實驗過程.同理，可以確定圓孔口徑分別為3.50，4.55，5.60mm時的液體流量系數(shù)，如表1所示.

表1 不同孔徑對應(yīng)的流量系數(shù)

表1顯示，隨著小孔孔徑的增加，流量系數(shù)也隨之增大，但增長幅度較小.

4 結(jié) 論

在孔口出流模型的框架下對圓柱體容器中液面高度隨孔口出流的變化規(guī)律進(jìn)行了實驗和理論研究，結(jié)果表明只有充分考慮液體表面張力引起的孔口收縮和黏滯力帶來的能量損失才能準(zhǔn)確描述實驗規(guī)律.同時發(fā)現(xiàn)，當(dāng)容器半徑遠(yuǎn)大于孔口半徑時，可以將上述2個因素用一流量參量來表征，并且它會隨著小孔口徑的增加而增大，但其增幅很小.

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