非線性半相依回歸模型在生長曲線研究中的應用*

山西醫科大學公共衛生學院(030001) 趙俊康 梁洪川 王 彤

半相依回歸(seemingly unrelated regression，SUR)也稱為相依回歸或似乎不相關回歸，可視為多個因變量情形下多元回歸(multivariate regression)的特例，由于它允許方程組中多個方程存在不同的自變量，這就為統計建模帶來了較大的靈活性。同時，SUR在參數估計過程中考慮了方程間的相關信息，使參數估計效率在滿足某些適當條件下較之對每個方程分別作最小二乘估計的傳統方法得到改進〔1〕。

該方法最早源于計量經濟學實踐，回歸方程組被用于解釋不同的經濟實體或同一經濟實體不同時期經濟活動中各要素的相互作用規律，作為多元線性回歸模型的自然擴展，Zellner首次提出此模型用來解釋通用電氣和西武公司固定資產投資總額與其已發行股數額和現實資本額的關系，使用了半相依回歸這個名稱，并提出了兩步估計法(two－stage estimator)。自Zellner的建設性工作后，SUR“在現代計量經濟學中扮演了中心角色”〔2〕，并且在經濟、工業、地質和社會科學等領域得到廣泛應用，在醫學領域也有很大的應用前景。我國學者有王松桂、陳桂景等提出協方差改進估計用于該模型〔3－4〕。

醫學研究中很多現象是屬于非線性的，如血藥濃度與時間變量的關系等。模型的非線性有兩種可能的情況，一種是因變量與自變量的非線性，此類模型大多可通過合適的變換化為線性模型，只要變換后誤差仍為可加，則線性模型的估計理論和方法都適用。另一種是因變量與參數的非線性，這種情況下非線性是內在的，無法變換為線性模型，此時必須采用新的參數估計方法。

原理與方法

1.模型結構

非線性半相依回歸模型可寫為

xti是(ki×1)向量，代表第i個方程、第t個觀測中的自變量值;θi是參數空間中第i個方程的未知參數向量;fi(·;·)為第i個方程的非線性函數;e=(et1，et2，…，etm)'被假定為相互獨立同分布，均值為零，方差－協方差為∑的誤差向量〔5〕。

2.參數估計

非線性半相依回歸模型的參數估計思想與線性模型類似〔6〕。

首先，不考慮方程間相關信息，我們對每一非線性方程極小化目標函數

得到各方程的非線性普通最小二乘估計，如果誤差向量為正態分布，則此估計還是極大似然估計。

然后，誤差向量的方差－協方差矩陣可估計為以

為元素的矩陣s=((sij))，得到∑的一致估計∑∧。

最后，考慮方程間的相關信息，在參數空間Θ上極小化目標函數

從而得到非線性半相依回歸參數^θ的FGLS估計。

極小化目標函數的方法可采用 Gauss－Newton、Newton－Raphson和極大似然估計等非線性模型的估計方法。Gallant提出了一種將多元問題轉換為一元問題的解決方案。Gallant建議將作Cholesky分解，即令=H'H，然后令 Z=YH'，d(θ)=f(θ)H'，則目標函數變為

Gallant的方法使得原有得一元非線性程序只需稍微改動即可應用于多元模型。

Gallant證明，如果方程間確實有相關關系，且各方程的自變量xti不均相同，并且每一方程的非線性函數fi(xti;θi)形式不同，則非線性半相依回歸優于非線性普通最小二乘回歸。反之，如果模型中每一個方程的自變量xti都相同，并且每一方程的非線性函數fi(xti;θi)有相同的形式，則非線性半相依回歸與非線性普通最小二乘參數估計結果相同，即^θ(I)與^θ(∑)有相同的漸近分布。

3.假設檢驗

由于非線性模型參數無顯解式，其估計的小樣本分布很難導出，但Gallant，Willlam得到了一些大樣本性質〔7〕。Gallant證明當∑∧為∑的一致估計時，非線性半相依回歸參數^θ的FGLS估計服從漸近正態分布

其漸近方差－協方差陣為

其中

如誤差向量為正態分布，則FGLS還是極大似然估計。

由于以上的結果，線性模型的參數檢驗方法可在漸近理論的框架內移植。如Wald檢驗

4.S型劑量—反應關系曲線的非線性生長曲線分析模型

藥物的劑量—反應關系分析是藥理及毒理學試驗的重要內容，其中重復測量設計是常用的試驗設計方法。采用重復測量設計我們除了可以探討不同試驗條件對反應量的影響，還可同時了解反應量隨時間變化特點和規律。在重復測量分析中，有時我們可以建立一個數學模型，用時間的函數來預測反應變量隨時間變化趨勢，這種分析方法稱為生長曲線分析(growth curve analysis)。生長曲線分析可以采用多項式回歸模型分析(polynomial regression model)、Rao－Khatri降維分析等線性模型方法。但線性模型只是生長曲線族中的特例，更多的是曲線生長的形式，如S型曲線等。這種情況下，使用線性模型方法可能無法很好的擬合資料。此時，應該用非線性方法擬合模型。

V?lund〔8〕提出了一種擬合 S型劑量—反應關系曲線的非線性模型，其形式為

Yij=1/［1+exp( － (A'iθXj))］+ δij(10)其中，i=1，2，…，n;j=1，2，…，m，Yij為第 j時點第 i個體的反應變量觀測值，通常以百分率表示，反映某反應量占總反應量的百分比;Aj為第j時點的設計矩陣;θ為未知參數矩陣，我們一般假定參數向量不隨時間改變，即各時點對應的參數向量相同。為此，我們可以對各時點方程的參數實施限制，使得各方程對應參數相等;Xj=(1，t'j)'，tj為第j時點。從模型的形式上看，由于每一方程j的自變量代表各自重復測量時點，即各方程自變量不相同，并且，各重復測量值之間大多存在相關性，所以該模型為非線性半相依回歸模型，我們可在半相依回歸的框架下，運用模型誤差向量的方差－協方差矩陣信息，以提高模型參數的估計效率〔2〕。

實例分析

一項毒理學試驗研究四氯化碳CCl4肝細胞毒性的劑量－反應關系及其與時間的關系。取64份肝細胞懸濁液，隨機分為4組，分別加入劑量為0、1.0、2.5和5.0mM 的 CCl4，在加入后第 0、0.01、0.25、0.5、1、2、3小時測量乳酸脫氫酶滲出百分比。

圖1 不同CCl4濃度在各時間點的平均乳酸脫氫酶滲出率曲線

以時間為X軸，乳酸脫氫酶滲出率為Y軸，繪出不同CCl4濃度在各時間點的平均乳酸脫氫酶滲出率曲線(見圖1)，可見乳酸脫氫酶滲出率隨時間變化呈非線性關系，可用非線性模型擬合數據。

將非線性回歸方程寫成通常的形式

其中β0代表平均效應參數，β1表示CCl4的效應參數，β2表示時間的效應參數，β3表示CCl4與時間交互效應參數。

對此例擬合上述非線性半相依回歸模型的參數估計結果見表1。

表1 非線性半相依回歸擬合參數估計值及假設檢驗結果

可見，各估計參數的P值均小于0.05，說明CCl4及時間對乳脫酸氫酶滲出率的影響有統計學意義，CCl4與時間之間存在交互作用。最終模型可寫為:

運用該模型，可以預測不同CCl4濃度在各時間點乳酸脫氫酶滲出率。

在本例中，由于我們需要對各個非線性方程對應的參數進行限制，令其不隨時間改變而改變，所以無法對各個方程分別采用非線性普通最小二乘估計而獲得統一的估計參數，我們必須在方程組框架下，才能對參數實施限制。這充分說明了半相依回歸模型在建模上的特點。

討 論

本文介紹了非線性半相依回歸模型的參數估計方法及其大樣本性質，指出方程間確實有相關關系，且各方程的自變量xti不均相同，每一方程的非線性函數fi(xti;θi)形式不同的情況下，非線性半相依回歸優于普通非線性最小二乘回歸。在醫學研究中的生長曲線問題通常為重復測量設計，各重復測量值之間大多存在相關性，且在方程組形式中，若每一方程自變量Xj代表各自重復測量時點，即各方程自變量不相同，這些特點非常符合半相依回歸系統的框架。故而此時運用模型誤差向量的方差－協方差矩陣信息可提高參數的估計效率。同時，在通常的統計軟件如SAS中，對重復測量的時間點之間建模僅提供多次項擬合，并不能滿足更復雜靈活的非線性模型形式，而在非線性半相依回歸框架下可以針對專業特點自行定義更利于專業解釋的各種非線性函數來建模，較之于一般的重復測量方差分析具有不可比擬的靈活性。如藥理和毒理學研究中各種劑量－反應關系通常是一個S型曲線，此時即可進行非線性半相依回歸建模。

需注意的是，本文介紹的參數估計方法在因變量為多元離散分布或模型中包含更復雜的非參數項時，此方法將不再適用。關于廣義線性模型或廣義可加模型(generalized additive model)與半相依回歸的結合，將另文介紹。

1.梁洪川，韓宏，郎素萍，等.似乎不相關回歸模型及其在老年認知問題中的應用.中國衛生統計，2005，22(6):362－364.

2.Arthur Stanley Goldberger.A course in econometrics.Cambridge，MA:Harvard University Press，1991:323.

3.馬鐵豐，王松桂.兩個半相依模型回歸系數的改進估計.應用概率統計，2009，25(6):619－631.

4.王立春，汪惠民，陳桂景.一般半相依回歸系統的協方差改進估計.應用概率統計，2001，17(2):156－162.

5.Judge，Hill，Griffiths，et al.Introduction to the theory and practice of econometrics.2nd ed.New York:John Wiley ＆ Sons，Inc，1988.

6.Gallant AR.Seemingly unrelated nonlinear regressions.Journal of Econometrics，1975，3:35－50.

7.Barnett WA.Maximum Likelihood and Iterated Aitken Estimation of Nonlinear Systems of Equations.Journal of the American Statistical Association，1976，71:354－360.

8.Aage Vφlund.Application of the four－parameter logistic model to bioassay:comparison with slope ratio and parallel line models.Biometrics，1978，34(3):357－365.