下臥基巖飽和地基在移動荷載作用下的動力響應

胡安峰，孫 波，謝康和

(浙江大學 軟弱土與環境土工教育部重點實驗室，杭州 310058)

土體在移動荷載作用下的動力響應研究在很多領域都有重要的意義。由于飽和土體是由土顆粒和水組成的兩相介質，而且孔隙水的存在對移動荷載作用下土體內波的傳播有很大影響，因此研究飽和土體在移動荷載作用下的動力響應時，引入飽和多孔介質的土體模型比線性彈性模型或Visco-Elastic土體模型更接近實際情況。Biot［1－2］開辟了對飽和多孔介質理論研究的先河。Burke和Kingsbury［3］獲得了二維多孔飽和半空間在表面移動壓力作用下的解析解。但他們的解沒有考慮慣性項，所以不是真正的動力解。Siddharthan等［4］在忽略了水土耦合作用的情況下，求解了平面應變條件下飽和土體的動力響應問題。Theodorakopoulos［5］利用 Mei和 Foda［6］的理論，在平面應變條件下采用級數的方法研究了位于基巖上的有限層厚土體在運動荷載作用下的動力響應，但是他沒有考慮土顆粒的壓縮性。孫宏磊等［7］在平面應變條件下研究了移動荷載作用下橫觀各向同性飽和土體的動力響應問題。Cai等［8］研究了移動矩形荷載作用下飽和土體的動力響應問題。金波等［9－10］研究了勻速移動的振動荷載作用下半無限多孔飽和固體中產生的應力和孔隙水壓力，并利用擴展的梯形求積公式獲得數值解答。蔡袁強等［11］研究了下臥飽和土體的軌道系統在列車荷載作用下的動力響應問題。Xu等［12－13］分別研究了移動荷載作用下飽和成層土體的動力響應和下臥飽和成層土體的Euler梁的動力響應問題。

盡管不少學者在移動荷載作用下飽和土體的動力響應問題方面開展了相關的研究工作，但是這些研究主要把土體考慮成半空間或半平面，很少有考慮到下臥基巖的影響。但在實際工程中，飽和土層厚度總是有限的，一般到某一深度之下便為基巖。因此本文將地基考慮為有下臥基巖的飽和土體很有實際意義(見圖1)。

本文針對這一模型，通過引入勢函數并利用Helmholtz原理，再經過Fourier變換和逆變換，獲得了移動線荷載作用下飽和地基的位移、應力、孔隙水壓力的解答。最后通過快速逆傅里葉變化(IFFT)得到數值計算結果，詳細分析了土顆粒的壓縮性、孔隙水的壓縮性、飽和土的剪切模量、孔隙率、滲透性、移動荷載速度和飽和土層厚度等參數對動力響應的影響。

1 控制方程

圖1 問題的模型Fig.1 Geometry of problem

對于飽和土體，可采用飽和多孔介質動力問題的 Biot方程［1－2］。在原始方程中，Biot考慮了固液兩相的慣性耦合，但在理論和實驗中慣性質量ρa很難確定，所以在大多數的研究中，慣性耦合項經常忽略不計。此時Biot方程可以簡化為如下形式:

其中ui和wi為飽和土土骨架位移和孔隙水相對于土骨架產生的位移表示對時間t的二階導數，表示對時間t的一階導數，λ和 μ為飽和土的Lame常數;α和M為考慮兩相材料壓縮性的Biot常數，一般0≤α≤1，0≤M ＜∞，對于完全干性材料有M=0，而對于不可壓縮的材料有M→∞ 且α=1;ρ=nρf+(1－ n)ρs，n為土的孔隙率，ρs和 ρf分別為土骨架和孔隙水的質量密度;m=ρf/n，b為與內部摩擦力有關的參數，如果忽略介質的內摩擦，則b=0。

飽和土體的應力應變關系為:

式中 θ=ui，j，ζ=－ wi，j分別為土骨架的體積應變和流體的體積應變，δij為 Kronecker delta 符號，σij，p 分別為總應力分量和空隙水壓力。

位移矢量 ui，wi(i=1，2)可以用六個勢函數 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)來表示［10］，其中 φ 為標量，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)為矢量:

將式(5a)，式(5b)，代入式(1)，式(2)中，得到標量 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)的如下關系:

式中▽2為Laplace算子，

定義Fourier變換和Fourier逆變換為:

其中上標“^”表示對時間t做一次Fourier變換，上標“－”表示對空間坐標x做一次Fourier變換。對式(6a)～式(6f)應用式(7)中的Fourier變換，得到變換域內關于 φ1，φ2，φj(j=1，2)，Φj(j=1，2)的常微分方程，求解后再利用式(3)，式(4)可得到變換域內各響應分量的表達式:

其中:

{Δ}={ABCD EF}T，A，B，C，D，E，F 與z無關的未知量。

其中:

L1，L2，S對應于第一、二類縱波和橫波的復波數。

2 邊界條件及解答

考慮一有限厚度的單層飽和地基，表層有勻速運動的線性荷載(如圖1)。其中 H為層厚，F為作用在地基表面的移動線性荷載，2L是線性荷載的長度，c，ω0分別為移動荷載的速度和頻率，φ(x，y，z)為地基中任意一點在時間t的動力響應。邊界條件為:

z=0時，

z=H時，

對上述邊界條件進行式(7a)的Fourier變換后，代入方程(8)，得到頻率－波數域的解，然后對上述解進行式(7b)Fourier逆變換，得到時間－空間域的解:

R1(z)，R2(z)分別為R(z)的前三行和后三行，即:

3 數值計算及討論

在得到上述時間至空間域的解答后，要直接對其進行求逆Fourier變換較為困難，為此采用離散快速Fourier逆變換(IFFT)。截斷積分范圍，可令－16＜ξ＜16，取639 個積分點，可滿足計算精度［14］。Theodorakopoulos在文獻［5］中通過級數分解的方法得到不考慮土顆粒壓縮性時的動力響應解，為了和他的結果進行對比，本文中的相關參數取值均與文獻［5］中的相同(見表1)。其中為了考慮土體的粘彈性，

表1 土體參數Tab.1 Parameters of a soil

3.1 土顆粒壓縮性常數α的影響

圖2 土顆粒壓縮性常數α對豎向位移的影響Fig.2 Effect of soil particles compressibility on solid vertical displacement

從圖2中可以看到土顆粒壓縮性常數α的變化對豎向位移的影響很小。而且在實際中，土顆粒本身的壓縮性也較小。綜合上述兩個原因，土顆粒的壓縮性在飽和土體的動力響應中可以忽略不計，這與文獻［10］中的結論相同。而且當不考慮土顆粒的壓縮性，即α=1時，本文中的控制方程與Theodorakopoulos［5］中的控制方程可以相互轉換。為了便于比較，在本文以后的討論中均取α=1。

3.2 流體體積模量β的影響

3.3 土體剪切模量μ的影響

圖4給出了在不同剪切模量情況下豎向位移隨著深度z的變化曲線圖，從圖中可以知道，剪切模量的減小時，豎向位移增大，此變化規律很容易理解，因為土體越軟，位移便越大。

3.4 土體滲透系數k的影響

在Biot方程中，b是反映粘性耦合的參數，b=1/k，其中 k被稱為動力滲透系數，單位為kg－1·m3·s。圖5給出了不同的動力滲透系數對豎向位移的影響。從圖中可以看到隨著滲透系數的減小，豎向位移也相應的逐漸減小，但當滲透系數小于10－9時，豎向位移的變化不再明顯。這種規律可以解釋如下:當滲透系數減小時，空隙流體承擔的荷載增大，即土骨架分擔的荷載相應減小，所以土體位移減小。但當滲透系數減小到一定程度后，空隙流體相當于靜止不動，此時土體的位移變化不再明顯。

3.5 土體孔隙率n的影響

圖3 流體體積模量β對豎向位移的影響Fig.3 Effect of porewater compressibility on solid vertical displacement

圖4 土體剪切模量μ對豎向位移的影響Fig.4 Effect of shear modulus on solid vertical displacement

圖5 土體滲透系數k對豎向位移的影響Fig.5 Effect of permeability on solid vertical displacement

圖6給出了孔隙率n對飽和土體豎向位移的影響。從圖6(a)中可以看到在剪切模量μ=108、荷載速度c=20 m/s，c=100 m/s時，孔隙率的改變對豎向位移的影響不明顯。從圖6(b)中可以看到μ=0.2×108，荷載速度c=20 m/s時，孔隙率的改變對豎向位移的影響仍不明顯，但當荷載速度增大到c=100 m/s時，孔隙率的改變對豎向位移就有了明顯的影響:孔隙率增大，豎向位移減小。這種現象可理解為在荷載速度增大到一定程度時，孔隙率的影響被激發了出來。由此可以類推出在μ=108時(圖6(a))，當荷載速度增大到某一值(大于100 m/s)后，孔隙率的影響也可以表現出來。這與Theodorakopoulos在文獻［5］的結論相同。

3.6 荷載速度c的影響

圖7(a)給出了點(x=0，z=0，t=0)處的豎向位移隨著移動荷載速度比c/cs的變化曲線圖104.94 m/s為飽和土的剪切波波速。在速度較低時(小于0.4cs，豎向位移變化不大，當速度繼續增加，豎向位移開始有了顯著的增大。對于彈性土，0.9cs時豎向位移達到峰值，對于兩種不同k值的飽和土，1.0cs(約等于飽和土的瑞利波速)時豎向位移達到峰值。在達到峰值之后，豎向位移又有了顯著的減小。飽和土豎向位移峰值要比彈性土滯后一些出現是因為考慮了水土之間的耦合效應。同時還可以看到彈性土的豎向位移要比飽和土的豎向位移大，這是由于空隙水的存在分擔了部分荷載，即土骨架相應承擔的荷載減小造成的。

圖6 土體孔隙率n對豎向位移的影響Fig.6 Effect of porosity on solid vertical displacement

圖7(b)給出了地基表面的豎向位移隨著移動荷載速度c、坐標x的變化曲線圖。一方面可以看到如圖7(a)中的豎向位移先增大后減小的現象。另一方面，可以看到在移動荷載作用下，地基的豎向位移關于x=0不對稱，荷載速度越大，不對稱越明顯，峰值逐漸向x＜0方向移動。

圖7(c)給出了移動荷載作用下，豎向位移不再關于x=0對稱的原因。圖中當k=∞時，則，即此時不考慮水土之間的粘性耦合項。從圖中可以看到在 δ=0，k=10－9或 δ=0.1，k= ∞ 兩種情況下，不對稱的現象都存在。而當δ=0.1，k=∞時，即土體的黏滯性和水土之間的粘性耦合均不考慮時，從圖中可以看到，豎向位移關于x=0完全對稱。因此移動荷載作用下，豎向位移關于x=0不對稱是由土體的黏滯性和水土之間的粘性耦合兩個原因共同決定的。

3.7 飽和土層厚度H的影響

圖8給出了點(x=0，z=0，t=0)處的豎向位移隨著飽和層厚度的變化曲線圖。從圖中可以看到在移動荷載速度較低(小于0.6cs)時，當飽和層厚度增大到一定程度后，豎向位移趨于穩定，此時可把有下臥基巖的飽和地基簡化為飽和半空間。但是值得注意的是，荷載速度越大，影響深度越大，比如在c=0時，H＞120 m豎向位移就趨于穩定，但在c=0.6cs時，H＞200 m豎向位移才趨于穩定。

圖7 荷載速度c對豎向位移的影響Fig.7 Effect of load speed on solid vertical displacement

圖8 飽和土層厚度H對豎向位移的影響Fig.8 Effect of the saturated porous layer thickness on solid vertical displacement

當荷載速度大于0.6cs后，隨著飽和層厚度的增大，豎向位移先增大，當達到某個峰值后，豎向位移又顯著的減小，然后在某一個值附近震蕩。隨著荷載速度的增大，峰值位置向飽和層厚度較小的方向移動。即此時在飽和層厚度較小時，豎向位移就能達到峰值。

由此可見，有下臥基巖的飽和地基在移動荷載作用下的動力響應不能簡單的簡化為飽和半空間時的情形，在荷載速度較低且飽和層足夠厚時，二者沒有明顯區別。但當荷載速度超過一定值后，二者有明顯的區別。

4 結論

本文通過引入勢函數并利用Helmholtz原理，再經過Fourier變換和逆變換，獲得了移動線荷載作用下飽和地基的位移、應力、孔隙水壓力解答。最后通過IFFT變化得到數值計算結果，詳細分析了飽和土的各參數以及移動荷載速度和飽和層厚度對動力響應的影響。得到如下結論:

(1)土顆粒壓縮性常數α的變化對動力響應的影響很小，在實際中可以忽略不計。

(2)土體豎向位移均隨著空隙流體體積模量、土體剪切模量的增大而減小。當土體滲透性增大時，豎向位移也增大。

(3)當荷載速度較小時，孔隙率對豎向位移的影響不大，但當荷載速度達到土體瑞利波速附近時，孔隙率對豎向位移的影響很明顯。

(4)荷載速度對動力響應的影響較顯著，當荷載速度較低時，豎向位移變化不大，但當接近瑞利波速時，豎向位移有顯著的增加，超過瑞利波速后，又有顯著的減小。由于考慮了土體的黏滯性和水土之間的耦合作用，豎向位移不再關于 x=0對稱，峰值向x＜0方向逐漸移動，速度越大，不對稱性越明顯。

(5)有下臥基巖的飽和地基在移動荷載作用下的動力響應不能簡單的簡化為飽和半空間時的情形，在荷載速度較低且飽和層足夠厚時，二者沒有明顯區別。但當荷載速度超過一定值后，二者有明顯的區別。

［1］ Biot M A.Theory of propagation of elastic waves in a fluidsaturated porous solid.II.Higher frequency range［J］.J.Acoust.Soc.Am，1956，28(2):179－191.

［2］ Biot M A.Mechanics of deformation and acoustic propagation in porous media［J］.Journal of applied physics，1962，33(4):1482－1498.

［3］ Burke M，Kingsbury H B.Response of poroelastic layers to moving loads［J］. International Journal of Solidsand Structures，1984，20(5):499－511.

［4］ Siddharthan R，Zafir Z，Norris G M.Moving load response of layered soil.I:Formulation［J］.Journal of Engineering Mechanics-New York，1993，119:2052－2052.

［5］ Theodorakopoulos D D.Dynamic analysis of a poroelastic half-plane soilmedium undermovingloads［J］. Soil Dynamics and Earthquake Engineering，2003，23(7):521－533.

［6］ Mei C C，Foda M A.Wave-induced responses in a fluid-filled poro-elastic solid with a free surface-a boundary layer theory［J］.Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society，1981，66(3):597－631.

［7］ 孫宏磊，蔡袁強，徐長節.移動荷載作用下橫觀各向同性飽和地基的動力響應［J］.浙江大學學報(工學報)，2006，40(8):1382－1387.

［8］ Cai Y，Sun H，Xu C.Steady state responses of poroelastic half-space soil medium to a moving rectangular load［J］.International Journal of Solids and Structures，2007，44(22－23):7183－7196.

［9］ 金 波.受移動簡諧力作用的多孔彈性半平面問題［J］.固體力學學報，2004，25(3):305－309.

［10］ 陳遠國，金 波.移動簡諧荷載作用下多孔地基的動力響應［J］.中國科學:G 輯，2008，38(3):250－259.

［11］ 蔡袁強，孫宏磊，徐長節.軌道剛度對路軌系統及飽和地基動力響應的影響［J］.巖土工程學報，2007，29(12):1787－1793.

［12］ Xu B，Lu J F，Wang J H.Dynamic response of a layered water-saturated half space to a moving load［J］.Computers and Geotechnics，2008，35(1):1－10.

［13］ Xu B，Lu J F，Wang J H.Dynamic response of an infinite beam overlying a layered poroelastic half-space to moving loads［J］.Journal of Sound and Vibration，2007，306(1－2):91－110.

［14］ Jones D V，Le Houedec D，Peplow A T，et al.Ground vibration in the vicinity of a moving harmonic rectangular load on a half-space［J］.European Journal of Mechanics-A/Solids，1998，17(1):153－166.