圓柱殼體阻尼材料布局拓撲優(yōu)化研究

李 超，李以農(nóng)，施 磊，鄭 玲

(重慶大學 機械傳動國家重點實驗室，重慶 400044)

為了抑制板、殼等結構的振動，可采用在結構表面敷設自由阻尼或約束阻尼的方法［1-3］。通常阻尼材料被完全覆蓋于待控結構表面，結構設計的目的就是在盡量增大結構振動能量耗散前提下，確定阻尼材料的類型、層數(shù)及各層厚度。由于阻尼材料布局的空間拓撲是固定的，因此，要實現(xiàn)阻尼結構動力學特性的最優(yōu)化是很困難的。

Bendsoe 和 Kikuchi［4］基于均勻化理論，提出了均勻化拓撲優(yōu)化方法，成為連續(xù)體拓撲優(yōu)化的重要方法。為解決求解過程中數(shù)值不穩(wěn)定問題，Sigmund等［5］提出了實體罰函數(shù)法(SIMP)。連續(xù)體拓撲優(yōu)化方法還有變厚度法和變密度法。盡管這些方法數(shù)學上嚴謹，但實際應用中卻較為困難。后來，Xie等［6］提出了“漸進優(yōu)化算法”，它通過逐步刪除結構中利用率低的材料而得到一個滿應力設計。漸進優(yōu)化算法的關鍵是確定一個合適的準則來評價一個單元是“高效率單元”或是“低效率單元”，從而決定單元的刪除或保留。漸進優(yōu)化算法概念盡管在數(shù)學上并不很嚴格，但算法比較簡單，計算效率較高，有較強的工程實用性。

楊德慶［7］針對阻尼結構的耗能特點，提出了阻尼胞單元和阻尼拓撲敏度等概念，對自由阻尼板進行了阻尼材料布局優(yōu)化。韋勇［8］研究了自由阻尼及約束阻尼板的拓撲優(yōu)化問題，通過計算能耗最大的阻尼材料粘貼位置，提出了阻尼結構快速拓撲優(yōu)化方法。此外，郭中澤等［9-10］對阻尼材料的布局優(yōu)化進行了研究，榮見華、杜海珍等［11-14］提出一種基于應變能的結構拓撲雙方向漸進優(yōu)化算法，劉寅東［15］提出了通過力傳遞的路徑來構造拓撲的拓撲優(yōu)化思路求解連續(xù)結構的拓撲優(yōu)化問題。李以農(nóng)等［16］利用漸進優(yōu)化算法，以模態(tài)阻尼比為目標函數(shù)對約束阻尼梁進行拓撲優(yōu)化，取得了良好的效果。以上文獻針對的優(yōu)化模型都較為簡單，梁和平板較多，而本文對圓柱殼體這一常用結構，做了自由阻尼和約束阻尼結構的拓撲優(yōu)化分析，得到了兩種不同結構下的最優(yōu)拓撲布局，并分析了其模態(tài)對拓撲優(yōu)化的影響。

圓柱薄殼結構在工程上有廣泛的應用，如魚雷外殼、飛機機身、艦船船體等，研究圓柱薄殼結構的阻尼減振及材料布局拓撲優(yōu)化具有重要的理論意義和工程應用價值。本文采用漸進優(yōu)化算法，研究圓柱殼體阻尼材料布局的拓撲優(yōu)化問題。建立圓柱殼體阻尼減振拓撲優(yōu)化模型，導出結構模態(tài)損耗因子對阻尼胞單元的靈敏度表達式，根據(jù)拓撲優(yōu)化準則，通過逐步刪除阻尼材料中靈敏度最低的單元，達到對圓柱殼體阻尼材料布局優(yōu)化的目的。

1 圓柱殼體阻尼結構拓撲優(yōu)化模型

阻尼結構振動能量消耗主要來源于阻尼材料剪切變形。因此，為實現(xiàn)結構最大的振動能量耗散，通常以結構模態(tài)損耗因子或結構某關鍵點的位移為目標函數(shù)，以阻尼材料刪除率作約束條件，建立阻尼結構的拓撲優(yōu)化模型。本文以圓柱殼體的模態(tài)損耗因子為目標函數(shù)，阻尼材料刪除率作約束條件，阻尼胞單元有或無為設計變量，建立拓撲優(yōu)化模型。設計變量為:

其中，n是阻尼胞單元總數(shù)。βi=1表明:殼體結構表面第i個單元位置有阻尼材料，βi=0表明:殼體結構表面第i個單元位置無阻尼材料。拓撲優(yōu)化模型描述為:

2 靈敏度分析

由模態(tài)應變能方法可知，結構的第k階模態(tài)損耗因子的計算公式為:

式中:Edk為結構中阻尼材料的第k階模態(tài)應變能;Esk為結構的第k階模態(tài)應變能;ηd為阻尼材料損耗因子。

當?shù)趇個單元阻尼材料被刪除時，結構的第k階模態(tài)損耗因子的變化量為:

在漸進優(yōu)化(ESO)方法中，由于刪除單元數(shù)量在每次迭代中是有限的，因此，做如下近似:

其中:Edki為第k階模態(tài)中第i個阻尼材料單元的應變能。

由(4)式～(6)式可得:

式(7)表示第i個阻尼材料單元刪除后，引起結構第k階模態(tài)損耗因子的變化量，即為目標函數(shù)對設計變量的靈敏度:

前M階模態(tài)損耗因子對設計變量的靈敏度則為:

這里，ωk為權重系數(shù)，可以根據(jù)模型對某階模態(tài)的敏感程度，有一定的變化，且滿足:

對阻尼材料進行布局優(yōu)化，就是逐步刪除靈敏度絕對值最小的阻尼胞單元，使結構模態(tài)損耗因子沿著最緩慢的路徑下降，使結構在一定阻尼材料用量下，保持損耗因子最大化。

3 優(yōu)化計算流程

采用ANSYS參數(shù)化設計語言(APDL)，編制優(yōu)化設計程序。

首先，建立有限元分析模型，計算各階模態(tài)的應變能，然后按照式(9)進行靈敏度分析，設定要刪除的阻尼單元數(shù)量，去除靈敏度最小的那部分單元。刪除最小靈敏度單元后，留下的單元即為求得的每一輪的拓撲優(yōu)化結果，每一輪優(yōu)化結束后，都要檢查約束條件是否滿足，如果不滿足，迭代繼續(xù);如果滿足，停止迭代輸出結果。

此時，阻尼材料空間拓撲分布即為拓撲優(yōu)化結果。因此，設計步驟可描述為:

(1)建立有限元分析模型;

(2)模態(tài)分析，計算結構阻尼單元和非阻尼單元每階模態(tài)對應的模態(tài)應變能;

(3)由式(8)或式(9)計算目標函數(shù)對各阻尼單元設計變量的靈敏度;

圖1 拓撲優(yōu)化程序流程圖Fig.1 Topological optimization program flow chart

(4)設定每次刪除的阻尼單元數(shù)量;

(5)刪除靈敏度最小的阻尼胞單元;

(6)判斷是否達到約束條件，如果不滿足，迭代繼續(xù)，如果滿足，迭代停止，輸出計算結果。

拓撲優(yōu)化流程圖見圖1所示。

4 數(shù)值算例

4.1 自由阻尼材料最優(yōu)布局

一圓柱形薄殼，兩端面受到徑向和軸向約束。長為100 mm，內(nèi)徑為250 mm，外徑260 mm，基層的楊氏模量為109 GPa，密度為4 440 kg/m3，泊松比為0.34;在圓柱形薄殼外表面覆蓋一層粘彈性材料，厚度為1 mm，楊氏模量57 MPa，密度為1 140 kg/m3，泊松比為0.3，損耗因子為1。采用solid45單元對圓柱基殼和粘彈性阻尼材料劃分網(wǎng)格。

在控制阻尼材料用量條件下，搜尋粘彈性阻尼材料的最優(yōu)拓撲分布，使復合圓柱殼體的6、8、10階模態(tài)損耗因子平均值最大，即各階加權系數(shù)為1/3。

圖2～圖5分別是粘彈性阻尼材料刪除率為20%、40%、60%和80%條件下的阻尼材料最優(yōu)拓撲分布，靈敏度分別為 1.624 5 ×10-7、2.23 ×10-7、2.79 ×10-7和4.3×10-7。圖6是損耗因子平均值隨阻尼材料刪除率的變化。圖7為材料刪除率隨迭代次數(shù)增加的變化曲線。從圖2～圖5可知，由于兩端面存在約束，模態(tài)損耗因子對阻尼胞單元的靈敏度較小，先被刪除。此外，周向波節(jié)線處的靈敏度也較小，隨著刪除率增加，也將被刪除。從圖6可以看出:損耗因子平均值隨阻尼材料刪除率增加而減少，但下降速度并不是很快，表明:采用拓撲優(yōu)化技術，可充分利用阻尼材料的空間拓撲布局，使結構保持較高的振動能量耗散特性。圖7可以看出每次迭代刪除的阻尼單元數(shù)大致不變，說明了迭代過程比較穩(wěn)定。

圖7 阻尼材料刪除率隨迭代次數(shù)變化Fig.7 Change of damping material delete rate with iteration number

4.2 約束阻尼材料最優(yōu)布局

一圓柱形薄殼，兩端面受到徑向和軸向約束。長100 mm，內(nèi)徑250 mm，外徑260 mm，基殼楊氏模量為109 GPa，密度為4 440 kg/m3，泊松比為0.34;在基殼上覆蓋一層粘彈性阻尼材料，厚度為1 mm，楊氏模量為57 MPa，密度為 1 140 kg/m3，泊松比為 0.3，損耗因子為1;在粘彈性阻尼材料上再覆蓋一層約束層，厚度為1 mm，楊氏模量為210 GPa，密度為7 800 kg/m3，泊松比為0.3。基殼與粘彈性夾心層，采用solid45單元劃分網(wǎng)格，約束層采用shell63單元劃分網(wǎng)格。

在控制約束阻尼材料用量條件下，搜尋約束阻尼材料的最優(yōu)拓撲分布，使約束阻尼圓殼的6、8、10階模態(tài)損耗因子的平均值最大，即各階加權系數(shù)為1/3。

圖8～圖11為約束阻尼材料刪除率為20%、40%、60%和80%條件下的拓撲優(yōu)化布局，靈敏度分別為5.43 ×10-4、8.41 × 10-4、1.25 × 10-4和 1.36 × 10-3。從圖8～圖11可知，靈敏度較低的阻尼胞單元處于兩端面以及周波節(jié)線處，當刪除率為60%時，這種效應變得更加明顯。圖12為損耗因子平均值隨約束阻尼材料刪除率的變化。圖12表明:刪除率小于20%時，模態(tài)損耗因子比全覆蓋結構還略有升高，刪除率達40%時，模態(tài)損耗因子與全覆蓋結構相當，繼續(xù)增大刪除率，則模態(tài)損耗因子開始下降，說明刪除的前40%阻尼材料對模態(tài)損耗因子的影響不大，但整個附加質(zhì)量卻減輕了。由此帶來的結果是阻尼材料用量減少，附加質(zhì)量減輕，而耗能作用不變，這就是采用拓撲優(yōu)化布局的效應。圖13為材料刪除率隨迭代次數(shù)增加的變化曲線。從圖13可以看出:每次迭代刪除的阻尼單元數(shù)大致不變，說明了迭代過程比較穩(wěn)定。

通過對優(yōu)化模型的模態(tài)分析可知，圓柱殼體模態(tài)振動關于殼體中心軸對稱，是典型的空間對稱，而從自由阻尼結構和約束阻尼結構拓撲優(yōu)化布局來看，阻尼材料分布也是關于圓柱殼體中心軸對稱的，說明模態(tài)振型和模態(tài)損耗因子靈敏度有著密切的聯(lián)系。

圖8 約束阻尼材料最優(yōu)拓撲分布(刪除率20%)Fig.8 Constraint damping topological placement(20%)

圖9 約束阻尼材料最優(yōu)拓撲分布(刪除率40%)Fig.9 Constraint damping topological placement(40%)

圖10 約束阻尼材料最優(yōu)拓撲分布(刪除率60%)Fig.10 Constraint damping topological placement(60%)

圖11 約束阻尼材料最優(yōu)拓撲分布(刪除率80%)Fig.11 Constraint damping topological placement(80%)

圖12 約束阻尼模態(tài)損耗因子隨刪除率變化Fig.12 Change of constraint damping loss factor of modality with delete rate

圖13 約束阻尼材料刪除率隨迭代次數(shù)變化Fig.13 Change of constraint damping material delete rate with iteration number

5 結論

采用漸進優(yōu)化算法(ESO)，以阻尼結構模態(tài)損耗因子最大化為目標，阻尼材料刪除率為約束條件，阻尼胞單元為設計變量，對自由阻尼以及約束阻尼材料布局進行了拓撲優(yōu)化。研究了阻尼結構模態(tài)損耗因子對阻尼胞單元位置的靈敏度，導出靈敏度計算表達式。研究結果表明:約束阻尼結構的阻尼效果優(yōu)于自由阻尼結構，且圓柱殼體模態(tài)振型和模態(tài)損耗因子靈敏度服從相同的空間分布規(guī)律，對自由阻尼或約束阻尼進行布局優(yōu)化，能使圓柱殼體以較小的附加質(zhì)量，獲得較大的振動能量耗散，顯著降低圓柱殼體的振動響應。采用ANSYS參數(shù)化設計語言(APDL)，編寫基于漸進優(yōu)化方法(ESO)的拓撲優(yōu)化程序，進行阻尼材料布局優(yōu)化，在工程上是可行的，具有很好的工程實用性。

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