基于滾珠絲杠副流暢性的滾珠返向器型線優化設計

姜洪奎，宋現春，李保民，唐文成，朱繼生，榮柏松

（1.山東建筑大學 機電學院，濟南 250101；2.山東博特精工股份有限公司，山東 濟寧 272071）

滾珠絲杠副返向器的滾道型線是影響滾珠絲杠副性能的關鍵參數。滾珠在循環通過返向器過程中，其受力狀態在預緊狀態和自由狀態之間不斷發生突變。由于滾珠在整體滾珠絲杠副中起到動力傳輸作用，所以滾珠在返向器內的運動循環過程直接影響著整個滾珠絲杠副進給系統的動力學性能。滾珠絲杠副返向器的型線不僅是影響滾珠絲杠副低頻噪聲的主要因素，也是影響滾珠絲杠副壽命的主要因素［1－3］。

目前廣泛應用于高速滾珠絲杠副滾珠返向器類型為端塞式滾珠返向器，圍繞其結構形式以及對滾珠絲杠副動力學影響國內外學者已做了大量的有益工作［4－6］：① 返向器的彈性聯接。通過改進返向器與螺母之間的彈性聯接減少滾珠與返向器之間的沖擊達到降低噪聲的目的。② 滾珠與返向器的碰撞接觸仿真［7－8］。采用多體動力學軟件ADAMS對單個滾珠與返向器之間的接觸進行動力學仿真。然而，以上述工作存在兩方面的問題：① 對于滾珠與滾珠返向器之間的碰撞的研究對象，只限于單個滾珠，而事實上滾珠在返向器內循環運動時，一般排列成滾珠鏈的形式，因此所建立的模型不能全面反映滾珠在返向器內的循環運動狀態。② 返向器滾道型線的設計方法。目前國內返向器的設計一般采用蘇聯的標準和經驗設計，而隨著滾珠絲杠副進給速度的提高，越來越需要新的設計方法和理論對返向器的滾道型線進一步優化設計。

本文在滾珠絲杠副運行過程中滾珠與返向器內碰撞接觸過程的分析基礎上，建立了滾珠與返向器之間的碰撞接觸模型，提出了一種滾珠返向器雙圓弧滾道型線和優化設計方法，提高了滾珠絲杠副的摩擦力矩的平穩性和效率，為高速滾珠絲杠副的研發提供了理論依據和設計方法，促進了我國裝備制造業的發展。

1 滾珠與滾道之間接觸碰撞分析

滾珠絲杠副在軸向載荷的作用下，中間元件滾珠分別與螺母、絲杠滾道面接觸，以傳遞載荷，并產生相應的接觸變形。研究表明，在滾珠絲杠副平穩運行過程中，滾珠往往在返向器滾道和貫穿孔內排列成首尾相連的滾珠鏈；滾珠與返向器之間的碰撞是引發滾珠絲杠副進給系統產生低頻振動和噪聲的主要機制。因此，優化設計返向器滾道型線，需要分析滾道型線對滾珠與返向器之間的碰撞力和循環時產生的阻力的影響。

1.1 滾珠與返向器滾道之間的碰撞接觸模型

滾珠進入返向器的過程可以等效為球與圓管內表面之間的碰撞接觸模型。在滾珠絲杠副的裝配過程中，為了減少滾珠與返向器之間的碰撞，往往要在返向器和螺母之間安裝彈性連接件，因此滾珠與循環裝置之間的力學模型可以等效為如圖1所示的模型。圖1中R1為鋼球半徑，r1和r2分別為返向器圓形截面半徑和滾道型線軌跡的曲率半徑。

根據赫茲接觸理論，接觸力與接觸剛度之間的關系為：

其中：δ為法向變形量，kh為赫茲接觸剛度。

圖1 滾珠與返向器碰撞圖示和等效模型Fig.1 The contact between ball，returner and the equivalent model

赫茲接觸剛度kh可以由以下公式推導得出：

其中：E1，E2，μ1和μ2分別為鋼球和返向器兩種材料的彈性模量和泊松比。qk為A/B的比值［9］。

考慮到赫茲接觸力同時也反作用于鋼球，因此根據牛頓第二定律：

考慮到鋼球加速度、返向器以及碰撞接觸變形區域的相互關系，可以得出：

將等式（1）代入等式（5）可得：

其中，

一般情況下，返向器是通過鎖緊墊片與螺母之間相互鎖緊，所以兩者之間的連接剛度較大，因此可以認為ky=∞。滾珠與返向器之間的碰撞過程中，當滾珠速度等于零時，加速度達到最大，也就是返向器發生最大變形量的位置，因此：

將等式（8）代入公式（1），可以得出返向器發生最大變形δm2和同時產生的最大碰撞力Fm2。

由式（2）－式（4）和式（11）可得鋼球和返向器之間的碰撞力與滾道型線半徑的關系為，

1.2 滾珠鏈循環力學模型

根據文獻［2］，在滾珠絲杠副運行過程中，由于滾珠進入返向器時脫離了螺母滾道的預緊力作用，滾珠之間相互推擠，在返向器內排列成首尾相連的滾珠鏈。因此滾珠絲杠副平穩運行時返向器內滾珠之間的受力模型簡化為圖2所示。圖2中由于滾珠與滾道之間的幾何間隙以及阻力的存在，滾珠1、滾珠3的中心位于半徑為r2+e的型線圓上，而滾珠2位于半徑r2－e的型線圓上，其中r2為滾道型線半徑、e為滾珠半徑與滾道截面半徑之差。α1、α2、α3、α4分別為滾珠受到的作用力與滾珠中心軌跡水平方向的夾角，由幾何相對關系可以計算得出入射角；N1、N2、N3為返向器對滾珠的作用力，FN1、FN2、FN3、F'N1、F'N2、F'N3為滾珠之間的相互接觸力，Ff1、Ff2、Ff3為滾珠與返向器之間的摩擦力。

假設滾珠絲杠副平穩運行過程中，滾珠之間的相對位置不變，且沿著滾道型線中心的角速度為ω，以返向器內的滾珠為研究對象，分別建立各個滾珠的力學平衡方程。

圖2 滾珠鏈與返向器碰撞等效模型Fig.1 The contact between ball and returner and the equivalent model

由球1的受力平衡方程可得，

其中，

同理得滾珠2的力學平衡方程：

其中：

滾珠3的力學平衡方程：

其中：

為描述滾珠在返向滾道內的傳動效率，本文做如下定義：設滾珠鏈初始滾珠受到的有效驅動力與有效阻力的比值為驅阻比η，則如圖2所示由球1、球2、球3組成的滾珠鏈的驅阻比為：

1.3 新型滾道型線

由公式（11）可知滾珠與返向器之間的碰撞力大小與滾道型線半徑成反比，同時由式（12）～式（18）可知，滾珠鏈驅動效率與滾道型線相關。因此對于單圓弧滾道型線，要降低碰撞力的大小必須增大滾道型線的半徑。這樣必須加大返向器的尺寸，同時也增加了滾道長度和滾珠在返向滾道內的個數。而滾珠數目的增多勢必會降低滾珠鏈的流動效率，增大了滾珠鏈流動阻力。為了解決這一矛盾，本文提出了雙圓弧滾道型線形式如圖3。

圖3 雙圓弧滾道型線示意圖Fig.3 The double arc profile of the passage in the ball returner

2 優化方法與分析

2.1 目標函數

優化目的是通過調整滾珠返向器滾道型線的參數，改善滾珠在返向器內的循環特性，降低整體滾珠絲杠副的振動和噪聲，提高機床進給系統的動力學性能，因此，選擇滾珠返向器流暢性的評價指標——驅阻比和滾珠與返向器碰撞力作為目標函數。由式（12）可知，滾道型線半徑越大，則滾珠與返向器之間的碰撞力越小，為了簡化計算設目標函數如下：

2.2 設計變量

2.3 約束

循環鏈滾珠間隙過小將導致循環時滾珠因“擠死”發生卡滯現象，滾珠間隙過大將增大滾珠間的沖擊摩擦，使滾珠循環損耗增大并產生較大噪聲。因此要確保返向器型線的長度，使得循環鏈滾珠間隙在0.6～0.8倍滾珠直徑范圍內［10］。

s0.6為循環滾珠鏈間隙為0.6倍滾珠直徑的滾道型線長度，s0.8為循環滾珠鏈間隙為0.8倍滾珠直徑的滾道型線長度。

2.4 優化方法和程序設計

遺傳算法是以自然選擇和遺傳理論為基礎，將生物進化過程中適者生存與群體內部染色體的隨機信息交換機制相結合的高效全局尋優搜索算法。與傳統的優化方法相比，遺傳算法不需要求出目標函數的導數信息；而是采用概率的、不確定狀態的轉移規則；尤其適用于較難獲得目標函數導數值的優化問題，如帶接觸的含多構件的裝配體優化問題［11］。

圖4 優化程序路線Fig.4 The flow chats of the optimal program

根據本文提出優化數學模型的特點，選擇遺傳算法對目標函數進行求解。具體優化方法的過程見圖4。首先將設計變量初始化，選取Matlab中的GA函數作為優化工具，對目標函數進行優化計算。對求得的設計方案進行驅阻比的計算，驅阻比根據公式（12）～式（18）所建立的力學理論模型編制程序計算。通過比較獲得最終的最優方案。

3 新型端塞式滾珠返向器優化設計

3.1 返向器結構參數

選取某滾珠絲杠副的端塞式滾珠返向器作為優化設計對象，其滾珠半徑rb為2.976 5 mm，螺旋升角λ為9.05°，滾道型線入口點與出口點的水平相對位置H為19.52 mm，豎直相對位置h為6.98 mm，滾道型線的長度上限s0.8為 25.08 mm，下限s0.6為 24.56 mm。設定返向器滾道型線參數初始值如表1所示，利用本文提出的優化方法，確定滾珠返向器滾道型線的最優方案，優化前后的滾珠副滾珠返向器的形狀對比如圖5所示。由圖5可以看出，由于優化后的滾道采用了雙圓弧型線，其開口和出口位置的曲率變化相對于優化前更加平滑。

表1 滾珠返向器滾道型線的結構參數Tab.1 Parameters of the passage profile in ball returner

圖5 優化前后滾珠返向器的模型對比Fig.5 Comparison among ball returners before and after optimization

3.2 方案分析和論證

為了比較滾珠返向器的設計參數優化前后對整體滾珠絲杠副的性能的影響，本文按照優化前后滾珠返向器的結構參數，利用Pro/Engineer軟件建立了滾珠絲杠副的CAD模型，并通過接口導入多體動力學軟件ADAMS。根據滾珠絲杠副內部構件之間的運動關系，本文建立了如圖6所示的多體動力學仿真模型。如圖6所示，兩個返向器與螺母固定連接，滾珠之間、滾珠與螺母以及滾珠與絲杠軸之間施加solid to solid接觸副，螺母與大地之間施加沿軸向的移動副，所建多體動力學模型的拓撲結構圖如圖7所示。

圖7 滾珠絲杠副的拓撲結構Fig.7 The topography of multi-body dynamical model of the ball screw mechanism

為了減少仿真計算中誤差累積，設定滾珠絲杠副的絲杠轉速在0 s～0.01 s內保持靜止，在0.01 s～0.02 s內加速到3 600 r/min，在 0.02 s～0.04 s內保持固定轉速3 600r/min，在0.04 s～0.05 s內減速到 0 r/min。在上述工況下，滾珠返向器優化前后，滾珠絲杠副摩擦力矩變化情況對比如圖8所示。安裝有滾道型線的，優化后的整體滾珠絲杠副的摩擦力矩變化情況如圖8（b）。

設計參數優化前后整體滾珠絲杠副摩擦力矩變化參數的比較如表2所示。

圖8 優化前后滾珠絲杠副摩擦力矩的對比Fig.8 Comparison friction torque of the ball screw mechanism before and after optimization

表2 優化前后滾珠絲杠副的摩擦力矩比較Tab.2 Comparison of the ball screw mechanism friction torque before and after optimization

4 結論

（1）運用赫茲接觸理論，并考慮滾道型線曲率半徑的影響，分析了滾珠與返向器之間的碰撞力與滾道型線幾何參數的關系，在此基礎上，提出了評價滾珠循環返向的流暢性技術指標——驅阻比。

（2）對目前滾珠返向器滾道型線做出了改進，提出了一種由兩相切圓弧組成的滾珠返向器滾道型線，并在滾珠循環返向流暢性的分析基礎上，提出了以驅阻比和碰撞為優化設計目標，以雙圓弧半徑和相對厚度為優化設計變量的滾道型線形狀優化方法。

（3）應用該優化模型，對某滾珠返向器滾道進行了優化計算和分析，使得滾珠與返向器之間的接觸力降低了38.1%，滾珠絲杠副摩擦力矩的最大值降低了29.8%，摩擦力矩波動平均值降低了29.9%，成功地實現滾珠返向器滾道型線的優化設計，為滾珠返向器的設計和開發提供了可靠的理論依據。

［1］Ninomiya M，Miyaguchi K.Recent technical trends in ball screws［J］.NSK Tech Journal：Motion Control，1998，664：1－3.

［2］Claudio B，Luca L.A general elastic-plastic approach to impact analysis for stress state limit evaluation in ball screw Bearings return system［J］.International Journal of Impact Engineering，2007，34（7）：1272 －1285.

［3］Jui P H，Wu J S，Chiu J Y.Impact failure analysis of recirculating mechanism in ball screw［J］.Engineering Failure Analysis，2004，11：561 －573.

［4］Jiang H K，Song X C，Zhang Z Y.Dynamics analysis and simulation of re-circulating mechanism in ball screw［C］.Proceedings of the 12th International Manufacturing Conference，Xi’an，China，2006：223 －227.

［5］姜洪奎，宋現春.滾珠絲杠副滾珠循環系統的動力學研究和仿真［J］.振動與沖擊，2007，26（3）：107－111.

［6］HIWIN.Technical strategy for high-speed ball screw units［J］.Manufacturing Technology ＆ Machine Tool，2003，12：87－88.

［7］程光仁，施祖康，張超鵬.滾珠螺旋傳動設計基礎［M］.北京：機械工業出版社，1987.

［8］ Song X C， Liu J， Wang Z T，et al. Research and development of test system of combination property of highspeed ball screw unit［J］.Tool Engineering，2005，3：34－36.

［9］Goldsmith W.Impact：the Theory and Physical Behavior of Colliding Solids［M］.London：Edward Arnold Ltd，1960.

［10］饒振綱，王勇衛.滾珠絲杠副及自鎖裝置［M］.北京：國防工業出版社，1990.

［11］席裕庚，柴天佑，惲為民.遺傳算法綜述［J］.控制理論與應用，1996，13（6）：697－708.