一種基于本征波匹配的EMD邊界處理方法

鐘佑明，趙 強，周建庭

（1.重慶交通大學 信息科學與工程學院，重慶 400074；2.重慶交通大學 土木工程學院，重慶 400074）

希爾伯特－黃變換（Hilbert－Huang Transform，簡稱HHT）是上世紀末由Huang等人［1－2］為更精準地分析非線性非平穩(wěn)信號而提出的一種信號分析方法。這一方法已被許多學者應用于各種工程和生活領域，取得了較為理想的效果。HHT包含若干關鍵技術，EMD（Empirical Mode Decomposition，即經驗模態(tài)分解）邊界處理就是其中之一。目前已經有不少EMD邊界處理的方法，如特征波法［1］、波形匹配預測法［3－4］、神經網絡分析方法［5］、鏡像閉合延拓法［6］、多項式擬合法［7］、包絡極值延拓法［8］、相似極值延拓法等［9］，雖然這些方法都有一定效果，但同時又有明顯的理論缺陷，如特征波法、鏡像閉合延拓法、包絡極值延拓法等都僅利用了與邊界相鄰的少數一些內部波來預測信號邊界的包絡或均值，使得它們的應用效果不太理想。本文第一作者在文獻［10］中曾提出了一種改進的波形匹配預測法——本征波匹配預測法。但由于當時對該方法的有效性還有些懷疑，尤其是還不知道如何合理構造仿真信號來驗證該方法，因此文獻［10］只是提出了初步算法而沒有進行深入的算例驗證。本文最終彌補了這一重要不足，使文獻［10］的研究得到較大程度地深化和完善。

1 EMD及其邊界處理問題

EMD的主要內容是通過篩選將信號分解為有限個固有模態(tài)函數（IMF）和趨勢項之和，其中IMF被認為是構成非線性非平穩(wěn)信號的基本信號，它具有唯一的瞬時頻率，而趨勢項反映信號變化的趨勢［1］。所謂IMF，是指滿足如下兩個條件的信號：

① 信號中，零點數與極點數相等或至多相差1；

② 信號上任意一點，由局部極大值點確定的包絡線和由局部極小值點確定的包絡線的均值都為零。

EMD的過程簡介如下：對于給定的實信號s（t），例如圖1（a）所示信號，首先確定出其上的所有極大值點和極小值點，然后將所有極大值點和所有極小值點分別用一條光滑曲線（如三次樣條曲線）聯接起來，使兩條曲線間包含所有的原信號，如圖1（b）虛線所示。將這兩條曲線分別作為s（t）的上、下包絡線，計算出它們的平均值曲線m1（t），如圖1（b）點劃線所示。用s（t）減去m1（t）得到：

h1（t）的波形如圖1（c）所示。以上過程稱為“篩選”。理想情況下，所篩選出的h1（t）應該是一個IMF，因為h1（t）的構造過程就是使它滿足IMF的條件。但實際上往往還需對h1（t）按以上方法進行多次篩選［1］，直到其滿足某個終止準則（如SD＜0.2［1］），就認為成為了一個IMF，記為c1（t），如圖1（d）所示。將s（t）減去已經篩選出的IMFc1（t）后再用同樣的方法可以依次篩選出s（t）中的其余IMF及趨勢項。最終s（t）可以表示為：

圖1 EMD過程示意圖Fig.1 The illustration of EM

從以上介紹可以看出，EMD是利用極值點擬合信號包絡線或均值曲線對信號進行分解的。實際中獲得的信號往往是被截斷后的信號，這類信號內部的極值點總是能獲得，但邊界外的極值點或邊界包絡與均值只有經過預測才能得出，這就是HHT中的EMD邊界處理問題，它是HHT的一個重要問題［1］。如引言所述，目前已經有若干EMD邊界處理方法，但這些方法還有待改善。筆者通過分析認為，在已有的EMD邊界處理方法中波形匹配預測法是一種相對更實用的方法，因為它利用與邊界波最相匹配的內部波來預測信號的邊界均值，與許多實際信號具有波形重復性的規(guī)律相一致。但目前的波形匹配預測法是采用邊界復合波與內部復合波的匹配性來預測邊界均值的，使其不適用于有調幅或疊加波的復合信號［10］。

2 基于本征波匹配的EMD邊界處理方法

針對波形匹配預測法的不足，本文第一作者在文獻［10］中曾提出了一種改進的波形匹配預測法——本征波匹配預測法。它是基于對IMF本身結構的深入認識和所建立的本征波概念而提出的。

一個IMFc（t）可以看成是由cosφ（t）經包絡線a（t）調制而成的，如圖2（a）、圖 2（b）所示，cosφ（t）中包含了c（t）的全部頻率信息，因此稱之為本征信號［10］。而cosφ（t）中的頻率往往是時變的，不同時刻可以有不同的頻率，每處的頻率有一個對應尺度的子波，如圖2（a）中所示的從一個極大值點到下一個相鄰的極大值點形成的信號段ABC（后面本文理論的應用例子表明，對這種“子波”無需清晰定義，只需大致定義即可），且同一cosφ（t）中不同時刻的子波可以相互疊加。因此可以認為本征信號cosφ（t）又是由一些不同尺度的子波疊加構成，這些子波在文獻［10］中稱為本征波。這樣，在HHT中任何一個信號f（t）都可以看成是由一些本征波相互疊加形成本征信號，本征信號經過調幅后形成IMF，如圖2（b）所示，IMF再相互疊加就形成復合信號f（t），而本征波在復合信號中必有一個一一對應的復合波，如圖2（c）所示A″B″C″。

圖2 HHT中的復合信號形成過程Fig.2 The forming process of composite signal in HHT

下面以起始點的EMD邊界處理為例對本征波匹配預測法的算法作一介紹。

設信號起始點及連續(xù)相鄰的兩個極值點分別為s（0）、e（t1）、e（t2），則這三點構成一個邊界復合波s（0）e（t1）e（t2），其隱含一個邊界本征波，讓s（0）e（t1）·e（t2）在極值點序列中以步長2逐漸向右移動，所移之處都有一個由頂點e（ti－1），e（ti），e（ti+1）構成的內部復合波e（ti－1）e（ti）e（ti+1）［隱含一個內部本征波］與之對應，如圖3（a）所示。本征波匹配預測法就是為了尋找一個其本征波與邊界波的本征波匹配誤差最小的內部波來預測邊界均值。為此，首先將波形s（0）e（t1）e（t2）減去直線y（t）=e（t1）（相當于去掉疊加波），再除以e（t1）－e（t2）（相當于消除調幅波），最終得波形s0e1e2，它可以被認為就是波形s（0）e（t1）e（t2）所隱含的近似邊界本征波，如圖3（b）所示；同理，將波形e（ti－1）e（ti）e（ti+1）減去直線y（t）=e（ti）并除以e（ti）－e（ti+1）得波形e（ti－1）e（ti）e（ti+1）所隱含的近似內部本征波ei－1eiei+1。這樣邊界波s（0）e（t1）e（t2）與內部波e（ti－1）e（ti）e（ti+1）之間的匹配誤差就可以采用如下本征波匹配誤差估計公式計算：

圖3 本征波匹配預測法示意圖Fig.3 The illustration of character wave matching prediction

當計算完所有誤差E（i）后，確定出最小誤差E（k），此處的內部波即被認為與起始邊界波最匹配，因此可以利用此內部波的均值預測起始點處的均值，預測公式如下：

這里不僅給出了估計起始點處均值的公式，還給出了估計第一個極值點對應均值的公式，以提高邊界均值曲線擬合的穩(wěn)定。用同樣的方法可以估計出信號右端點處的均值。

根據以上介紹可以看出，本征波匹配預測法是利用信號邊界波和內部波之間的本征波匹配性來預測信號邊界處的包絡值和均值，既繼承了波形匹配預測法的優(yōu)點，同時又克服了波形匹配預測法在計算匹配誤差時忽略了信號調制與疊加對波形匹配誤差的影響問題，使得本征波匹配預測法的適用范圍得以大幅擴大。

3 本征波匹配預測法的算例驗證

為了驗證本征波匹配預測法的可行性和進步性，這里分別用本征波匹配預測法和兩種具有代表性的EMD邊界處理方法——包絡極值延拓法與波形匹配法對圖4（a）、圖5（a）所示的兩個含調幅與疊加波的仿真信號和圖6（a）所示的一實測空調振動信號進行EMD，所得結果依次如圖4（b）、圖4（c）、圖4（d）、圖5（b）、圖5（c）、圖5（d）和圖6（b）、圖6（c）、圖 6（d）所示，其中篩選終止準則為SD＜0.2。由圖4（d）可以看出，以本征波匹配預測法進行EMD邊界處理時，所得趨勢項與原始信號的總體趨勢非常一致，且所得IMF1，IMF2的左右兩邊界波形也比較合理，而由圖4（b）、圖4（c）可以看出，以包絡極值延拓法或波形匹配法進行EMD邊界處理時，所得IMF與趨勢項在右端均容易出現明顯變異。觀察圖5也可以得到同樣的結論。再觀察圖6可以看出，以包絡極值延拓法進行EMD邊界處理時，所得IMF2的左端、趨勢項的左右端均出現了明顯變異；以波形匹配法進行EMD邊界處理時所得IMF2左端也變異明顯，雖然所得趨勢項的左右端變異不明顯，但同用本征波匹配預測法所得圖6（d）所示的趨勢項相比，仍不如后者更接近肉眼所觀察到的原信號兩端的變化趨勢。另外與圖6（b）、圖6（c）相比，圖6（d）中IMF2的左端變異也有明顯改善。因此，無論對于仿真信號還是實測信號，用本征波匹配預測法進行EMD邊界處理均能取得比其他EMD邊界處理方法更滿意的效果。

圖4 三種EMD邊界處理方法在對一仿真信號進行EMD時的結果比較Fig.4 The EMD result comparison of three sorts of EMD end process methods to a simulated signal

圖5 三種EMD邊界處理方法在對另一仿真信號進行EMD時的結果比較Fig.5 The EMD result comparison of three sorts of EMD end process methods to another simulated signal

圖6 三種EMD邊界處理方法在對實測信號進行EMD時的結果比較Fig.6 The EMD result Comparison of three sorts of EMD end process methods to a test signal

4 結論

本文著重對文獻［10］中提出的一種基于本征波匹配的EMD邊界處理方法——本證波匹配預測法進行了介紹，特別是介紹了將該方法和其他兩種有代表性的EMD邊界處理方法——包絡延拓法和波形匹配預測法應用于仿真信號和和實測信號的算例對比，從而驗證了本證波匹配預測法的先進性。本文工作使文獻［10］中的相關研究得到較大程度地深化和完善。

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