考慮剪切變形的圓弧深拱參數共振穩定性分析

趙洪金，劉 超，2，董寧娟，吳敏哲

(1.西安建筑科技大學 土木工程學院，西安 710055;2.西安建筑科技大學 理學院，西安 710055;3.中國飛機強度研究所，西安 710065)

圓拱是一種被廣泛應用于土木工程實際中的建筑結構.在外部壓力作用下，圓拱的受力分析和穩定計算是工程設計所關心的主要問題，現有文獻多針對淺拱動力穩定性分析［1－5]。這些研究成果代表了拱結構動力穩定問題的研究現狀，但是這些研究工作都沒有考慮剪切變形的影響。目前高速公路中的小跨徑拱橋有相當一部分是大曲率深拱橋。當拱的圓心角較小、弧長較短時，截面尺寸相對于跨徑來說較大，剪切變形［6]的影響不能忽略，此時是深拱［7]問題。

在土木、機械等實際工程中兩端鉸支邊界條件是很少采用的，采用較多的固支邊界條件。但是鉸支邊界條件的研究可以為固支邊界的研究提供理論上的借鑒。本文根據能量法，建立以位移為基本未知量的圓拱總勢能，從Hamilton原理出發，建立了考慮剪切變形的圓弧深拱的動力穩定微分方程，利用Galerkin方法將其轉化為二階常微分Mathieu型參數振動方程，求得周期解所包圍的動力不穩定區域。探討了圓弧深拱發生參數振動的動力穩定性問題，分析了剪切變形、圓弧半徑、圓心角等參數對圓弧深拱動力穩定性的影響，為結構工程動力分析與設計提供參考依據。

1 圓弧深拱微分方程

如圖1所示，深拱截面形心沿切向方向的位移為u、沿徑向方向的位移為v、橫截面繞軸的轉角為ψ。

圖1 兩鉸圓弧深拱反對稱失穩Fig.1 Asymmetrical buckling of hinged circular deep arch

拱軸的軸向應變ε由兩部分組成:由于截面形心位移u引起的軸向應變為由于徑向位移v引起的應變為則:

假設拱軸不可壓縮，即ε=0，得到:

因截面轉角ψ引起的曲率增量為:

截面剪應變為:

因此圓弧深拱應變能為:

外力勢能為:

系統的動能為:

根據Hamilton原理，有:

分別對u，ν，ψ進行變分，得到徑向周期荷載作用下圓弧深拱的動力穩定微分方程:

式中:m為單位長度拱的質量;E為拱的彈性模量;G為拱的剪切模量;A為截面面積;I為截面慣性矩;μ為截面的剪切變形系數。

考慮兩鉸圓弧拱在徑向均布荷載作用下的彈性失穩為反對稱失穩［8]，位移取如下級數形式:

其中λk=/α，α為拱的圓心角，滿足拱的邊界條件，消去變量ψ方程轉化為:

根據正交性條件［1]:

將式(13)代入式(12)后，利用Galerkin方法進行離散，可得到以下常微分方程

式中qcrk表示第k個臨界荷載值:

考慮一階彈性失穩為反對稱失穩，臨界系數λ1=π/α，對應的一階臨界荷載為:

結果與文獻［7] 計算的相同。將式(14)寫成矩陣形式:

為了確定由周期解所包圍的不穩定區域，設式(15)有周期4π/θ的周期解為:

代入式(15)整理合并同類項，根據周期解存在的條件得到臨界頻率方程為:

式中:

在求主動力不穩定區域時，可取方程式(17)第一階主子式:

第一近似得到臨界頻率公式為:

由此即可確定出位于θ=2Ω附近的動力不穩定區域，便有足夠的精確度。

對于周期2π/θ的周期解為:

偶數決定的動力不穩定區域，也可得到相似的方程，求解過程從略。

3 算例分析

模型拱參數:兩鉸圓弧拱，橫截面為矩形截面，結構尺寸b×h=1 m×1 m，面積A=1 m2，材料的彈性模量 E=2.1 ×105MPa、剪切模量 G=8.4 ×104MPa，截面的剪切修正系數 μ =5/6［12]，截面面積二階矩I=bh3/12=1/12 m4。

圖2 兩鉸圓弧模型深拱Fig.2 Hinged circular model deep arch

由圖3可知，當圓心角為固定值時，隨著圓弧深拱半徑增加，結構發生參數共振時的頻率降低，動力不穩定區域迅速擴大，說明半徑越大，發生參數共振的可能性也越大，因此圓弧半徑是決定拱結構動力不穩定區域的重要因素。

由圖4可知，當半徑一定時，隨著圓心角的增加，相應的結構發生參數共振時的頻率也降低，動力不穩定區域擴大，說明圓心角越大，發生參數共振的可能性也越大，可見圓心角也是決定拱結構動力不穩定區域的重要因素。但對動力不穩定區域的影響相比半徑要小一些。

由圖5和圖6可知，圓弧拱發生參數共振時，考慮剪切變形的動力不穩定區域要小于不考慮剪切變形時的動力不穩定區域。

在矢跨比較小時，剪切變形對深拱的臨界荷載值以及結構發生參數共振時的頻率影響較大，因此對動力不穩定區域的影響比較明顯，但隨著失跨比增加，對動力不穩定區域的影響逐漸減小。

圖3 半徑對圓弧深拱動力不穩定區域的影響Fig.3 Effect of radius on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

圖4 圓心角對圓弧深拱動力不穩定區域的影響Fig.4 Effect of central angle on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

圖5 隨著矢跨比改變剪切變形對圓弧深拱動力不穩定區域的影響Fig.5 Effect of shear deformation with the change of rise－span ratio on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

在長細比較小時，剪切變形對深拱的臨界荷載值以及結構發生參數共振時的頻率影響較大，因此對動力不穩定區域的影響比較明顯，但隨著長細比的增加，對動力不穩定區域的影響逐漸減小。

圖6 隨著長細比改變剪切變形對圓弧深拱動力不穩定區域的影響Fig.6 Effect of shear deformation with the change of slenderness ratio on principal regions of dynamic instability for circular deep arch

4 結論

根據能量法計算的靜力臨界荷載與平衡法計算的結果相同，表明本文方法是正確的。考慮剪切變形時圓弧拱彈性屈曲時的臨界荷載小于不考慮剪切變形時的臨界荷載。

隨著圓弧半徑和圓心角的增加，結構發生參數共振時的頻率降低，動力不穩定區域迅速擴大，因此圓弧半徑是決定拱結構動力不穩定區域的重要因素。

剪切變形不僅能減小拱彈性屈曲時的臨界荷載，降低靜力穩定性，同樣能夠增大拱發生參數共振時的動力不穩定區域，降低動力穩定性。因此對于圓弧深拱來說，無論是靜力穩定問題還是動力穩定問題，剪切變形的影響都不可忽略。

［1] 鮑洛金，符 華，著.彈性體系的動力穩定性［M] .林硯田，等譯.北京:高等教育出版社，1960.

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［3] 易壯鵬，趙躍宇，朱克兆.幾何缺陷淺拱的動力穩定性分析［J] .計算力學學報，2008，25(6):932－938.

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［5] Tien W M，Namachchivaya N S，Bajaj A K.Non-linear dynamics of a shallow arch under periodic excitation-I.1∶2 internal resonance［J] .International Journal of Non-Linear Mechanics，1994，29(3):349－366.

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［7] 夏桂云，李傳習，曾慶元.大曲率圓弧深拱平面彈性穩定分析［J] .工程力學，2008，25(1):145－149.

［8] 劉鴻文.高等材料力學［M] .北京:高等教育出版社，1985.