W eibull分布更新函數(shù)的指數(shù)近似算法

劉天華 張志華 李大偉 張光宇

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢 430033)

W eibull分布更新函數(shù)的指數(shù)近似算法

劉天華 張志華 李大偉 張光宇

(海軍工程大學(xué)兵器工程系，武漢 430033)

針對(duì)Weibull分布的更新函數(shù)較難確定的問題，研究了在平均壽命相等情況下指數(shù)分布與Weibull分布之間的貼近性.在此基礎(chǔ)上，提出利用指數(shù)分布的更新函數(shù)模型計(jì)算Weibull分布的更新函數(shù)，能夠比較方便有效地得到近似解.通過實(shí)例計(jì)算，分別比較了指數(shù)方法(直接利用指數(shù)分布的更新函數(shù))、線性加權(quán)模型以及幾何加權(quán)模型等三種方法的精度.結(jié)果表明:當(dāng)時(shí)間較短時(shí)，線性加權(quán)和幾何加權(quán)模型比指數(shù)方法精確度有所提高;當(dāng)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，幾何加權(quán)模型的精度較高.利用該結(jié)論能夠?yàn)楣こ虘?yīng)用提供方便.

更新函數(shù);指數(shù)近似;線性加權(quán);幾何加權(quán)

更新過程(renewal process)是可靠性與維修性研究領(lǐng)域里的一項(xiàng)基本理論.利用更新過程對(duì)部件或系統(tǒng)進(jìn)行可靠性評(píng)估、可用度計(jì)算以及維修費(fèi)用分析時(shí)，常常需要預(yù)測(cè)一段時(shí)間內(nèi)的平均失效(更換)次數(shù)，這就涉及到更新函數(shù)(RF，Renewal Function)的確定問題.然而，對(duì)于有些常見的分布族來(lái)說，如Weibull分布、Gamma分布等，其更新函數(shù)的確定比較復(fù)雜，有時(shí)要得到明顯的表達(dá)式也是比較困難的.

為此，學(xué)者們提出了一些近似方法或數(shù)值方法來(lái)計(jì)算RF.例如擴(kuò)展三次樣條算法(extended cubic splining algorithm)、生成函數(shù)算法(generating function algorithm)以及冪級(jí)數(shù)展開(power series expansion)等方法［1－3］.但由于實(shí)施條件復(fù)雜、具有離散化誤差或者計(jì)算量過大等原因，導(dǎo)致這些方法未能得到廣泛的應(yīng)用.文獻(xiàn)［4－5］利用累積分布函數(shù)和失效函數(shù)的線性加權(quán)或幾何加權(quán)，對(duì)特征壽命內(nèi)的更新函數(shù)進(jìn)行近似，思路簡(jiǎn)單，精確度較高，但對(duì)于特征壽命處更新函數(shù)值的確定方法并沒有明確給出，故仍然需要通過計(jì)算機(jī)模擬得到.

指數(shù)分布由于具有“無(wú)記憶性”以及與Poisson過程之間的關(guān)系，在可靠性理論與應(yīng)用概率模型中有著非常重要的地位.指數(shù)分布的更新函數(shù)形式簡(jiǎn)單，在已知其平均壽命的情況下能夠直接得出結(jié)果.因此，本文在研究指數(shù)分布與Weibull分布之間的緊密關(guān)系基礎(chǔ)上，提出利用指數(shù)分布近似計(jì)算Weibull分布的更新函數(shù).進(jìn)而結(jié)合更新函數(shù)的上下限——累積失效函數(shù)和累積分布函數(shù)進(jìn)行線性加權(quán)或幾何加權(quán)，能夠比較方便得到更新函數(shù)的近似解，最后通過模擬驗(yàn)證其有效性.

1 Weibull分布與指數(shù)分布的貼近性

工程中遇到的分布常常是非指數(shù)的.由于這些分布并不具有“無(wú)記憶性”，給一些定性定量分析帶來(lái)了不便.很多情況下常常直接按指數(shù)分布來(lái)對(duì)待.這樣處理是否具有合理性，有必要進(jìn)行研究.首先需要研究這些壽命分布類的分布函數(shù)與指數(shù)分布的差異有多大.

通過數(shù)值的方法評(píng)估Cd，將區(qū)間(0，1)劃分成 K+1 個(gè)子區(qū)間:(0，p1)，(p1，p2)，…，(pK，1)，其中，pj=(j－0.5)/K，j=1，2，…，K.(pj，pj+1)的中間值為mj=j/K.則

這樣，式(1)可以通過下式近似計(jì)算

為不失一般性，取λ=1，K=50，能夠獲得如圖1的結(jié)果.

由圖 1 可知，當(dāng) β∈(0.6，3.3)時(shí)，Cd＜0.25，此時(shí)指數(shù)分布與Weibull分布比較貼近，誤差比較小.實(shí)際上進(jìn)一步還能證明當(dāng)β＞1，且t＜μ時(shí)，有F(t)≤G(t).

圖1 Weibull分布與指數(shù)分布的逼近程度C d與β關(guān)系

2 更新函數(shù)的指數(shù)近似算法

2.1 近似思想

對(duì)于壽命分布函數(shù)為F(t)的部件，其累積失效函數(shù)(CHF，Cumulative Hazard Function)為H(t)，則其失效率函數(shù)為 r(t)=d H(t)/d t.F(t)與H(t)的關(guān)系為

F(t)的更新函數(shù)為

其中，f(t)=d F(t)/d t是概率密度函數(shù).

由式(3)可知M(t)＞F(t).當(dāng)t比較小時(shí)，后一項(xiàng)幾乎等于0，則

即F(t)可以看作M(t)的下限.

類似地，由于M(t)的物理意義可以看作對(duì)于不可修產(chǎn)品，在完全更換條件下的平均故障次數(shù);而H(t)可以看作在最小維修條件下的平均故障次數(shù).顯然最小維修的故障次數(shù)要大于完全替換時(shí)的故障次數(shù)，即M(t)＜H(t).當(dāng)t比較小時(shí)，則有

即H(t)可以看作M(t)的上限.

由以上分析，結(jié)合M(t)的上限和下限，能夠?qū)(t)進(jìn)行近似計(jì)算.

2.2 指數(shù)近似方法

結(jié)合更新函數(shù)的上下限，采用以下兩種模型近似計(jì)算 F(t)的更新函數(shù) M(t)［4－5］.

模型1:線性加權(quán)模型

其物理意義表示［0，t)內(nèi)的平均更新次數(shù).當(dāng)F(t)服從Weibull分布時(shí)，更新函數(shù)的計(jì)算是比較困難的.實(shí)際上，更新函數(shù)還有另一種表達(dá)形式，即

模型2:幾何加權(quán)模型

其中，p，q，x，y 是待確定參數(shù)，且滿足 p+q=1，x+y=1.

在M(T)已知的情況下，聯(lián)立方程組

即可確定參數(shù) p，q，x，y.從式(7)可以看出，只需要知道時(shí)刻T的更新函數(shù)值M(T)，即可利用式(5)或式(6)對(duì)時(shí)間T以內(nèi)的更新函數(shù)M(t)進(jìn)行近似計(jì)算.

當(dāng)F(t)服從Weibull分布時(shí)，其更新函數(shù)值M(T)確定比較困難.通過前面的研究發(fā)現(xiàn)，在形狀參數(shù) β∈(0.6，3.3)時(shí)，平均壽命相同的指數(shù)分布與Weibull分布函數(shù)比較接近，即F(t)≈G(t).那么，當(dāng)時(shí)間 T比較小時(shí)，會(huì)有 F(n)(t)≈G(n)(t).也就意味著兩種分布的更新函數(shù)會(huì)比較接近.而指數(shù)分布的更新函數(shù)形式為

顯然，指數(shù)分布的更新函數(shù)形式簡(jiǎn)單，容易計(jì)算.因此，利用指數(shù)分布的更新函數(shù)近似計(jì)算Weibull更新函數(shù)可以避免計(jì)算機(jī)模擬，便于工程應(yīng)用.具體的計(jì)算步驟如下:

2)利用式(8)計(jì)算 p，q或 x，y;

3)利用式(6)或式(7)求得T以內(nèi)的更新函數(shù)值.

3 實(shí)例分析

下面通過實(shí)例驗(yàn)證第2節(jié)提出的Weibull更新函數(shù)的兩種指數(shù)近似方法精確性.

為方便比較，可取F(t)的平均壽命為μ=1，根據(jù)β的范圍，可分別取參數(shù)為(β，λ)=(1.5，0.8577)，(2.0，0.785 4)，(2.5，0.741 5).計(jì)算T=μ=1以及T=10以內(nèi)的更新函數(shù)值.首先通過模擬的方法得到精確度較高的更新函數(shù)值M(t)，然后分別采用兩種模型進(jìn)行近似計(jì)算，以及直接利用指數(shù)分布的更新函數(shù)式(9)(這里簡(jiǎn)稱指數(shù)法)計(jì)算，結(jié)果如表1～表3所示.

從表1～表6中結(jié)果可以看出:

1)當(dāng)時(shí)間在平均壽命以內(nèi)時(shí)(見表1～表3)，兩種近似計(jì)算模型結(jié)果與真實(shí)值比較接近，而指數(shù)方法得到的更新函數(shù)值則保守度較高;

2)當(dāng)時(shí)間比較長(zhǎng)時(shí)，大于平均壽命時(shí)(見表4～表6)，模型1即線性加權(quán)的結(jié)果會(huì)比真實(shí)值偏小，而模型2的近似效果與真實(shí)值比較接近.

表 1 (β，λ)=(1.5，0.8577)，T=1 以內(nèi)

表 2 (β，λ)=(2.0，0.7854)，T=1 以內(nèi)

表 3 (β，λ)=(2.5，0.7415)，T=1 以內(nèi)

表 4 (β，λ)=(1.5，0.8577)，T=10 以內(nèi)

表 5 (β，λ)=(2.0，0.7854)，T=10 以內(nèi)

表 6 (β，λ)=(2.5，0.7415)，T=10 以內(nèi)

4 結(jié)論

利用指數(shù)分布模型近似計(jì)算Weibull分布的更新函數(shù)是比較方便的，兩種模型的使用時(shí)機(jī)是:①當(dāng)精確度要求較低時(shí)，直接利用指數(shù)方法進(jìn)行近似計(jì)算;②當(dāng)精確度要求較高，且時(shí)間較短時(shí)，可利用線性加權(quán)或幾何加權(quán)進(jìn)行近似計(jì)算;③當(dāng)精確度要求較高，且時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，可利用幾何加權(quán)模型進(jìn)行近似計(jì)算.

類似地，對(duì)于其它分布如對(duì)數(shù)正態(tài)分布以及Gamma分布等更新函數(shù)計(jì)算比較復(fù)雜的壽命分布同樣可通過指數(shù)分布的近似方法來(lái)解決.

References)

［1］ Eric Smeitink，Rommert Dekker.A simple approximation to the renewal function［J］.IEEE Transactions on Reliability，1990，39(1):71－75

［2］ McConalogue D J.Numerical treatment of convolution integrals involving distributions with densities having singularities at the origin［J］.Communications in Statistics，1981，B10:265 －280

［3］ Jiang R.A Gamma-normal series truncation approximation for computing the Weibull renewal function［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2008，93:616 －626

［4］ Jiang R.A simple approximation for the renewal function with an increasing failure rate［J］.Reliability Engineering ＆ System Safety，2010，95:963 －969

［5］ Jiang R.A simple approximation for the Weibull renewal function［C］//Proceedings of the 2009 IEEE IEEM.Hong Kong:IEEE，2009:1146－1149

(編 輯:婁 嘉)

Applications of exponential-approximate method w ith multi-resolution in spare requirement determ ination

Liu Tianhua Zhang Zhihua Li Dawei Zhang Guangyu

(Dept.ofWeapon Engineering，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China)

As to the fact that it is difficult to determine the renewal function(RF)of the Weibull distribution，the closeness between the two distributions with the same average life was studied.On this condition，the RF of exponential distribution was applied to compute that of the Weibull distribution，and the approximate solution would be gained expediently.Furthermore，the accuracy of the three methods was compared.That is，exponential method(The RF of the exponential)，linear weight model and geometrical weight model respectively.The result shows that compared with the exponential method，the precision of the two models are highly enhanced when the time is short;and the precision of the geometrical weight model is still high when time is long.This conclusion would provide convenience for the engineering.

renewal function;exponential approximation;linearly weighted;geometrically weighted

TP 391.9

A

1001-5965(2012)06-0816-03

2011-09-23;網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間:2012-06-15 15:44

www.cnki.net/kcms/detail/11.2625.V.20120615.1544.040.htm l

總裝預(yù)研資助項(xiàng)目(51327020105，51304010206);海軍工程大學(xué)博士生創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目(HGBSJJ2011009)

劉天華(1984－)，男，湖北南漳人，博士生，111navy@163.com.