基于微遺傳算法的多目標(biāo)Box-Behnken設(shè)計(jì)試驗(yàn)條件優(yōu)化分析*

山西醫(yī)科大學(xué)公共衛(wèi)生學(xué)院衛(wèi)生統(tǒng)計(jì)學(xué)教研室(030001) 楊曉文 韓榮榮 徐彥杰 劉曉紅 仇麗霞

在制藥工藝中，研究有效藥物成份與輔料的最佳劑量時(shí)，往往需要在達(dá)到有效的藥物濃度的前提下，同時(shí)保證藥物的副作用盡可能小，各類輔料的用量合理，這樣就需要通過試驗(yàn)確定藥物成份和輔料的最佳劑量，即尋找一組既滿足約束條件又使總目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)化的決策變量的取值，我們將其統(tǒng)稱為多目標(biāo)優(yōu)化問題。在多因素、多水平的試驗(yàn)研究中，常常使用析因設(shè)計(jì)，當(dāng)因素和水平數(shù)過多時(shí)，試驗(yàn)次數(shù)過多，使其不具備可行性，如三因素三水平析因設(shè)計(jì)需進(jìn)行33次試驗(yàn)。Box-Behnken設(shè)計(jì)(BBD)是由Box和Behnken在上世紀(jì)60年代提出一種擬合二階響應(yīng)曲面的三水平設(shè)計(jì)，它是由2k析因設(shè)計(jì)與不完全區(qū)組設(shè)計(jì)組合而成，是一種多因素三水平的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法〔9〕。與析因設(shè)計(jì)相比，該設(shè)計(jì)可以明顯減少試驗(yàn)次數(shù)，提高試驗(yàn)效率，降低試驗(yàn)的成本。微遺傳算法(micro-genetic algorithm，micro-GA)，是近幾年新發(fā)展起來的確定優(yōu)化試驗(yàn)條件的優(yōu)化方法之一，通過模擬自然進(jìn)化過程，使原始數(shù)據(jù)在迭代過程中產(chǎn)生“遺傳和變異”，并從全局的角度去尋找最優(yōu)試驗(yàn)條件，相比較于傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，如:看一看、算一算的直接法、最速上升法(下降法)、等高線圖法等，可以有效避免最優(yōu)試驗(yàn)條件選取時(shí)的主觀性和局部最優(yōu)解問題。

本研究旨在從統(tǒng)計(jì)分析的角度，利用模擬數(shù)據(jù)，對(duì)微遺傳算法和傳統(tǒng)優(yōu)化方法確定的多目標(biāo)最優(yōu)試驗(yàn)條件的效果進(jìn)行比較〔1－3〕。利用Matlab軟件的函數(shù)模塊、圖形模塊編制的遺傳算法程序，為多因素三水平Box-Behnken設(shè)計(jì)的結(jié)果分析提供更為科學(xué)、高效的尋優(yōu)方法。

原理及方法

1.Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)(BBD)

該設(shè)計(jì)是一種擬合響應(yīng)曲面的二階三水平設(shè)計(jì)，由2k析因設(shè)計(jì)與不完全區(qū)組設(shè)計(jì)組合而成，所得出的設(shè)計(jì)對(duì)所要求的試驗(yàn)次數(shù)來說十分有效，且它們是可旋轉(zhuǎn)的或接近可旋轉(zhuǎn)的。這種設(shè)計(jì)的另外一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是它是球形設(shè)計(jì)(圖1)。

圖1 Box-Behnken設(shè)計(jì)(k=3)

由圖1可知BBD設(shè)計(jì)是一個(gè)球面設(shè)計(jì)，所有設(shè)計(jì)點(diǎn)都在半徑為的球面上，即正方體各棱的中點(diǎn)，以及一個(gè)中心試驗(yàn)點(diǎn)。BBD設(shè)計(jì)不包含由各個(gè)變量的上限和下限所生成的立方體區(qū)域的頂點(diǎn)處的任一點(diǎn)。所以當(dāng)立方體頂點(diǎn)所代表的因子水平組合因試驗(yàn)成本過于昂貴或因試驗(yàn)限制而不可行，此設(shè)計(jì)就顯示出它特有的長處。圖中每個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)的三維立體坐標(biāo)即代表了每一試驗(yàn)點(diǎn)的三個(gè)試驗(yàn)水平，試驗(yàn)本身要求三個(gè)水平在整個(gè)域里是平均分布的。

BBD設(shè)計(jì)試驗(yàn)次數(shù)N=2k·(k－1)+C0，公式中k表示因素的個(gè)數(shù)，C0表示中心試驗(yàn)點(diǎn)的重復(fù)次數(shù)，用于估計(jì)試驗(yàn)誤差。

2.模型的建立

大多數(shù)最優(yōu)化方法是從二階函數(shù)模型導(dǎo)出的，實(shí)際上這種做法通常是有效的，主要是因?yàn)橐话愫瘮?shù)在極值點(diǎn)附近常可用二階函數(shù)很好的進(jìn)行近似。而且二次函數(shù)具有二次終止性，所謂二次終止性是指當(dāng)算法應(yīng)用于二次函數(shù)時(shí)，只要經(jīng)過有限步迭代就能達(dá)到函數(shù)的極值點(diǎn)，具有很好的收斂性質(zhì)。因此，利用Expert Design軟件模擬影響因素和響應(yīng)變量之間的非線性關(guān)系，建立二階響應(yīng)面方程，做為本次研究中遺傳算法和傳統(tǒng)優(yōu)化方法搜索最優(yōu)試驗(yàn)條件的目標(biāo)函數(shù)。二階響應(yīng)面模型的一般表達(dá)式為:

從模型中可以看出，二階響應(yīng)面模型分別考慮了影響因素的一階主效應(yīng)，二階主效應(yīng)，以及因素間的交互作用。對(duì)于響應(yīng)值與因素之間呈現(xiàn)非線性的函數(shù)關(guān)系時(shí)，二階響應(yīng)面模型可以很好的去擬合它們之間的關(guān)系。

3.優(yōu)化算法

(1)傳統(tǒng)優(yōu)化算法

①直接法

根據(jù)Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)及方差分析結(jié)果，在試驗(yàn)范圍內(nèi)選取“最優(yōu)條件”，由于采用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)具有最優(yōu)設(shè)計(jì)的特性，若最佳控制點(diǎn)沒有偏離試驗(yàn)范圍，此法確定的最優(yōu)試驗(yàn)條件一般比較理想。

②最速上升(或下降)法

最速上升法是以多項(xiàng)式響應(yīng)面模型為基礎(chǔ)，沿響應(yīng)有最大增量的方向逐步移動(dòng)，該方向平行于響應(yīng)曲面等高線的法線方向，通常取感興趣區(qū)域的中心且垂直于曲面等高線的直線為最速上升路徑，直到觀察到的響應(yīng)不再增加為止。當(dāng)然，如果求的是最小值，則叫最速下降法。

當(dāng)然，若要同時(shí)考慮多個(gè)目標(biāo)響應(yīng)，即多目標(biāo)問題時(shí)，確定“最優(yōu)”試驗(yàn)條件應(yīng)包括如下三個(gè)過程:首先，運(yùn)用最速上升(或下降)法快速進(jìn)入每一個(gè)響應(yīng)(Yi)最優(yōu)點(diǎn)試驗(yàn)區(qū)域;其次，在該實(shí)驗(yàn)區(qū)域內(nèi)對(duì)每一個(gè)響應(yīng)建立一個(gè)合適的響應(yīng)曲面(二階函數(shù)模型);最后，利用Expert Design軟件包的滿意度函數(shù)法，搜索最佳試驗(yàn)條件并優(yōu)化所有響應(yīng)，或至少使各響應(yīng)保持在理想的范圍內(nèi)。

滿意度函數(shù)法〔5〕(desirability function D)是由Derringer and Suich于1980年推廣的同時(shí)優(yōu)化技術(shù)。其方法是將各個(gè)響應(yīng)Yi轉(zhuǎn)換為單個(gè)滿意度函數(shù)di，其變化范圍是0≤di≤1，如果響應(yīng)Yi是它的目標(biāo)值，則di=1;如果響應(yīng)在可接受的范圍之外，則di=0。然后，選擇設(shè)計(jì)變量，使之最大化m個(gè)響應(yīng)的總滿意度:D=(d1·d2…dm)1/m，并尋找各影響因素的最佳條件。

(2)微遺傳算法

微遺傳算法(micro-genetic algorithm，micro-GA)是一種基于小種群和再初始化的操作的特殊遺傳算法〔6〕，是求解最優(yōu)化問題的全局優(yōu)化方法，適于優(yōu)化處理復(fù)雜的多目標(biāo)、非線性系統(tǒng)。

微遺傳算法一般經(jīng)過這樣幾個(gè)過程:①隨機(jī)生成一個(gè)規(guī)模較小的種群，該種群形成一個(gè)種群內(nèi)存，內(nèi)存中分兩種，一種可被置換，另一種不能置換。②以一定概率從兩種內(nèi)存中抽取形成初始種群。③選擇得到Pareto非劣解，常規(guī)實(shí)施的遺傳算子有:錦標(biāo)賽選擇、兩點(diǎn)交叉、均勻變異、和精英主義〔7〕。④將選擇得到的非劣解與外部內(nèi)存集合比較，若仍保持非劣，則加入到種群內(nèi)存中。⑤經(jīng)給定代數(shù)的進(jìn)化以后，把最好的非劣解作為優(yōu)化問題的最優(yōu)解。

利用Matlab2009a軟件的函數(shù)模塊、圖形模塊編制遺傳算法程序，該程序經(jīng)測試效果理想、程序可行、計(jì)算時(shí)間短〔8〕。采用二進(jìn)制編碼，隨機(jī)種群=30，取初始種群(population)=6，其中可置換部分=2，進(jìn)化代數(shù)(generation)=100，單點(diǎn)交叉概率(probabilitycrossover)PC=0.80，變異概率(probability-mutation)Pm=0.00，三目標(biāo)優(yōu)化運(yùn)行次數(shù)為100次。

實(shí)例分析

1.資料

選用靜脈注射克拉霉素(CLA)乳劑產(chǎn)生的血管刺激作用試驗(yàn)條件優(yōu)化數(shù)據(jù)〔4〕，影響因素有:琥珀酸維生素 E(X1)、泊洛沙姆 －188(X2)、0.1 mol NaOH(X3)，試驗(yàn)中三個(gè)因素的取值范圍分別是:琥珀酸維生素 E(%，W/W):30～76、泊洛沙姆 －188(%，W/V):0.5～1.5、0.1M NaOH(%，V/V):10 ～20。評(píng)價(jià)指標(biāo)有:粒徑(nm)(Y1)、ζ電位(mV)(Y2)、CLA 乳劑相分布率(%)(Y3)。在保證克拉霉素有效治療濃度的前提下，為使藥物對(duì)血管壁的刺激作用最小，評(píng)價(jià)指標(biāo)在控制范圍分別是:粒徑(nm)達(dá)到最小、ζ電位(mV)達(dá)到最大、CLA乳劑相分布率(%)達(dá)到最大。

2.優(yōu)化分析

(1)建立試驗(yàn)方案

根據(jù)試驗(yàn)因素和評(píng)價(jià)指標(biāo)選取三因素三水平的Box-Behnken設(shè)計(jì)，因素?cái)?shù)和水平數(shù)見表1。

在Box-Behnken試驗(yàn)設(shè)計(jì)給定的條件下，采用Expert Design軟件建立試驗(yàn)設(shè)計(jì)方案，按實(shí)驗(yàn)次序進(jìn)行試驗(yàn)。各因素試驗(yàn)條件已給出，所得的實(shí)際觀察值分別是:粒徑(nm)(Y1)、ζ電位(mV)(Y2)、CLA 乳劑相分布率(%)(Y3)，見表2。

表1 影響克拉霉素血管刺激作用的因素及水平

表2 三因素三水平BBD試驗(yàn)設(shè)計(jì)表及試驗(yàn)結(jié)果

Y Y Y變異來源1 2 3 SS v F P SS v F P.42 9 24.3 0.0013 X1 86.46 1 1.15 0.3318 38.59 1 13.10 0.0152 6.50 1 13.5 0.0144 X2 6.3 1 0.08 0.7834 7.45 1 2.53 0.1726 18.06 1 37.4 0.0017 X3 80.65 1 1.08 0.3470 90.25 1 30.64 0.0026 8.34 1 17.3 0.0088 X1X2 2265.76 1 30.2 0.0027 67.82 1 23.02 0.0049 9.03 1 18.7 0.0075 X1 X3 573.6 1 7.66 0.0395 55.35 1 18.79 0.0075 17.81 1 36.9 0.0017 X2X3 434.72 1 5.80 0.0609 10.99 1 3.73 0.1113 23.28 1 48.2 0.0009 SS v F P模型 4820.34 9 7.15 0.0216 341.46 9 12.88 0.0058 105 X21 379.14 1 5.06 0.0743 1.74 1 0.59 0.4767 0.33 1 0.7 0.4480 X22 363.1 1 4.85 0.0789 58.37 1 19.82 0.0067 21.18 1 43.9 0.0012 563.92 1 7.53 0.0406 6.40 1 2.17 0.2004 0.77 1 1.6 0.2614殘差X23 374.58 5 14.73 5 2.41 5

(2)擬合二階響應(yīng)面方程及方差分析

利用Expert Design軟件(Version 7.1.6.0)的方差分析對(duì)評(píng)價(jià)指標(biāo)的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(表2)進(jìn)行分析，結(jié)果如下:

由表3知，經(jīng)方差分析，三個(gè)模型的分析結(jié)果為:F1=7.15，P1=0.0216;F2=12.88，P2=0.0058;F3=24.3，P3=0.0013，按 α=0.05水準(zhǔn)，模型擬合較好。Expert Design軟件給出了三個(gè)二階響應(yīng)面全模型及決定系數(shù)(R2)如下:

表3 粒徑(Y1)、ζ電位(Y2)、CLA乳劑相分布率(Y3)二階響應(yīng)面模型的方差分析

從表3中我們還可以看出，雖然泊洛沙姆－188(X2)的一階主效應(yīng)在三個(gè)模型中均無統(tǒng)計(jì)學(xué)意義，但其二階主效應(yīng)以及和其他因素的交互作用對(duì)模型的貢獻(xiàn)均十分顯著，這是因?yàn)閄2對(duì)模型的貢獻(xiàn)主要體現(xiàn)在其交互作用以及二階主效應(yīng)上，其中也包含了X2的一階主效應(yīng)對(duì)模型的貢獻(xiàn)，同時(shí)結(jié)合專業(yè)知識(shí)我們得知，泊洛沙姆－188(X2)在加入到乳劑系統(tǒng)中時(shí)，會(huì)被其他原料部分替代。因此經(jīng)統(tǒng)計(jì)學(xué)和專業(yè)知識(shí)綜合分析后，在各因素交互作用顯著的情況下，我們保留了模型中各因素的主效應(yīng)。

(3)最優(yōu)試驗(yàn)條件搜索

①經(jīng)傳統(tǒng)優(yōu)化方法搜索

直接法 由表2中每一因素各水平試驗(yàn)條件下確定的“最佳”試驗(yàn)條件為:琥珀酸維生素E(X1)濃度76%、泊洛沙姆－188(X2)濃度0.5%、0.1 mol NaOH(X3)15%;此時(shí)的評(píng)價(jià)指標(biāo)Y1=138.4 nm、Y2=30.72 mV、Y3=97.53%。

最速上升(或下降)法 如本例中含有粒徑(Y1)、ζ電位(Y2)、CLA乳劑相分布率(Y3)，三個(gè)響應(yīng)值，利用Expert Design軟件包的滿意度函數(shù)法，控制評(píng)價(jià)指標(biāo)，使得粒徑(Y1)達(dá)到最小、ζ電位(Y2)達(dá)到最大、CLA乳劑相分布率(Y3)達(dá)到最大的條件下，尋找試驗(yàn)因素的最優(yōu)組合。所得的最佳試驗(yàn)條件及評(píng)價(jià)指標(biāo)的預(yù)測值見表4。

②經(jīng)微遺傳算法搜索

表5為經(jīng)微遺傳算法(micro-GA)搜索的部分非劣解方案，按照研究目的為使得評(píng)價(jià)指標(biāo)粒徑(Y1)最小、ζ電位(Y2)最大、CLA乳劑相分布率(Y3)最大經(jīng)

綜合考慮，可選取比較理想的2號(hào)方案作為最優(yōu)條件。即琥珀酸維生素E、泊洛沙姆－188、0.1M NaOH最佳條件分別為:68.25%、0.52%、15.26%，評(píng)價(jià)指標(biāo)粒徑、ζ電位、CLA乳劑相分布率分別為:135.75 nm、33.67 mV、98.12%。

表4 經(jīng)滿意度函數(shù)法確定各試驗(yàn)因素及評(píng)價(jià)指標(biāo)最優(yōu)條件

表5 三目標(biāo)micro-GA非劣解方案

由表6可知，從20種方案的平均水平來看，載藥率的精度較高，各試驗(yàn)因素的中位數(shù)基本在試驗(yàn)區(qū)域的平均水平;四分位數(shù)間距(IR)較小，精度較好;95%的置信區(qū)間基本囊括了各影響因素的試驗(yàn)范圍，由此可知micro-GA的搜索從全局出發(fā)，搜索結(jié)果是理想的。

表6 三目標(biāo)micro-GA非劣解方案平均水平

優(yōu)化效果比較

對(duì)于本次模擬數(shù)據(jù)的結(jié)果，從微遺傳算法的角度來看，評(píng)價(jià)指標(biāo)粒徑與滿意度函數(shù)法搜索的最優(yōu)值基本一致，ζ電位增加了2.43 mV，提高了8.47%，CLA乳劑相分布率增加了0.8%，因而確定的試驗(yàn)條件更為理想。而直接法只能在各試驗(yàn)水平上確定最優(yōu)試驗(yàn)條件，不能預(yù)測評(píng)價(jià)指標(biāo)的值。

表7 三種尋優(yōu)結(jié)果的比較

討 論

Box-Behnken設(shè)計(jì)是一種基于三水平的二階試驗(yàn)設(shè)計(jì)法，可以評(píng)價(jià)指標(biāo)和因素間的非線性關(guān)系，尤其是各因素之間的交互作用。試驗(yàn)次數(shù)少，試驗(yàn)效果理想。但卻要求每個(gè)試驗(yàn)因素的水平在各個(gè)試驗(yàn)區(qū)域中均勻分布。

微遺傳算法和滿意度函數(shù)法均利用二階函數(shù)模型搜索最優(yōu)試驗(yàn)條件，并對(duì)響應(yīng)變量進(jìn)行預(yù)測。從優(yōu)化方法原理上來看，滿意度函數(shù)法是將各個(gè)相應(yīng)指標(biāo)(Yi)轉(zhuǎn)換為單個(gè)滿意度函數(shù)(di)，然后用加權(quán)的方法將di置于總滿意度函數(shù)(D)中，通過改變各個(gè)di的權(quán)重來使得總體滿意度函數(shù)(D)最優(yōu)，搜索范圍固定，容易產(chǎn)生局部最優(yōu);微遺傳算法是從單目標(biāo)進(jìn)化算法中發(fā)展而來，其要求的種群數(shù)量少，收斂效率高，可以從試驗(yàn)域中快速產(chǎn)生非劣解前沿，避免局部最優(yōu)的問題。從優(yōu)化效果來看，由微遺傳算法搜索的試驗(yàn)條件明顯優(yōu)于滿意度函數(shù)法，這充分體現(xiàn)了微遺傳算法的全局搜索能力的優(yōu)勢。

微遺傳算法對(duì)因素的取值可以是連續(xù)的，也可以是離散的。而基于最速上升(或下降)法的多響應(yīng)變量優(yōu)化的滿意度函數(shù)法要求因素的取值必須是連續(xù)的，若是離散的，只能以連續(xù)性變量對(duì)待，對(duì)最后的搜索水平作近似估計(jì)。

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