無電刷法拉第模型電動機的動力學原理

萬樹德

（中國科學技術大學電磁學教學組，安徽合肥230026）

1 無電刷法拉第模型電動機

無電刷法拉第模型電動機如圖1所示，用于電磁學教學課堂演示.轉子線圈用漆包線繞制，近似矩形，線頭自兩側引出，刮去漆皮作為轉子線圈的轉軸，架在由2塊銅板做成的導體支架上.兩導體板通過開關K分別與干電池兩極焊接，接通開關K后電池供電有電流流過轉子線圈.在兩導電板之間、轉子線圈下方安放1塊銣鐵硼永磁體.通電的轉子線圈邊框通過磁體附近時會受到安培力的作用.

實驗現象如下：1）若K斷開，無論給轉子線圈任何方向的初始角動量，轉子線圈轉動幾圈后都將逐漸停止轉動；2）若K接通，給轉子線圈初始角動量，轉子線圈將會維持旋轉；3）若K接通，給轉子線圈一反向的初始角動量，轉子線圈也會維持旋轉.

在轉子線圈通電的情況下，只要給轉子線圈初始的角動量讓轉子線圈轉動，轉子線圈將維持轉動，轉動方向保持與原始轉動方向一致.

2 解釋實驗現象遇到的困難

實驗現象1）很好解釋，K斷開，轉子線圈無電流通過，磁場對轉子線圈無安培作用力，所受磁力矩為0，轉子線圈受空氣阻力、軸與支架間的摩擦力作用轉動逐漸停止，符合牛頓力學規律.

實驗現象2）和3）難以解釋.

很顯然，無電刷法拉第模型電動機不能改變流經轉子線圈的電流方向，應不能維持轉動.

為了便于說明問題，首先簡化問題，由于永磁體安裝位置原因，下部磁場較強，上部磁場較弱，假定上部磁場為0，下部磁場垂直向上，轉子線圈下邊框處在磁場中，受到安培力作用，上邊框所受安培力為0.n是轉子線圈平面法線方向單位矢量，與線圈電流的右手螺旋旋進方向平行，設它與中垂軸z的夾角為θ，這樣無電刷法拉第模型電動機可用圖2表示.ω＝dθ／dt是轉子線圈的旋轉角速度，旋轉方向由箭頭標示.

因轉子線圈轉軸兩側導線電流方向相反，分別處在下部磁場區域時所受安培力方向相反，相對轉軸的磁力矩方向也是相反的.這樣，轉子線圈每旋轉1周（θ改變2π），總有半周（0～π）所受磁力矩與另外半周（π～2π）所受磁力矩的方向相反而且大小相等.即有半周（π～2π）所受磁力矩與轉子線圈初始角動量平行，使轉子線圈轉動加速，角動量增加；另半周（0～π）所受磁力矩與轉子線圈初始角動量反平行，使轉子線圈轉動減速，角動量減小.

圖2 無刷法拉第電動機模型

轉子線圈角動量的改變量等于轉子線圈所受的沖量矩[1－2]：

據分析，θ由0～π與由π～2π間角動量的改變量滿足大小相等方向相反，即：

或者，轉子線圈每轉動1周由安培力所引起的角動量的改變量為0，即：

如果不考慮空氣阻力、轉軸與支架間的摩擦力，只要給轉子線圈一初始角動量，轉動可以一直維持，事實上（實驗現象1說明）空氣阻力、轉軸與支架間的摩擦力是客觀存在的，在旋轉過程中，耗散力帶給轉子線圈的沖量矩或角動量增量為負值，無電刷通電轉子線圈是不能夠維持轉動的，這與實驗現象2）和3）結果相矛盾.

關于無電刷法拉第模型電動機持續轉動原因，首先可能是由于轉子線圈關于轉軸兩側匝數不對稱所造成的，線圈轉軸一側比另一側多1匝，如圖3所示.

圖3 轉子線圈（轉軸兩側匝數不對稱）

這樣轉子線圈每旋轉1周有半周所受安培力比另半周所受安培力小，如果碰巧安培力小的半周是發生在阻止轉子線圈轉動的情況下，那么轉子線圈能夠持續轉動就可以解釋了.如果如此，只要改變永磁體磁極方向或改變流經線圈電流方向，安培力小的半周就會發生在加速轉子線圈轉動的情況下，轉動就會停止.分別翻轉磁體的磁極、改變流經轉子線圈電流方向重復上述實驗，轉子線圈仍然將會維持旋轉.說明無電刷法拉第模型電動機能夠維持轉動不是由于轉子線圈關于轉軸兩側匝數不對稱所造成的.為了進一步證明這一結果，重新繞制了轉子線圈，使轉軸兩側匝數關于轉軸對稱，如圖4所示.重復實驗的結果還是不支持無電刷法拉第模型電動機轉動是由于轉子線圈關于轉軸兩側匝數不對稱引起的推測.

圖4 轉子線圈（轉軸兩側匝數對稱）

在上述討論中認為流經轉子線圈的電流大小不變.如果考慮轉子線圈轉動時切割磁感線，電磁感應可以引起流經轉子線圈中的電流的改變，電流不同安培力的大小不同，可能是驅動轉子線圈轉動，使無電刷法拉第模型電動機維持轉動的原因.動生電動勢的大小為[2]

由圖2可看出，θ由0～π間磁力矩方向與角動量方向相反，阻止轉子線圈轉動，而感應電流方向與線圈原電流方向一致，考慮電磁感應情況下磁力矩更大；θ由π～2π間磁力矩方向與角動量方向一致，加速轉子線圈轉動，而感應電流與線圈原電流方向相反，考慮電磁感應情況下磁力矩更小，2個區域的角動量改變量大小不相等，即：分析結果表明：考慮電磁感應比不考慮電磁感應的情況下，阻止轉子線圈轉動的磁力矩比加速轉子線圈轉動的磁力矩更大，每旋轉1周角動量的減小量大于角動量的增加量.考慮電磁感應轉動停止得更快.解釋實驗現象2）和3）也遇到困難.

3 轉子線圈轉軸跳動假設

轉子線圈的轉動軸托舉在導電支架上，除了支架對它向上托舉約束之外沒有其他約束存在，因此提出轉軸跳動假設，對無電刷法拉第模型電動機轉動給出動力學解釋.

θ由π～2π間磁力矩方向與角動量方向一致，加速轉子線圈轉動，線圈轉軸不會跳動.

考慮θ由0～π／2間轉子線圈跳離支架使這時本應減速轉動變成磁力矩等于0的自由轉動，只要此過程引起減小的角動量減小量能彌補旋轉1周耗散力引起的角動量減小量，旋轉將可持續.

4 實驗驗證

要驗證上述推測是否正確并不難，線圈跳起電路斷開，流經線圈電流等于0，只要設法測量流過線圈的電流隨時間的變化就可判斷出線圈是否跳起.

測量方法：用示波器測量兩導電板間的電壓隨時間變化波形.當線圈轉動時轉軸與支架相接觸情況下有電流流過線圈，導電板間電壓就是線圈端電壓，小于電源電動勢；當線圈跳起無電流流過線圈，導電板間電壓等于電源電動勢.通過測量導電板間的電壓變化波形可知線圈是否跳起.

測量結果如圖5所示，跳動確實發生了.橫坐標2.5～6.5之間對應θ改變了2π，即轉子線圈旋轉1周.2.5～3.2間線圈跳起，此時無電流流過線圈，兩導電板間的電壓等于電源電動勢1.5V，對應的θ改變約為這與θ在0～區間會跳離支架分析結果相符；在3.2～4.7間對應于θ在～π區間，線圈受到安培力制動，造成轉軸施予支架更大的力，分析結果線圈不會跳動，實驗結果卻相反，發生了一連串的持續時間很短的跳動，可能的原因是：前次跳動落下時撞擊支架、加上落下時瞬間接通電源制動磁力矩使得轉軸施予支架更大壓力引起轉軸彈性形變而反彈所致，因彈跳高度不高持續時間很短.但這些彈跳對維持轉子線圈的轉動也都是有利的.4.7～6.5間線圈沒有跳動保持電源接通，對應θ在π～2π區間磁力矩使轉子線圈加速情況.跳動是周期發生的，而且發生在θ在0～π區間，安培力阻止線圈轉動的情況下，確保轉子線圈每旋轉1周由磁力矩引起的角動量的增加量大于減小量，即：

圖5 兩導電板間的電壓波形

或

這樣無電刷法拉第模型電動機維持不停轉動得以解釋.雖能夠維持轉動，但不能向外輸出動力.

[1] 楊維纮.力學與理論力學（上冊）[M].北京：科學出版社，2008：107.

[2] 胡友秋，程福甄，葉邦角.電磁學與電動力學（上冊）[M].北京：科學出版社，2008：119，189.