新型滾珠式多向動力吸振器的理論研究

張小龍，東亞斌，張曉鐘，李雨田

（西安建筑科技大學 機電工程學院，西安 710055）

為了降低機械和結構的振動響應，特別是受到各種條件制約難以回避共振時，現實的方法是安裝各種動力吸振器。在主振動系上附加吸振器后，通過適當選擇吸振器的動力參數，在主振系共振頻率點附近就可以達到減小其強迫振動響應的目的。由于被動式動力吸振器的結構簡單，穩定性和可靠性高，不需要外部動力源，能有效地抑制頻率變化較小的機械或結構的振動，因此很早就在許多領域獲得了應用，同時對各種被動式動力吸振器的研究與開發也一直受到人們的關注［1－2］。

為了達到動力吸振的目的，佐藤久雄等［3］利用兩球同向旋轉時在接觸點處逆向運動產生阻尼力，設計了一種兩球轉動式吸振器（two-ball rolling type swing damping equipment）。松久寛等［4］開發出了解決索道纜車振動問題的圓弧軌道型吸振器。荒川利治等［5］利用水平半圓弧彈簧和電磁阻尼，開發了一種水平二維免振臺，用于抑制因風、地震和地基振動引起的住宅振動。張小龍等［6－7］通過理論分析與數值計算研究了滾珠控制轉子不平衡振動的理論與技術。

為了降低吸振器的成本，簡化結構，本文設計了一種由簡單幾何體球面和球體組成的滾動質量型吸振器，稱為滾珠式多向動力吸振器，可以用于塔柱類設施的多個方向振動控制，具有一定的通用性。本文在對其進行動力學建模、分析與計算的基礎上，運用定點理論優化設計了吸振器參數，還討論了參數對吸振效果的影響。

1 吸振器及其理論分析

1.1 吸振器

如圖1所示，在振動主體（質量為M）的凹球面（半徑為R）內有一吸振球（質量為m、半徑為r，繞其直徑的轉動慣量為I），振動主體用剛度為k的彈簧和阻尼系數為c的阻尼器與基礎相聯（圖中阻尼器略）。由于圖1中吸振球可沿凹球面向任何方向運動，所以系統在水平面內沿任何方向振動時，吸振球均有吸振作用。

圖1 滾珠式多向動力吸振器原理圖Fig.1 Mechanism of dynamic multi-direction vibration absorber with a ball

1.2 運動方程式及吸振性能分析

為了簡化分析過程，這里只分析系統在一個方向的振動及其吸振作用，模型如圖2所示，吸振球在半徑為R的圓弧面內運動，系統平衡時，吸振球處于圓弧最底部，彈簧k無伸長，以此位置為坐標原點，建立圖示的固定坐標系O-XY，取振動主體的水平位移z及吸振球心繞凹球面中心O'的角位移θ為廣義坐標。

圖2 系統在單方向的振動模型Fig.2 Mechanical model of the system in one direction

一般情況時，設吸振球中心在坐標系O－XY中的坐標為（x，y），則：

假設吸振球沿圓弧面軌道作無滑動的純滾動，并設吸振球從圓弧面最底部的平衡位置開始滾動到圖2所示位置時滾動角度為φ，如圖3示，則有下述關系：

系統的動能T、勢能U和耗散函數V分別為：

其中I=2mr2/5，cb為吸振球運動阻尼。根據拉格朗日方程，當振動主體上作用外激勵Fcosωt時，系統運動微分方程為：

圖3 吸振球的純滾動Fig.3 The pure rolling of the ball damper

考慮到吸振球在θ=0附近作微小振動，設θ為微小量，即 θ=O（ε），取 sinθ≈θ，cosθ≈1，略去O（ε3）及其以上量級小量，則上式對應的無量綱方程式為：

其中：

上式中δst為大小是外激勵力幅值F的靜力作用時主振系彈簧的靜變形，ωn是主振系的固有頻率，p是吸振球的固有頻率，ζ是主體的阻尼比，ξ是吸振球的阻尼比，λ是激勵頻率ω與主振系的固有頻率ωn之比，η是主振系的固有頻率與吸振球的固有頻率比，μ是吸振球、振動主體質量和（M+m）與主體質量M之比。

設方程（5）的解為：

則振動主體和吸振球的振幅為：

式中無量綱參數A，B，C為：

振動主體振幅Z*隨參數λ和ξ的變化規律如圖4所示。當阻尼比ξ較小時，Z*出現兩個峰值，且Z*的峰值隨著ξ的增大而減小。若ξ再進一步增大，振動主體M和吸振球m之間的運動相對困難，Z*僅出現一個峰值，且隨ξ的增大而增大。所以當ξ無窮大時，M和m之間不出現相對運動，成為質量為（M+m）單自由度系統。圖4中出現不隨ξ變化的兩個定點P和Q。在ζ=0的條件下，分別令式（8）中的ξ=O和ξ→∞的振幅Z*相等，得出求解定點頻率比λP和λQ值的方程式為：

將λP、λQ值代入下式，即可得兩定點的振幅為：

圖4 振動主體的振幅變化規律Fig.4 The variation laws of amplitude curve of main vibration system

吸振球的實際振幅Θ（=τΘ*）的變化規律如圖5所示，可以看出吸振球確實在θ=0附近作微小振動。

圖5 吸振球的實際振幅變化規律Fig.5 The variation laws of actual amplitude curve of ball damper

2 動力吸振器參數的優化設計

在主振系參數一定的條件下，吸振球的質量m（或μ）對主振系振幅的影響見圖6所示，μ越大制振效果越好，但實際μ的選取要根據主振系的質量M，綜合考慮系統總質量與主振系的振幅降低程度來確定。

在μ值確定之后，為了能使主振系的振幅在較大頻率范圍內盡可能降低，利用定點的性質，吸振球的其余參數η，ξ（或R－r，cb）可以按以下條件進行優化設計。

圖6 吸振球質量對主振系振幅的影響Fig.6 The effects of the mass of ball damper on the amplitude curves of main vibration system

2.1 最優頻率比

為了使兩定點P，Q的振幅盡量降低以調整參數η。當η改變時，根據式（10）和式（11），一個定點的振幅下降，同時另一個定點的振幅上升，如圖7所示。因此，為了能在較大頻率范圍內盡可能降低主振系的振幅，使定點P，Q的振幅相等，以調整η（或p）值。

圖7 兩定點P和Q振幅的變化規律Fig.7 The variation laws of amplitude curves of fixed points P and Q

令λP，λQ點的振幅相等，由式（11）得：

將式（13）代入式（10），得此時兩個定點的頻率值為：

此時，兩個定點的振幅為：

2.2 最優阻尼比ξ

在滿足最佳頻率比條件式（13）的基礎上，再使定點P，Q處的振幅Z*達到極大值，以確定最優阻尼比ξ值。即在頻率比由式（14）確定的定點處使?Z*/?λ=0。因式（8）是λ2的函數，所以該極大值條件可以等價為：

為了簡化上式的計算，將式（8）變形為：

其中：

將式（17）代入式（16），得：

由于定點的振幅與ξ無關，所以式（19）中的N/D可以用式（11）替換，得：

由式（18）計算出各偏導數后代入式（20），考慮式（10）、式（13）和式（14），得：

其中：

由式（21）和式（22）知ξP≠ξQ，即無論如何調整ξ都不能使定點P和Q的振幅同時達到極大值，作為近似可選用其平均值作為最優阻尼比，即：

圖8 參數優化后主振系的振幅Fig.8 The optimized amplitude curve of main vibration system

經過以上最佳參數調整后主振系的振幅如圖8所示，吸振球的實際振幅見圖9所示。

3 雙方向吸振問題

圖9 參數優化后吸振球的實際振幅Fig.9 The optimized actual amplitude curve of ball damper

根據前面的研究結果，該吸振器能夠在一定的頻率范圍內有效地控制單方向的簡諧振動（見圖8）。但當機械或結構承受兩個正交方向的簡諧振動時，根據二維簡諧振動的合成原理［8］，只有在兩個方向振動是同頻率，且相位差是0或±π時，合成振動是同頻率的直線簡諧振動，這時同樣能夠進行有效地控制。

4 結論

本文提出了一種結構簡單的滾珠式動力吸振器，通過滾珠在凹球面內的運動，可以控制機械或結構的特殊的多方向振動，并通過理論分析、數值計算和參數優化設計，確認了該吸振器可以大幅度降低強迫振動響應，具有優良的振動控制性能。

［1］劉耀宗，郁殿龍，趙宏剛，等.被動式動力吸振技術研究進展［J］.機械工程學報，2007，43（3）：14－21.

［2］松久寛.動吸振器の制振効率と最近の動向.日本機械學會講演論文集［C］，2004，41－44.

［3］佐藤久雄，千島美智男.索道用二球転動式動揺減衰裝置の調整方法とその効果［C］.日本機械學會論文集，2007，73（730）：105－116.

［4］松久寛，顧栄栄，王永金，ほか2名.索道搬器の動吸振器による制振［C］.日本機械學會論文集，1993，59（562）：115－120.

［5］荒川利治，古平有一，大亦絢一郎.半円弧ばねと磁気減衰を用いた動吸振器の研究［C］.日本機械學會論文集，2007，73（732）：23 －29.

［6］張小龍，東亞斌.雙滾珠自動抑制轉子主共振的機理（線性支承剛度）［J］.西安建筑科技大學學報，2009，41（2）：282－287.

［7］張小龍，東亞斌.滾珠自動控制轉子不平衡響應的動力學機理［J］.機械工程學報，2009，45（7）：95－100.

［8］ French A P.Vibrations and waves（The M.I.T.Introductory Physics Series）.W.W.Norton ＆ Company，1971.