圓柱殼體阻尼材料布局拓撲優化研究

李 超，李以農，施 磊，鄭 玲

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

為了抑制板、殼等結構的振動，可采用在結構表面敷設自由阻尼或約束阻尼的方法［1-3］。通常阻尼材料被完全覆蓋于待控結構表面，結構設計的目的就是在盡量增大結構振動能量耗散前提下，確定阻尼材料的類型、層數及各層厚度。由于阻尼材料布局的空間拓撲是固定的，因此，要實現阻尼結構動力學特性的最優化是很困難的。

Bendsoe 和 Kikuchi［4］基于均勻化理論，提出了均勻化拓撲優化方法，成為連續體拓撲優化的重要方法。為解決求解過程中數值不穩定問題，Sigmund等［5］提出了實體罰函數法(SIMP)。連續體拓撲優化方法還有變厚度法和變密度法。盡管這些方法數學上嚴謹，但實際應用中卻較為困難。后來，Xie等［6］提出了“漸進優化算法”，它通過逐步刪除結構中利用率低的材料而得到一個滿應力設計。漸進優化算法的關鍵是確定一個合適的準則來評價一個單元是“高效率單元”或是“低效率單元”，從而決定單元的刪除或保留。漸進優化算法概念盡管在數學上并不很嚴格，但算法比較簡單，計算效率較高，有較強的工程實用性。

楊德慶［7］針對阻尼結構的耗能特點，提出了阻尼胞單元和阻尼拓撲敏度等概念，對自由阻尼板進行了阻尼材料布局優化。韋勇［8］研究了自由阻尼及約束阻尼板的拓撲優化問題，通過計算能耗最大的阻尼材料粘貼位置，提出了阻尼結構快速拓撲優化方法。此外，郭中澤等［9-10］對阻尼材料的布局優化進行了研究，榮見華、杜海珍等［11-14］提出一種基于應變能的結構拓撲雙方向漸進優化算法，劉寅東［15］提出了通過力傳遞的路徑來構造拓撲的拓撲優化思路求解連續結構的拓撲優化問題。李以農等［16］利用漸進優化算法，以模態阻尼比為目標函數對約束阻尼梁進行拓撲優化，取得了良好的效果。以上文獻針對的優化模型都較為簡單，梁和平板較多，而本文對圓柱殼體這一常用結構，做了自由阻尼和約束阻尼結構的拓撲優化分析，得到了兩種不同結構下的最優拓撲布局，并分析了其模態對拓撲優化的影響。

圓柱薄殼結構在工程上有廣泛的應用，如魚雷外殼、飛機機身、艦船船體等，研究圓柱薄殼結構的阻尼減振及材料布局拓撲優化具有重要的理論意義和工程應用價值。本文采用漸進優化算法，研究圓柱殼體阻尼材料布局的拓撲優化問題。建立圓柱殼體阻尼減振拓撲優化模型，導出結構模態損耗因子對阻尼胞單元的靈敏度表達式，根據拓撲優化準則，通過逐步刪除阻尼材料中靈敏度最低的單元，達到對圓柱殼體阻尼材料布局優化的目的。

1 圓柱殼體阻尼結構拓撲優化模型

阻尼結構振動能量消耗主要來源于阻尼材料剪切變形。因此，為實現結構最大的振動能量耗散，通常以結構模態損耗因子或結構某關鍵點的位移為目標函數，以阻尼材料刪除率作約束條件，建立阻尼結構的拓撲優化模型。本文以圓柱殼體的模態損耗因子為目標函數，阻尼材料刪除率作約束條件，阻尼胞單元有或無為設計變量，建立拓撲優化模型。設計變量為:

其中，n是阻尼胞單元總數。βi=1表明:殼體結構表面第i個單元位置有阻尼材料，βi=0表明:殼體結構表面第i個單元位置無阻尼材料。拓撲優化模型描述為:

2 靈敏度分析

由模態應變能方法可知，結構的第k階模態損耗因子的計算公式為:

式中:Edk為結構中阻尼材料的第k階模態應變能;Esk為結構的第k階模態應變能;ηd為阻尼材料損耗因子。

當第i個單元阻尼材料被刪除時，結構的第k階模態損耗因子的變化量為:

在漸進優化(ESO)方法中，由于刪除單元數量在每次迭代中是有限的，因此，做如下近似:

其中:Edki為第k階模態中第i個阻尼材料單元的應變能。

由(4)式～(6)式可得:

式(7)表示第i個阻尼材料單元刪除后，引起結構第k階模態損耗因子的變化量，即為目標函數對設計變量的靈敏度:

前M階模態損耗因子對設計變量的靈敏度則為:

這里，ωk為權重系數，可以根據模型對某階模態的敏感程度，有一定的變化，且滿足:

對阻尼材料進行布局優化，就是逐步刪除靈敏度絕對值最小的阻尼胞單元，使結構模態損耗因子沿著最緩慢的路徑下降，使結構在一定阻尼材料用量下，保持損耗因子最大化。

3 優化計算流程

采用ANSYS參數化設計語言(APDL)，編制優化設計程序。

首先，建立有限元分析模型，計算各階模態的應變能，然后按照式(9)進行靈敏度分析，設定要刪除的阻尼單元數量，去除靈敏度最小的那部分單元。刪除最小靈敏度單元后，留下的單元即為求得的每一輪的拓撲優化結果，每一輪優化結束后，都要檢查約束條件是否滿足，如果不滿足，迭代繼續;如果滿足，停止迭代輸出結果。

此時，阻尼材料空間拓撲分布即為拓撲優化結果。因此，設計步驟可描述為:

(1)建立有限元分析模型;

(2)模態分析，計算結構阻尼單元和非阻尼單元每階模態對應的模態應變能;

(3)由式(8)或式(9)計算目標函數對各阻尼單元設計變量的靈敏度;

圖1 拓撲優化程序流程圖Fig.1 Topological optimization program flow chart

(4)設定每次刪除的阻尼單元數量;

(5)刪除靈敏度最小的阻尼胞單元;

(6)判斷是否達到約束條件，如果不滿足，迭代繼續，如果滿足，迭代停止，輸出計算結果。

拓撲優化流程圖見圖1所示。

4 數值算例

4.1 自由阻尼材料最優布局

一圓柱形薄殼，兩端面受到徑向和軸向約束。長為100 mm，內徑為250 mm，外徑260 mm，基層的楊氏模量為109 GPa，密度為4 440 kg/m3，泊松比為0.34;在圓柱形薄殼外表面覆蓋一層粘彈性材料，厚度為1 mm，楊氏模量57 MPa，密度為1 140 kg/m3，泊松比為0.3，損耗因子為1。采用solid45單元對圓柱基殼和粘彈性阻尼材料劃分網格。

在控制阻尼材料用量條件下，搜尋粘彈性阻尼材料的最優拓撲分布，使復合圓柱殼體的6、8、10階模態損耗因子平均值最大，即各階加權系數為1/3。

圖2～圖5分別是粘彈性阻尼材料刪除率為20%、40%、60%和80%條件下的阻尼材料最優拓撲分布，靈敏度分別為 1.624 5 ×10-7、2.23 ×10-7、2.79 ×10-7和4.3×10-7。圖6是損耗因子平均值隨阻尼材料刪除率的變化。圖7為材料刪除率隨迭代次數增加的變化曲線。從圖2～圖5可知，由于兩端面存在約束，模態損耗因子對阻尼胞單元的靈敏度較小，先被刪除。此外，周向波節線處的靈敏度也較小，隨著刪除率增加，也將被刪除。從圖6可以看出:損耗因子平均值隨阻尼材料刪除率增加而減少，但下降速度并不是很快，表明:采用拓撲優化技術，可充分利用阻尼材料的空間拓撲布局，使結構保持較高的振動能量耗散特性。圖7可以看出每次迭代刪除的阻尼單元數大致不變，說明了迭代過程比較穩定。

圖7 阻尼材料刪除率隨迭代次數變化Fig.7 Change of damping material delete rate with iteration number

4.2 約束阻尼材料最優布局

一圓柱形薄殼，兩端面受到徑向和軸向約束。長100 mm，內徑250 mm，外徑260 mm，基殼楊氏模量為109 GPa，密度為4 440 kg/m3，泊松比為0.34;在基殼上覆蓋一層粘彈性阻尼材料，厚度為1 mm，楊氏模量為57 MPa，密度為 1 140 kg/m3，泊松比為 0.3，損耗因子為1;在粘彈性阻尼材料上再覆蓋一層約束層，厚度為1 mm，楊氏模量為210 GPa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3。基殼與粘彈性夾心層，采用solid45單元劃分網格，約束層采用shell63單元劃分網格。

在控制約束阻尼材料用量條件下，搜尋約束阻尼材料的最優拓撲分布，使約束阻尼圓殼的6、8、10階模態損耗因子的平均值最大，即各階加權系數為1/3。

圖8～圖11為約束阻尼材料刪除率為20%、40%、60%和80%條件下的拓撲優化布局，靈敏度分別為5.43 ×10-4、8.41 × 10-4、1.25 × 10-4和 1.36 × 10-3。從圖8～圖11可知，靈敏度較低的阻尼胞單元處于兩端面以及周波節線處，當刪除率為60%時，這種效應變得更加明顯。圖12為損耗因子平均值隨約束阻尼材料刪除率的變化。圖12表明:刪除率小于20%時，模態損耗因子比全覆蓋結構還略有升高，刪除率達40%時，模態損耗因子與全覆蓋結構相當，繼續增大刪除率，則模態損耗因子開始下降，說明刪除的前40%阻尼材料對模態損耗因子的影響不大，但整個附加質量卻減輕了。由此帶來的結果是阻尼材料用量減少，附加質量減輕，而耗能作用不變，這就是采用拓撲優化布局的效應。圖13為材料刪除率隨迭代次數增加的變化曲線。從圖13可以看出:每次迭代刪除的阻尼單元數大致不變，說明了迭代過程比較穩定。

通過對優化模型的模態分析可知，圓柱殼體模態振動關于殼體中心軸對稱，是典型的空間對稱，而從自由阻尼結構和約束阻尼結構拓撲優化布局來看，阻尼材料分布也是關于圓柱殼體中心軸對稱的，說明模態振型和模態損耗因子靈敏度有著密切的聯系。

圖8 約束阻尼材料最優拓撲分布(刪除率20%)Fig.8 Constraint damping topological placement(20%)

圖9 約束阻尼材料最優拓撲分布(刪除率40%)Fig.9 Constraint damping topological placement(40%)

圖10 約束阻尼材料最優拓撲分布(刪除率60%)Fig.10 Constraint damping topological placement(60%)

圖11 約束阻尼材料最優拓撲分布(刪除率80%)Fig.11 Constraint damping topological placement(80%)

圖12 約束阻尼模態損耗因子隨刪除率變化Fig.12 Change of constraint damping loss factor of modality with delete rate

圖13 約束阻尼材料刪除率隨迭代次數變化Fig.13 Change of constraint damping material delete rate with iteration number

5 結論

采用漸進優化算法(ESO)，以阻尼結構模態損耗因子最大化為目標，阻尼材料刪除率為約束條件，阻尼胞單元為設計變量，對自由阻尼以及約束阻尼材料布局進行了拓撲優化。研究了阻尼結構模態損耗因子對阻尼胞單元位置的靈敏度，導出靈敏度計算表達式。研究結果表明:約束阻尼結構的阻尼效果優于自由阻尼結構，且圓柱殼體模態振型和模態損耗因子靈敏度服從相同的空間分布規律，對自由阻尼或約束阻尼進行布局優化，能使圓柱殼體以較小的附加質量，獲得較大的振動能量耗散，顯著降低圓柱殼體的振動響應。采用ANSYS參數化設計語言(APDL)，編寫基于漸進優化方法(ESO)的拓撲優化程序，進行阻尼材料布局優化，在工程上是可行的，具有很好的工程實用性。

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