對FD－DB－Ⅱ型單擺實驗儀功能的拓展

潘友華，陸法林，陳 峰

（鹽城師范學院物理科學與電子技術學院，江蘇鹽城224051）

1 引 言

單擺實驗在大學基礎物理實驗中是一個重要的必做實驗，對此實驗的研究也較多[1－5].我們實驗室使用的上海復旦天欣科教儀器有限公司FDDB－Ⅱ型單擺實驗儀，采用集成開關型霍爾傳感器和電子計時器實現自動計時，能夠在較少的幾個振動周期內，精確地測得角振幅θ0（最大擺角）很小時的單擺周期，有效減少了計時誤差，從而能比較精確地測得重力加速度.在使用該儀器的過程中發現，儀器的功能還可以進一步拓展，在該實驗儀上增加了很少的幾個配件，結果表明：除可使儀器操作更加方便、實驗結果更加準確外，還能定量研究周期T與θ0的關系.

2 對裝置的改進

改進后的裝置如圖1所示，主要添加了2個配件：

1）可計算角振幅的刻度板

如圖2所示，刻度板是背面貼上薄平面鏡的刻度尺，將刻度板水平固定在支架上，并可沿支架上下位置任意調整，這樣可較為準確地讀出小球在角振幅位置時擺線（擺線上端點到刻度尺上邊的垂直距離為Y）的水平位移X，然后可以根據tanθ＝X／Y得出單擺的角振幅θ0.

2）電磁鐵控制擺球的釋放

圖1 改進后的裝置

圖2 刻度板的構造

自制電磁鐵如圖3所示，通電時該電磁鐵能吸住1個鐵質擺球.電磁鐵通過控制開關與電源相接，通電時擺球被吸住，斷電時擺球由靜止開始作自由擺動.將電磁鐵固定于特制的支架內，通過此支架可以任意調整電磁鐵的位置，支架可沿刻度板移動，應保證電磁鐵的中心在擺球運動的平面內.

圖3 電磁鐵的構造圖

3 實驗內容的拓展

主要從周期與角振幅的關系和測重力加速度兩方面作一些探討.

3.1 周期與角振幅

以往單擺測重力加速度實驗都局限在單擺在小角度（小于5°）內做近似等周期擺動的情況下，測量單擺周期，一般不涉及周期與角振幅之間的關系.小角度單擺的振動周期為T0＝2π，由于擺長l與g沒有變化，因此小角度單擺的振動周期是常量，與角振幅θ0無關.

單擺的實際振動周期為[5]

略去高階項，取一級近似有：

θ0很小時，取零級近似有：T＝T0＝2π.根據式（2）描繪的T／T0－θ0關系的理論曲線見圖4.從圖4可以看出，單擺的周期與角振幅有關，周期隨角振幅的增大而增大，不是線性關系.

圖4 實驗曲線

以特定擺長下的角振幅與周期關系為例，不考慮空氣阻力、擺線與懸掛點之間的摩擦力等因素，取擺線長度L1＝（75.60±0.05）cm，擺球半徑L2＝（1.013±0.001）cm，擺長為：L＝L1＋L2＝（76.61±0.05）cm，鹽城氣象局提供的當地重力加速度值為g＝9.795 9m·s－2，由此可得T0＝1.757 1s.

角振幅可先測得X和Y，再由tanθ0＝X／Y求得.實驗中測得不同角振幅下的周期，結果見表1（取Y＝0.720 0m）.

表1 周期與角振幅、的關系

表1 周期與角振幅、的關系

X／mθ0／（°）sin2θ0 T／s平均值0.046 5 3.70 0.001 040 1.758 1.758 1.758 1.758 1 21 2 3 4 5 6 7 8 9.758 1.756 1.758 1.756 1.757 1.757 4 0.080 5 6.38 0.003 096 1.758 1.758 1.758 1.759 1.759 1.759 1.758 1.759 1.758 1.758 4 0.114 5 9.04 0.006 205 1.760 1.760 1.760 1.760 1.759 1.760 1.760 1.760 1.760 1.759 9 0.120 5 9.50 0.006 859 1.760 1.759 1.760 1.761 1.760 1.760 1.760 1.761 1.761 1.760 2 0.145 5 11.42 0.009 907 1.761 1.762 1.761 1.762 1.762 1.760 1.762 1.762 1.762 1.761 6 0.165 5 12.95 0.012 708 1.763 1.762 1.763 1.7631.762 1.763 1.763 1.763 1.763 1.762 8

從圖4可以看出，隨著θ0增大T／T0逐漸增大，T／T0與θ0曲線的斜率也逐漸變大.實驗曲線與理論曲線基本吻合，驗證了單擺在角振幅較大時T／T0與θ0成非線性關系.

3.2 用單擺測重力加速度

用傳統的手控計時方法，單次測量周期的誤差可達0.1～0.2s，而多次測量又面臨空氣阻力使擺角衰減的情況，因而（2）式只能考慮到零級近似，而忽略.但是，當單擺振動周期可以精確測量時，可以考慮擺角對周期的影響，即可用一級近似公式.在此實驗中，測出不同的θ0所對應的周期T，利用Excel繪出曲線，如圖5所示，并將其外推，從截距得到單擺周期，從而更精確地測得重力加速度g.同時可得：相關系數r＝0.994 5，截距A＝1.757 0s，此即周期T.將T＝1.757 0s和θ0＝0代入（4）式，計算得到：g＝9.797 5m·s－2，該值與鹽城當地重力加速度的公認值很接近，實驗結果的相對偏差僅為0.016%.

圖5 曲線

4 結束語

改進后的單擺實驗儀可以通過刻度板計算出角振幅θ0，從而能定量研究周期T與角振幅θ0的關系.在測量重力加速度時，用曲線外推，從截距A得到周期T數據的處理方法得到更為精確的結果.電磁鐵的添加保證了擺球運動的初速度為0，提高了小球做單擺運動的成功率，也增強了整個實驗裝置的可操作性.可保證擺球在一段時間內做單擺運動.

[1] 鞠衍清.任意擺角單擺運動周期的一個近似公式[J].沈陽工業大學學報，2006，28（2）：230－232.

[2] 韋德泉，王秋芳.單擺的角振幅對其周期的影響[J].洛陽大學學報，2003，18（2）：102－103.

[3] 夏清華，楊國海.兩例非線性振動周期的計算[J].高等函授學報（自然科學版），1999（4）：28－30.

[4] 趙繼紅.單擺實驗數據處理[J].太原師范專科學校學報，2001（3）：12－13.

[5] 楊述武，馬葭生，賈玉民，等.普通物理實驗（力學及熱學部分）[M].3版.北京：高等教育出版社，2004：69－73.