考慮負載影響的階梯形超聲變幅桿動力特性

謝欣平， 田阿利，王自力， 尹曉春

(1.江蘇科技大學 船舶與海洋工程學院，鎮江 212003;2.南京理工大學 力學與工程科學系，南京 210094;3.南京航空航天大學 航空宇航制造工程系，南京 210016)

變幅桿作為超聲加工系統的重要組成部分，主要實現能量傳輸和聚能作用。變幅桿的振動特性理論分析，通?；谄洳▌臃匠?，由邊值問題定解［1－2］，通過模態分析研究放大系數、位移節點等。Mason［3］首次將變幅桿引入超聲加工系統，提出等效網絡分析法。在此基礎上，發展了用于解決復雜形狀變幅桿振動特性的傳輸矩陣法［4］，四端網絡法［5－6］，表觀彈性法［7］等。林仲茂［8］對常見形狀的變幅桿和復合變幅桿的振動特性進行了系列研究。

近年來，有限元法廣泛應用于變幅桿的振動特性研究，例如:采用有限元軟件，基于Lanczos法分析變幅桿的振動模態，優化設計包含輔助工具在內的超聲加工系統［9］;分析變幅桿的前若干階振動模態的諧振頻率、放大系數及局部共振等問題［10］等。

目前，變幅桿的設計通常按半波、空載考慮，實際應用時再加以調整［11］。然而實際工作狀態中的變幅桿接收換能器輸入激勵，連接加工工具，產生超聲波振動，不斷撞擊被加工表面而成型。為考慮加工件的影響，提高用于精細超聲加工的變幅桿加工精度，Neumann［12］研究了超聲鉆孔過程中不同接觸面對結構動力特性的影響。Statnikov等［13］在微秒級范圍內測量了實際工作狀態下變幅桿的動態應力應變，分析了超聲焊接的瞬態響應。值得注意的是，超聲加工過程是加工工具與加工件表面高頻撞擊接觸的過程，高頻重復撞擊接觸可能對超聲變幅桿動力特性產生影響。

考慮與加工工件表面高頻撞擊接觸過程對結構動力特性的影響，本文研究周期激勵作用下階梯形超聲變幅桿的瞬態動力響應，及其對變幅桿放大特性的影響。首先，基于結構動力學，建立階梯形變幅桿力學模型;通過變幅桿系統與工件的接觸過程和分離過程的高頻轉換，反映超聲加工的工作狀態;以瞬態波響應法［14－16］分別對接觸過程和分離過程動力控制方程進行求解，得到適用于任意級數的階梯形變幅桿的特征項傳遞函數，和重復撞擊系統的瞬態響應理論解。以工程中常用的三級階梯形變幅桿為例，分析撞擊位移，撞擊力，分析了不同頻率的外激勵下變幅桿重復撞擊動力特性和負載工件對變幅桿聚能效果的影響。

1 力學模型

超聲加工的過程中，換能器產生超聲振動輸入給變幅桿，變幅桿作縱向振動將振動位移放大并沖擊加工表面(負載)，加工表面在高頻的撞擊之下逐漸磨損，直至形成所要求的形狀。變幅桿為變截面的細長桿件，若不考慮材料的機械耗損，可只考慮一維平面波沿桿的軸向傳播，即采用一維波動理論建立相應的力學模型。

圖1為一n級階梯形變幅桿及加工工件的簡化系統。變幅桿各階桿件材料相同，其彈性模量E1和密度ρ1相同，橫截面積和長度從輸入端到輸出端依次為:A1，l1，A2，l2，…，An，ln。為分析加工工件的影響，將其近似簡化為一維樁，彈性模量為E2，密度為ρ2，橫截面積和長度分別為An+1，ln+1。變幅桿加工過程是變幅桿與工件表面高頻重復碰撞接觸的過程，其碰撞力學機理可看成為變幅桿與加工工件表面碰撞接觸過程和分離過程的高頻反復交替發生。

圖1 階梯形變幅桿超聲加工結構示意圖Fig.1 Illustration of ultrasonic machining

1.1 控制方程

由Lamé-Navier's方程:

在不考慮橫向慣性效應影響時，對階梯形變幅桿的各級桿分段求得其控制方程為:

在控制方程中，位置坐標原點分別建立在各級桿件的左端面處。

1.2 初邊值條件

階梯形變幅桿的各級桿件之間所滿足的力連續條件和位移連續條件分別為:

而變幅桿與加工件表面之間的接觸面邊界條件，則需要根據加工接觸和分離兩個過程，分別進行討論。

在接觸過程中，變幅桿輸出端與加工工件表面滿足接觸面位移連續和接觸力連續的要求，即:

在分離過程中，變幅桿輸出端和加工工件表面將成為自由表面，即:

當接觸過程結束時，變幅桿右端面與工件左端面的接觸壓力下降為0。在接觸過程的邊界條件下，此刻該面的應變從數值上表現為由負轉正。故進入分離狀態的判斷條件為:

當分離過程結束時，變幅桿右端的位移與工件左端的位移又重新相等。在分離過程的邊界條件下，此刻變幅桿右端的位移由小于變為大于工件左端的位移。故進入接觸狀態的判斷條件為:

2 解的構造與求解

階梯形變幅桿的各級桿的位移解可由準確性靜態位移解和動態位移解構成，即:

通過構造滿足非齊次邊界條件的準靜態解Uis(xi，t)和滿足齊次邊界條件的動態解Uid(xi，t)的微分方程，以解決原控制方程非齊次邊界條件的問題。

2.1 準靜態解

準靜態解應滿足靜力學假設和非齊次邊界條件，因而得到接觸狀態下的準靜態解為:

分離狀態下的準靜態解為:

其中:

2.2 動態解

由控制方程(2)及解的構成形式(8)可得動態解的微分方程:

接觸狀態下的齊次邊界條件和連續性條件化為:

分離狀態下的齊次邊界條件和連續性條件的處理方法同上。

在接觸狀態下，根據瞬態波函數法將動態解展開成具有分離變量的形式:

在分離狀態下，動態解按變幅桿與工件分別求解，均根據瞬態波函數法展開為分離變量形式:

接觸狀態下特征函數解為:

系數aij，bij由特征函數的邊界條件和連續性條件確定。

所得到的一組關于待定系數的方程組為:

其中:

為使得方程組(18)式有非零解，矩陣行列式值應為零，構成計算加工過程中各階波數和系統的頻率方程。

結合方程組(18)和正交歸一化特征式(19)，確定特征函數的待定系數aij，bij。

分離狀態下的特征函數的求法同接觸狀態的相同。值得注意的是，分離狀態下的變幅桿動態解應疊加剛性平動項，剛性平動項對應的特征函數為常數。

接觸狀態下時間函數的求解方法如下:將已求得特征函數的動態解代入微分方程(12)，結合正交歸一化特性(19)，得時間函數的微分方程為:

式中，

解得的時間函數為:

其中，qj(0)，(0)由初始條件確定。

分離狀態下的時間函數按變幅桿與工件分別求解，求解方法與接觸過程相同。在每一次接觸狀態或分離狀態中，時間函數的時間變量采用各自狀態內的相對時間坐標，即在絕對時間坐標下，tp，(p=1，2…)記錄下了每一次分離及接觸的時刻，而時間函數中的時間變量t*=t－tp，(p=1，2，…)，t*為相對坐標，t為絕對坐標。

3 算例與分析

結合工程實際，將變幅桿輸出端連接的加工工具簡化為變幅桿系統的一部分，即為變幅桿的小端(輸出端)。本文研究了45鋼三級階梯變幅桿系統在周期驅動力作用下加工球墨鑄鐵工件的工況，計算模型如圖2所示，各參數如表1所示?；谒矐B波特征函數展開法計算階梯形變幅桿重復撞擊加工的解析解，在Matlab環境中編程，數值計算階梯形變幅桿在加工過程中的結構動力響應，并比較分析不同外載頻率下變幅桿的聚能效果。

圖2 數值計算模型Fig.2 Model for numerical calculus

表1 計算模型中的物理參數Tab.1 Physical parameters of the model for calculus

周期驅動力:

3.1 瞬態動力響應

圖3為外激勵頻率ω=40π kHz時，撞擊接觸面的撞擊力與位移的時間歷程。從撞擊力時間歷程可以看出，當變幅桿中由外激勵激發的瞬態應力波振面傳播到達撞擊接觸面時，撞擊力曲線發生變化，力峰值大于外激勵幅值，而變幅桿輸出端與加工件表面位移滿足位移連續。約經過一個外激勵周期后，接觸過程結束，變幅桿與加工件分離。此時，撞擊力為零，變幅桿輸出端不受加工件影響，位移幅值顯著增加。由于應力波傳播的持續效應，使得分離過程中變幅桿和加工工件位移曲線，均存在波動，波動半周期為應力波在結構中傳播一次的時間。t=0.119 ms時，在外激勵作用下，發生再次接觸。但由于瞬態波的持續效應，使得撞擊力時間歷程曲線不光滑，存在鋸齒狀變化。再次分離過程中，發生了幅值小、歷程短的次撞擊現象［16］。由于接觸、分離產生的強間斷瞬態波，不斷的在結構中傳播、反射、透射，使得后續撞擊力時間歷程和結構響應更加復雜。

3.2 不同外載頻率下的聚能效果

不同的外載頻率，對變幅桿系統的聚能效果影響顯著。本文比較分析了外載圓頻率 分別為50 kHz，70 kHz，40 πkHz，208.57 kHz 和 350 kHz 時，階梯形變幅桿系統的聚能效果。其中70 kHz為變幅桿與工件系統在接觸過程中的諧振圓頻率;208.57 kHz為階梯形變幅桿的諧振圓頻率。

圖3 接觸點的位移及撞擊力響應Fig.3 Displacement and impact force at the contact interface

當外激勵頻率為208.57 kHz時，根據文獻［8］中的理論，計算得到本算例的變幅桿空載放大系數為Mp=1.72?？紤]結構瞬態響應的影響，圖4給出了外激勵頻率為208.57 kHz工況下，分離狀態(即空載)時輸入輸出端的位移變化幅值(消除剛性位移項)。計算得到放大系數的平均值為1.67，小于由振動理論計算得到的空載放大系數Mp。

圖5為208.57 kHz工況下接觸狀態時，變幅桿輸入輸出端的位移變化幅值，此時輸出端位移變化幅值與輸入端位移變化幅值之比的平均值約為0.8。對比圖4，表明在變幅桿的實際工作中，負載的存在使位移變化明顯減弱。

圖6為不同頻率周期驅動力下，接觸過程中變幅桿輸入端與輸出端的位移曲線?？梢钥闯?，當外激勵頻率顯著小于變幅桿諧振頻率時，變幅桿分離狀態持續時間長，撞擊頻率下降，且輸出位移遠小于輸入位移，表現出明顯的平動狀態，不利于超聲加工;當外激勵頻率顯著大于變幅桿諧振頻率時，變幅桿與工件長期接觸，難以形成高頻撞擊，且輸出位移始終小于輸入位移，即變幅桿始終受壓縮，難以實現加工效果。當外激勵圓頻率調整為變幅桿的諧振圓頻率ω=208.57 kHz附近時，從變幅桿的輸出、輸入位移曲線，可以看出變幅桿兩端為拉伸與壓縮狀態的高頻交替，變幅桿高頻撞擊工件，為超聲加工的理想狀態。

圖7為不同頻率周期驅動力下，接觸過程中變幅桿輸出力阻抗值的自然對數。力阻抗特性分析表明，變幅桿系統開始工作后，其力阻抗值逐漸過渡至穩定狀態。與其他工況相比，外激勵頻率接近變幅桿諧振頻率的情況下，輸出力阻抗調整迅速，調整后平穩。這表明，超聲加工過程，外激勵頻率調整為接近變幅桿固有的諧振頻率時，具有理想的阻抗匹配特性。

4 結論

根據變幅桿工作狀態，考慮與加工工件高頻重復撞擊負載的瞬態響應影響，研究了階梯形變幅桿的瞬態動力特性和結構聚能效果。基于動力學，采用瞬態響應法，給出結構瞬態響應解。通過工程常見的三級階梯形變幅桿的數值計算，得出以下結論:

(1)瞬態響應解能實現對考慮工作負載的超聲變幅桿的瞬態動力學研究，分析結果精確可靠。

(2)變幅桿高頻撞擊工件為超聲加工的理想工作狀態。通過本文計算比較，負載及瞬態波傳播對變幅桿的最優工作頻率影響微弱，外激勵頻率與變幅桿諧振頻率相同或接近時，變幅桿為理想工作狀態。因此超聲變幅桿系統的工作頻率(外激勵頻率)按空載設計［8］是合理的。

(3)與負載重復撞擊產生的瞬態響應，對變幅桿實際放大系數有影響，實際放大系數(撞擊過程為0.8，分離過程為1.6)低于振動理論空載設計值1.72，表明沒有考慮高頻波動效應的振動理論預測值偏高。

［1］ Akkas N，Barez F.Elastic wave propagation in an exponential rod［J］.Int.J.Mech.Sci，1980，22:199－208.

［2］ Sankin Y N，Yuganova N A.Longitudinal vibrations of elastic rods of stepwise-variable cross-section colliding with a rigid obstacle［J］.J.Appl.Maths.Mechs，2001，65(3):427－433.

［3］ Mason W P.Energy losses of sound waves in metals due to scattering and diffusion［J］.J.Appl.Phys，1948，10(19):940－946.

［4］ Lesniewski P.Discrete componentequivalentcircuitfor webster S horns［J］.Applied Acoustics，1995，44:l17－124.

［5］ 顧煜炯，周兆英，姚 健.超聲振動系統的四端網絡設計方法及其應用［J］.機械工程學報，1997，33(3):95－100.

［6］ 趙福令，馮冬梅，郭東明，等.超聲變幅桿的四端網絡法設計［J］.聲學學報，2002，27(6):554－558.

［7］ Mori E.New bolt clamped flexural mode ultrasonic high power transducer with one dimensional constru-ction［C］.Ultrasonics International Conference Proceedings，1989，256.

［8］ 林仲茂.超聲變幅桿的原理與設計［M］.北京:科學出版社，1987.

［9］ 張向慧，錢 樺.半波長復合形變幅桿的有限元分析［J］.南京理工大學學報(自然科學版)，2010，34(1):99－102.

［10］ 王敏慧，鮑善惠.粗細端等長階梯形變幅桿的有限元分析［J］.應用聲學，2005，24(5):275－280.

［11］ Eisner E，Seager J S.Design of sonic amplitude transformers of high magnification［J］.J.Acoust.Soc，1963，35(9):1367－1377.

［12］ Neumann N，Sattel T.Set-oriented numerical analysis of a vibro-impact drilling system with several contact interfaces［J］.Journal of sound and vibration，2007，308:831－844.

［13］ Statnikov E S.Physics and mechanism of ultrasonic impact［J］.Ultrasonics，2006，44:533－538.

［14］ Yin X C，Wang L G，The effect of multiple impacts on the dynamics of an impact system ［J］.Journal of Sound and Vibration，1999，228(5):995－1015.

［15］ Yin X C，Qin Y，Zou H，Transient responses of repeated impact of a beam against a stop［J］.International Journal of Solids and Structures，2007，44:7323－7339.

［16］ 田阿利，尹曉春.自由飛行桿撞擊過程中的二次撞擊區［J］.振動與沖擊，2008，27(1):19－24.