電磁軌道發(fā)射狀態(tài)下導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)

田振國，白象忠，楊 陽

（燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004）

電磁軌道發(fā)射裝置在軍事和工業(yè)領(lǐng)域中有巨大的應(yīng)用潛力，但是，一些難以克服的問題卻阻礙了它從實(shí)驗(yàn)室走向?qū)嶋H應(yīng)用的進(jìn)程［1］。例如，為達(dá)到高速重復(fù)發(fā)射的要求，該如何克服導(dǎo)軌發(fā)射過程中導(dǎo)軌內(nèi)側(cè)燒蝕的問題?從而達(dá)到高速重復(fù)發(fā)射的要求；如何實(shí)現(xiàn)小體積大能量的發(fā)射要求?等等。目前國內(nèi)外學(xué)者一方面著眼于改善導(dǎo)軌或?qū)к墐?nèi)側(cè)的材料，或者通過采用新的導(dǎo)軌與電樞間的導(dǎo)電方式來避免導(dǎo)軌燒蝕；另一方面，通過計(jì)算導(dǎo)軌發(fā)射過程中導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)及導(dǎo)軌的應(yīng)力應(yīng)變狀態(tài)，來分析導(dǎo)軌發(fā)射狀態(tài)下的受力及變形規(guī)律［2］。文獻(xiàn)［3］將導(dǎo)軌簡化為彈性地基梁，并假設(shè)電樞勻速通過導(dǎo)軌的情況下，討論了導(dǎo)軌長度等參量對共振速度的影響。文獻(xiàn)［4］研究了發(fā)射狀態(tài)下導(dǎo)軌的彈性波，并討論了電樞臨界速度與接觸壓力之間的關(guān)系。文獻(xiàn)［5］通過數(shù)值模擬的方法，研究了等離子體的粘滯阻力和惰性阻力對電樞運(yùn)動的影響。但是，這些研究都沒有考慮電樞對導(dǎo)軌作用力和電樞的變加速運(yùn)動的特征。到目前為止，對電樞加速運(yùn)動狀態(tài)的導(dǎo)軌響應(yīng)的研究，仍然十分少見。

電磁軌道發(fā)射器在發(fā)射過程中，當(dāng)電流通入導(dǎo)軌后，電樞受到強(qiáng)大的推力作用，將沿導(dǎo)軌作變加速運(yùn)動。由導(dǎo)軌間電磁場分布及通入電樞的電流強(qiáng)度值，可以得到電樞在發(fā)射過程中所受到的推力，進(jìn)而得到電樞的運(yùn)動方程；再通過計(jì)算導(dǎo)軌間相互作用的斥力與在焦耳熱作用下電樞的膨脹量，則可得到導(dǎo)軌上的移動荷載值及其變化規(guī)律。考慮導(dǎo)軌發(fā)射裝置的實(shí)際結(jié)構(gòu)，將簡化為彈性地基梁的導(dǎo)軌控制方程進(jìn)行Fourier變換，便可導(dǎo)出發(fā)射過程中導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)方程及其解。通過算例，分析了導(dǎo)軌幾何參數(shù)、通入電流的強(qiáng)度及外包層的彈性特征等量對導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)的影響，從而可為發(fā)射軌道的設(shè)計(jì)提供理論計(jì)算的依據(jù)。

1 導(dǎo)軌的動力學(xué)控制方程及其求解

電磁導(dǎo)軌發(fā)射裝置結(jié)構(gòu)如圖1所示。電流由一側(cè)導(dǎo)軌流入，流經(jīng)電樞，然后由另一側(cè)導(dǎo)軌返回；電樞在兩導(dǎo)軌間產(chǎn)生的強(qiáng)磁場受到電場力與洛侖茲力作用后，沿導(dǎo)軌滑動。在此過程中，導(dǎo)軌受到導(dǎo)軌間相互作用的斥力、電樞作用在導(dǎo)軌上的壓力和導(dǎo)軌周圍固定裝置的彈性支撐反力的作用，因此，可將導(dǎo)軌看作如圖2所示的彈性地基梁，其動力學(xué)控制方程為［6］：

式中：w（x，t）為導(dǎo)軌撓度，q（x，t）=q1（t）［1－H（xl（t））］+q2（t）H［a2－（x－l（t））2］為作用在導(dǎo)軌上的移動荷載，EI為導(dǎo)軌的抗彎剛度，k為地基彈性系數(shù)，ρ為導(dǎo)軌材料的質(zhì)量密度，h、d分別為導(dǎo)軌的厚度和高度。q1（t）為導(dǎo)軌間相互作用的斥力集度，q2（t）為電樞作用在導(dǎo)軌上壓力的集度，2a為電樞沿導(dǎo)軌方向的長度，l（t）為t時刻電樞沿導(dǎo)軌移動的距離，H（xl（t））、H［a2－（x－l（t））2］均為 Heaviside階躍函數(shù)。

圖1 導(dǎo)軌發(fā)射裝置簡圖Fig.1 Schematic of rail launcher

將式（1）進(jìn)行關(guān)于x、t的二維 Fourier變換，得［7］：

其中，α，β為二維Fourier變換中的積分變量。則：

將式（3）進(jìn)行 Fourier逆變換即可得到導(dǎo)軌撓度，即：

式（4）即為導(dǎo)軌發(fā)射過程中導(dǎo)軌撓度w（x，t）的表達(dá)式。

圖2 導(dǎo)軌發(fā)射狀態(tài)的受力簡圖Fig.2 Schematic of loading at launching state

2 發(fā)射過程中導(dǎo)軌及電樞的受力分析

2.1 導(dǎo)軌發(fā)射過程的機(jī)電模型

將導(dǎo)軌發(fā)射器看成是電源的一個負(fù)載，導(dǎo)軌為沿其長度分布的電阻和電感。在正常發(fā)射狀態(tài)下，發(fā)射器后堂電壓為［8］：

其中：L'r為導(dǎo)軌電感梯度，i（t）為流經(jīng)導(dǎo)軌的電流強(qiáng)度，v（x）為電樞速度，R（x）為系統(tǒng)電阻。

考慮到導(dǎo)軌的趨膚效應(yīng)及系統(tǒng)電感，在平頂脈沖電流激勵下，導(dǎo)軌發(fā)射裝置的負(fù)載電阻和電感分別為：

根據(jù)系統(tǒng)能量，可計(jì)算出電樞沿導(dǎo)軌移動距離為［8］：

采用迭代法，把放電電壓作為初始量，由式（6）～式（8）可計(jì)算出系統(tǒng)電流強(qiáng)度、電感、電阻、電樞移動距離以及趨膚深度等量，根據(jù)這些參量得到新的后堂電壓。如此反復(fù)，就可以計(jì)算出發(fā)射過程中實(shí)時的電流強(qiáng)度、系統(tǒng)電阻、電感、電樞的移動距離。

2.2 電樞推力的計(jì)算

如圖3所示，根據(jù)通入導(dǎo)軌的電流強(qiáng)度i（t）可以得到導(dǎo)軌間任一點(diǎn)A（xA，yA，zA）的磁感應(yīng)強(qiáng)度，再考慮到電樞的電流密度，則可計(jì)算出電樞上任一點(diǎn)受到的洛侖茲力［9］。由此，對其沿整個電樞體積進(jìn)行積分，便可得到電樞受到電磁驅(qū)動力沿軌道方向的合力。隨著電樞的移動，整個電流通路的電阻也將發(fā)生變化。如果外加的是穩(wěn)恒電源，那么通入軌道的電流強(qiáng)度、導(dǎo)軌間的磁場、流經(jīng)電樞的電流密度、電樞受到的推力都將是時間的變量。在圖3所建立的坐標(biāo)系中，電樞受到的推力經(jīng)推導(dǎo)為：

其中：b為兩導(dǎo)軌間距離，μ0為真空磁導(dǎo)率。

圖3 坐標(biāo)系的建立Fig.3 Establishment of coordinate

2.3 兩導(dǎo)軌間相互作用斥力的計(jì)算

導(dǎo)軌通入電流后，導(dǎo)軌間產(chǎn)生磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的電磁場，由安培力計(jì)算公式 dF=i（t）dl×B［9］，經(jīng)推導(dǎo)可得電樞經(jīng)過的導(dǎo)軌部分導(dǎo)軌間的斥力的集度為：

2.4 電樞與軌道間接觸力計(jì)算

當(dāng)電流流經(jīng)電樞時，由于焦耳熱效應(yīng)，電樞內(nèi)勢必產(chǎn)生熱量。因電磁軌道發(fā)射裝置通常采用電容單次放電的形式，可近似地認(rèn)為電流在電樞內(nèi)均勻分布。如果僅僅考慮電樞表面與外部的熱交換——即電樞所發(fā)出的熱量：一部分用于增加電樞的焓，另一部分則損失于外界——電樞溫度就會沿電樞y方向分布為［10］：

假設(shè)兩側(cè)軌道限制了電樞的熱膨脹，且沿y方向取平均溫度作為電樞應(yīng)變的計(jì)算依據(jù)，由于作用時間非常短暫，可忽略溫度隨時間的變化，則得電樞的熱應(yīng)變?yōu)椋?1］：

式中αT為電樞材料的線膨脹系數(shù)。電樞作用在軌道上荷載的集度為：

其中Ed為電樞材料的彈性模量。

3 發(fā)射過程中導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)

當(dāng)導(dǎo)軌通入強(qiáng)電流后，電樞將沿導(dǎo)軌變加速向前滑動，電樞滑動過的導(dǎo)軌部分受到相互作用的斥力和電樞對導(dǎo)軌的作用力。考慮式（1）、和式（2）經(jīng)Fourier變換有：

可得電樞沿軌道滑動時導(dǎo)軌撓度表達(dá)式為：

再考慮到式（10）、式（13）則可得導(dǎo)軌發(fā)射過程中導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)，應(yīng)用Matlab軟件編制程序即可得到導(dǎo)軌撓度的數(shù)值解。

4 算例分析

如圖1所示，取導(dǎo)軌的長度為2 m，高度d=20 mm，厚度h=20 mm，兩導(dǎo)軌間距離b=20 mm；銅質(zhì)導(dǎo)軌的質(zhì)量密度為ρ=8 900 kg/m3，彈性模量E=100 GPa，泊松比 ν=0.3，電導(dǎo)率 σ =5.88 ×107（Ω·m）－1；導(dǎo)軌電感梯度L'r=0.451 24 μH/m。系統(tǒng)初始電阻R0=0.001 5 Ω，初始負(fù)載電感L0=0。鋁質(zhì)電樞沿導(dǎo)軌方向長度2a=20 mm，厚度為20 mm，高度為20 mm，電導(dǎo)率為 σD=3.6 ×107（Ω·m）－1，質(zhì)量密度為 ρd=2 700 kg/m3，線膨脹系數(shù) αT=2.35 ×10－5（℃）－1，熱傳導(dǎo)系數(shù) λT=237 W/（m·℃），彈性模量Ed=100 GPa，表面放熱系數(shù)αF=500 W/（m2·℃）。系統(tǒng)放電電壓U0=800 V，真空磁導(dǎo)率 μ0=1.256 ×10－6H/m，地基彈性系數(shù)k=10 GPa，導(dǎo)軌兩端自由。

圖4 導(dǎo)軌撓度隨時間變化規(guī)律Fig.4 Variation of rail’s deflection with time

圖5 電樞移動距離隨時間變化曲線Fig.5 Curves of armature moving distance with time

圖4為電磁軌道發(fā)射過程中導(dǎo)軌撓度的變化規(guī)律。從圖中可以看出導(dǎo)軌不同位置的撓度隨著電樞移動的動態(tài)響應(yīng)。圖5為在不同放電電壓情況下，電樞在導(dǎo)軌中的移動情況，可見通入電壓越高，發(fā)射時間越短。當(dāng)放電電壓U0=1 000 V時，電樞移動至發(fā)射端口只需 1.06 ms。

圖6為在不同放電電壓情況下電樞沿導(dǎo)軌滑動速度的變化曲線。圖中可見，當(dāng)放電電壓為U0=800 V時，出口彈丸出口速度大約為3 013 m/s。圖7為距發(fā)射端1.2 m處導(dǎo)軌撓度隨電樞滑動位置的變化曲線。從圖7中可以看出僅考慮導(dǎo)軌間斥力作用時，導(dǎo)軌發(fā)射前段此位置的撓度很小；當(dāng)電樞到達(dá)1.2 m處時，此處撓度急劇增大，電樞經(jīng)過后撓度緩慢變小。當(dāng)僅考慮電樞對導(dǎo)軌作用時，導(dǎo)軌發(fā)射前段此位置撓度很小；當(dāng)電樞到達(dá)1.2 m處時，此處撓度急劇增大，且影響程度比導(dǎo)軌間的斥力大得多；可當(dāng)電樞經(jīng)過此處后，此處的撓度迅速減小，這也正反映了兩種載荷的不同性質(zhì)。圖8反映了導(dǎo)軌不同位置的撓度隨電樞移動距離的變化而變化。不難看出：圖中不同位置的撓度出現(xiàn)峰值的時間不同。當(dāng)電樞滑動至相應(yīng)位置時，撓度出現(xiàn)峰值，且不同位置的峰值是不同的。這是由于電樞移動過程中，系統(tǒng)電阻和電感變化導(dǎo)致電流密度發(fā)生變化造成的。

圖6 電樞速度隨電樞移動距離變化曲線Fig.6 The velocity curves of armature versus the armature moving distance

圖7 導(dǎo)軌1.2 m處撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.7 Variation of deflection at 1.2m of rail versus the armature moving distance

圖8 導(dǎo)軌不同位置撓度隨電樞移動距離變化曲線Fig.8 Deflection of different place versus the armature moving distance

圖9 放電電壓對導(dǎo)軌1.2 m撓度的影響Fig.9 The effect of discharge voltage on deflection of rail 1.2 m

圖10 導(dǎo)軌厚度對撓度的影響Fig.10 The effect of rail thickness on deflection of rail

圖11 地基彈性系數(shù)對導(dǎo)軌撓度的影響Fig.11 The effect of elasticity coefficient on deflection of rail

圖9、圖10、圖11分別討論了距發(fā)射端1.2 m處導(dǎo)軌撓度與放電電壓、導(dǎo)軌厚度以及地基彈性系數(shù)的關(guān)系。可見，此處導(dǎo)軌撓度的峰值總是在電樞經(jīng)過該處時出現(xiàn)。地基彈性系數(shù)越小，放電電壓越大，其撓度峰值也越大。這是由于電壓增大，電樞膨脹量變大，施加在導(dǎo)軌上的載荷增大，導(dǎo)軌約束變?nèi)醵鴮?dǎo)致的。導(dǎo)軌厚度變化影響電流密度值、導(dǎo)軌間磁場以及導(dǎo)軌的抗彎剛度。然而，就綜合影響來看，導(dǎo)軌剛度的增加是導(dǎo)致其撓度變小的主要原因。

5 結(jié)論

由計(jì)算結(jié)果可見：

（1）導(dǎo)軌的動態(tài)響應(yīng)與通入電流的強(qiáng)度、導(dǎo)軌的尺寸、外包層的剛度等參數(shù)有關(guān)。導(dǎo)軌間作用與電樞對導(dǎo)軌的作用相比，顯然電樞對導(dǎo)軌動態(tài)響應(yīng)的影響起主要作用。

（2）導(dǎo)軌撓度的最大值具有隨著電樞移動而移動的特征。

（3）增大外包層剛度，或者降低放電電壓，均可以有效地減小導(dǎo)軌的變形。

從實(shí)際需要考慮，欲達(dá)到出口高速度就必須增大電壓，減少系統(tǒng)電阻，改善電樞材料的力學(xué)及傳熱學(xué)性能。例如選擇導(dǎo)電性能良好而熱漲系數(shù)和質(zhì)量很小的材料作電樞，將是提高出口速度、降低導(dǎo)軌變形的有效方法。最佳參數(shù)的選擇，都可以通過理論分析和數(shù)值計(jì)算得到。

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