含裂紋兩端鉸支輸流管道在振蕩流作用下的非線性動力特性研究

蔡逢春，臧峰剛，梁艷仙

(1.中國核動力研究設計院 核反應堆系統設計技術國家級重點實驗室，成都 610041;2.成都航空職業技術學院 建筑工程系，成都 610021)

兩端支承的輸流管道在流速足夠大的定常流作用下一般只會因屈曲發生靜態失穩或稱為發散失穩，但是在振蕩流的作用下，即使平均流速較小(遠小于發生靜態失穩的臨界流速)，系統也可能因參數共振而動態失穩［1］。Ariaratnam 等［2］采用平均法研究了兩端鉸支輸流管道在振蕩流作用下的次諧波共振和組合共振;Namachchivaya等［3］對該系統進行了非線性分析，在共振區域內給出了次諧波共振和組合共振的幅頻特性曲線。金基鐸等［4］、梁峰等［5］進一步分析了該系統的共振區域內的各種參數共振能夠延續的頻率范圍和它們的振動特性。Panda等［6］采用多尺度法考察了兩端鉸支輸流管道在振蕩流作用下的主共振、組合共振和內共振行為。Wang［7］研究了兩端鉸支輸流管道在平均流速較大(大于臨界流速)條件下的動力學行為。

含裂紋結構的動力學特性分析一直是個熱點研究方向，有大量的文獻報道，但關于含裂紋管道的動力學特性的研究較少，Zheng等［8］推導了空心矩形和圓形截面結構橫向裂紋在純彎矩作用下的局部柔度，并研究了其結構的振動特性和穩定性。He等［9］通過將裂紋截面分成一系列的薄環計算管裂紋的應力集中因子和柔度系數，并通過試驗驗證。這些研究都采用的是開裂紋模型，且沒有考慮流體的影響。Yoon等［10］研究了含裂紋簡支輸流管道在移動載荷作用下的動態特性，其基于Lagrange方程推導出含裂紋兩端簡支輸流管道在移動載荷作用下的運動方程，研究了裂紋對輸流管道的頻率、位移響應的影響，他們也是假設裂紋在振動過程中始終處于張開狀態。

本文首先建立起含呼吸裂紋的輸流管道在振蕩流作用下的非線性運動方程，采用數值方法，研究含裂紋輸流管道在參數共振區域內的運動形態，并與無裂紋輸流管道的運動狀態相比較，重點考察由于裂紋的存在，導致輸流管道的運動形態的改變。

1 裂紋模型

Zheng等［8］通過將含單邊直裂紋圓管的裂紋區域分割成為一序列的無限小的矩形條帶區域，各個微小裂紋條帶的應力強度因子近似使用無限長板條的單變裂紋應力強度因子，然后求得直裂紋的柔度系數。本文基于其方法建立管道外壁部分圓周裂紋(如圖1所示)的柔度系數。裂紋深度為a，裂紋對應的圓心角為2θ，管壁厚度為 h，管外徑為 De，內徑為 Di。

積分條帶處的應力強度因子為［8］:

在純彎矩作用下由外壁部分圓周裂紋帶來的局部柔度系數為:

式中，E'=E/(1－ν2)，E為彈性模量，ν泊松比，Ae為裂紋區域。

圖1 外壁部分圓周裂紋Fig.1 Partly circumferential crack

2 紋梁的模態函數

含裂紋梁在裂紋處轉角不連續，為了得到滿足邊界條件和裂紋處的不連續條件的模態函數，本文通過在不含裂紋梁的模態函數中加入3次多項式來構造出含裂紋梁的模態函數。

依據模態假設法，梁的橫向位移可以寫成:

考慮含有Q－1條裂紋的梁，裂紋梁被分成Q段，分別用扭轉彈簧組裝起來。設含裂紋梁的第k段的第j階模態函數為:

式中，ξ∈［ξkξk+1］，ξ=X/L，L 為管道長度，兩端點坐標，ξ1=0，ξQ+1=1，A4k－3～A4k為待定系數，(ξ)無裂紋梁的模態函數，k=1，2，…，Q。

對于兩端鉸支梁，有以下4個邊界條件:

在裂紋處要滿足位移、轉角、剪力和彎矩4個協調條件:

式中，Ck－1為裂紋柔度系數，(')= ?/?ξ，k=2，3，…，Q。

通過式(5)、式(6)可唯一確定含裂紋梁的模態函數。

3 含裂紋兩端鉸支輸流管道運動方程

3.1 輸流管道模型

含裂紋兩端鉸支輸流管道的模型見圖2，輸流管道長度為L，流體橫截面積為A，管道橫截面積Ap，單位長度管道的質量為m，抗彎剛度為EI，流體的相對管道流速為U，單位長度流體的質量為M，裂紋位置為Xc，裂紋為外壁部分圓周裂紋，管道沿著X軸方向放置如圖2。對管道和流體有以下基本假設:① 裂紋尖端應力在彈性范圍內;② 流體無粘性、不可壓縮;③ 管道內流速U一致;④ 管道在平面內運動;⑤ 采用Euler梁假設，不計管道的轉動慣量和剪切變形。

初始狀態，物質點的坐標采用Lagrange坐標(X，Y)描述，變形后采用Euler坐標(x，y)描述，物質點的位移為 u=x－X，v=y－Y。

圖2 含裂紋兩端鉸支輸流管道模型Fig.2 A hinged-hinged pipe conveying fluid with a crack

3.2 用于描述輸流管道運動的拉格朗日方程

Stangl［12］應用一種適用于含有非材料體(non-material volumes)系統的 Lagrange方程［11］推導出了懸臂輸流管道的非線性運動方程，這種擴展的Lagrange方程非常方便處理流進流出控制體的質量。本文基于此方程來推導含裂紋輸流管道系統的運動方程。其運動方程可寫為:

式中，T為系統的總的動能，Qi為系統的廣義力，qi為廣義坐標。方程中包含兩個曲面積分，用于描述流入流出控制體的質量。Γ為控制體的邊界，da描述曲面Γ上的微元方向，VF、VP分別是流體的速度和管道的速度,是單位體積流體的動能。

3.3 系統的動能

對于兩端鉸支輸流管道，在發生橫向位移后，由于兩端的位移為零，管道的伸長將導致管道的橫截面積縮小，當流體為不可壓縮時，管道橫截面積的縮小將導致流速增大，考慮了這些因素后，Paidoussis在其文獻［1］中給出了流體的速度矢量為:

式中，(')=?/?X，()=?/?t。

對于兩端鉸支輸流管道，忽略高階項，系統動能可寫成［1］:

式中，Tp為管道動能，TF為流體動能。

3.4 曲面積分

依據前面的分析，流體的單位體積動能可寫成:)

式中，ρF為流體密度。

由于在裂紋處的轉角不連續，因此在裂紋截面左右兩邊的方向矢量不相等。在裂紋截面左右兩邊的曲面積分的和也不等于零。在裂紋截面左邊的曲面積分為:

裂紋截面右邊曲面積分為:

由裂紋處的協調條件(6)，裂紋左右兩邊的曲面積分式(11)、式(12)的和為:

由于VF－VP=U，廣義速度項無關為變形后管道切向方向矢量，因此方程(7)中的第二個曲面積分等于零。

3.5 廣義力

由彎曲變形引起的彈性勢能為:

用于模擬裂紋的無質量彈簧的勢能為:

考慮管道的橫向運動產生附加的軸向力，輸流管道的橫截面軸力和流體壓力可表示為［1］:

式中，N為管道軸力，P為流體壓力。管道軸力和流體壓力做的功:

因此可以得到廣義力為:

3.6 系統運動方程

為了得到無量綱運動方程，引入以下無量綱量:

考慮無量綱流速為:

式中，u0為平均流速，Ω為振蕩流頻率，μ為振蕩流幅值。

將以上得到的系統動能、曲面積分和廣義力代入方程(7)，且考瑞利阻尼比例系數，可得到裂紋張開時，系統無量綱運動方程的質量、阻尼、剛度矩陣為:

式中:

當裂紋閉合時，裂紋帶來的局部柔度系數C=0，此時含裂紋輸流管道的運動方程與無裂紋輸流管道的運動方程是一樣的，令C=0，類似式(20)，可以求得裂紋閉合狀態時，系統的質量矩陣、阻尼矩陣、剛度矩陣。

裂紋的張開閉合狀態將由裂紋處的曲率η″(ξc)的正負號來確定，含呼吸裂紋兩端鉸支輸流管道的運動方程可寫成:

式中，(')=?/?ξ，()=?/?τ。

可以看出，由于裂紋張開、閉合，含呼吸裂紋的輸流管道的質量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣將隨裂紋的張開閉合狀態的變化而改變。

4 數值計算與分析

本節將采用龍格庫塔法對方程(21)直接積分，研究有/無裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運動特性，重點考察由于裂紋的存在會對輸流管道的運動形態的改變。

4.1 無裂紋輸流管道在振蕩流作用下的參數共振

為驗證本文所建立的含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運動方程的正確性，首先研究無裂紋輸流管道非線性行為，并與已有文獻［3－4］比較，取系統參數與文獻［4］相同，為:α =0.005、c=0、β=0.64、μ=0.4、κ=5 000、u0=2.5。取2階模態函數進行數值計算［5，6］，計算結果如圖3所示。圖中的橫坐標為振蕩流無量綱頻率Ω，縱坐標為管道中點位移幅值，當管道中點的運動速度為零的時候，記錄此時中點的位移值。

從分岔圖可以看出，當0＜Ω＜6時，系統主要表現為混沌運動，還包含了一些周期運動，這以區域主要是系統一階振型主共振和超諧共振區域;區域6.9＜Ω＜16.1對應于系統的一階振型1/2次諧波共振區域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，當6.9＜Ω＜10時，系統表現為復雜的周期1運動，當10＜Ω＜16.1時，系統進入周期1運動。區域35＜Ω＜53.2對應于系統的一、二階振型組合共振區域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，當35＜Ω＜40.3時，系統表現為周期運動或擬周期運動，當40.3＜Ω ＜53.2時，系統進入周期1運動;區域64＜Ω＜94.6對應于系統的二階振型1/2次諧波共振區域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，系統表現為周期1運動。在其它區域內，系統處于穩定狀態。出現的這些運動形態以及失穩區域與文獻［4］是一致的。

為更清楚描述系統的運動狀態，圖4給出了幾個典型運動形態的相圖與相應的Poincare映射圖。Poincare映射圖采用類似文獻［13］中給出的映射觸發器:當管道位置ξ=0.3處位移為零時，記錄ξ=0.7處的運動狀態。由于在記錄時沒有區分速度的正負，周期1運動有2個孤立點，見圖4(d)，擬周期運動在Poincare映射圖上點組成兩個封閉環，見圖4(c)，混沌運動，有無窮多個離散點，見圖4(a)。

4.2 含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的分岔與混沌行為

取參數:管長L=1 m，外徑 De=0.1 m，內徑 Di=0.07 m，彈性模量 E=2.0 ×108Pa，泊松比 ν=0.36，裂紋角 θ=π/2，裂紋相對深度 a/h=0.9，裂紋位置 ξc=0.3，α =0.005、c=0、β =0.64、u0=2.5。取2 階模態函數進行數值計算，計算結果如圖5所示。作分岔圖的方法與4.1節相同。

從分岔圖可以看出，當0＜Ω＜6.1時，系統主要表現為混沌運動和周期運動，與不含裂紋的輸流管道的運動狀態類似;區域6.8＜Ω＜15.9對應于系統的一階振型1/2次諧波共振區域，振幅隨激勵頻率的增加而增大，在這一區域明顯存在一個與無裂紋輸流管道不同的地方，由于裂紋的存在，輸流管道分岔圖上出現了經過多個倍周期分岔進入混沌運動，又通過多個倍周期分岔從混沌運動進入周期運動(見圖5(b))。當40.6 ＜Ω ＜49.8，系統進入一、二振型組合共振區域，系統的運動形態存在明顯的跳躍，即在某些參數處系統的運動形態可能從一種形態突然改變到另外一種形態，系統主要表現為周期運動，且由于裂紋的存在使得擬周期運動消失了;當62.6＜Ω＜93.3，系統進入二階振型1/2次諧共振區域，系統表現為混沌運動，這與無裂紋輸流管道的運動狀態完全不同，這些不同是由于裂紋存在造成的。在其它區域，系統穩定，位移幅值最終收斂于零。

圖3 無裂紋輸流管道分岔圖Fig.3 Bifurcation diagram for a uncracked pipeconveying fluid

為更清楚描述系統的運動狀態，圖6給出了幾個典型運動形態的相圖和相應的Poincare映射圖，采用的映射觸發器與4.1節相同。Ω=7.3時，為復雜的周期1運動，見圖6(a);Ω=7.3時，系統表現為復雜的周期2運動，見圖6(b);Ω =7.5、85時，Poincare映射圖上有無窮多個點，為混沌運動，見圖6(c)、圖6(d)。

圖6 含裂紋輸流管道中點相圖與Poincare映射圖Fig.6 Phase portraits of the motions of midpoint of the cracked pipe span and Poincare portraits

4.3 裂紋深度的影響

通過以上對含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運動狀態的研究，發現由于呼吸裂紋的存在，會導致輸流管道的運動狀態由周期運動變為混沌運動。為詳細研究裂紋對輸流管道運動狀態的影響，下面通過數值計算，以裂紋相對深度為分岔參數作分岔圖，圖7、圖8分別為激勵頻率Ω=7.5、Ω=85時，以裂紋相對深度為分岔參數所得到的分岔圖，其它參數與4.2節相同。從圖7可以看出，當激勵頻率Ω=7.5時，隨著裂紋深度的增加，系統通過多個倍周期分岔進入混沌運動，且隨著裂紋深度的增加，分岔圖保持連續性。當激勵頻率Ω=85時，從分岔圖(圖8)可以看出系統的運動形態存在明顯的跳躍，振動幅值發生驟然的變化，裂紋相對深度較小時，系統表現為周期1運動，裂紋相對深度較大時，系統主要表現為混沌運動。

5 結論

基于本文建立的含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的非線性運動方程，采用數值方法，研究了有/無裂紋的輸流管道在振蕩流作用下的參數共振。

對于無裂紋輸流管道，研究表明:在一、二階振型1/2次諧波共振區域及組合共振區域出現的運動形態與已有相關文獻的結論是一致的，證明本文建立的運動方程是正確的。本文還發現，激勵頻率較小條件下(一階振型超諧共振區域)，系統發生了混沌運動和周期運動。

對于含裂紋輸流管道，結果表明，含裂紋輸流管道表現出更豐富的動力學行為。在一階振型1/2次諧波共振區域，系統運動形態通過典型的倍周期分岔進入混沌運動，又從混沌運動經過倍周期分岔進入周期運動;在一、二階振型組合共振區域，系統的運動形態存在明顯的跳躍，對應的振幅也有驟然的變化，在這一區域系統主要表現為周期運動，且由于裂紋的存在，擬周期運動消失。在二階振型1/2次諧波共振區域，系統表現為混沌運動。

最后研究了含裂紋輸流管道在振蕩流作用下的運動形態隨裂紋相對深度的變化，研究表明:當激勵頻率Ω=7.5時，隨著裂紋深度的增加，系統通過多個倍周期分岔進入混沌運動，當激勵頻率Ω=85時，隨著裂紋深度的變化，系統的運動形態存在明顯的跳躍。

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