威布爾分布族參數的經驗Bayes檢驗

黃金超， 凌能祥

（1.合肥工業大學數學學院，安徽合肥 230009；2.滁州職業技術學院基礎部，安徽滁州 239000）

0 引 言

經驗Bayes檢驗函數問題在文獻中已有許多研究，對于連續型單參數指數族參數的EB檢驗問題，文獻［1－4］對其做了不同程度的研究，文獻［5］研究了刻度指數族參數的經驗Bayes單側檢驗問題，但以上文獻都是對指數族中的x 1次冪條件下討論參數的檢驗問題，本文在“線性損失”下，研究威布爾（Weibull）分布族刻度參數的經驗Bayes檢驗問題，把含有刻度參數指數族中的x次冪推廣到任意的m次方（m＞0）。

設隨機變量X條件概率密度［6］為：

其中，m和θ分別為形狀參數和刻度參數（m＞0），且本文假定m為已知常數，樣本空間為χ＝｛x｜x＞0｝，參數空間為Ω＝｛θ｜θ＞0｝。Weibull分布是威布爾于1939年首次引入的，若形狀參數m＝1，便得到通常的指數分布族。它在可靠性理論中有廣泛的應用，如可以用來描繪疲勞失效、真空失效和軸承失效等壽命分布；它還運用于由某一局部失效引起全部失效的現象［7］；同時在工程實踐、生存現象及氣象預測等領域也有廣泛的應用。另外，有關該分布刻度參數的EB檢驗的相關報道并不多，因此研究威布爾分布族刻度參數經驗Bayes檢驗是非常有意義的。

設參數θ的先驗分布為G（θ），本文考慮分布族（1）式中參數θ的EB單側檢驗問題為：

其中，θ0＞0為已知常數。

其中，a為正常數；D＝｛d0，d1｝為行動空間，d0表示接受H0，d1表示否定H0；I［A］為集合A的示性函數。設

為隨機化判別函數，則在先驗分布G（θ）下δ（x）的風險函數為：

其中，CG＝∫ΩL1（θ，d1）d G（θ）；

f（x）為r.v.X的邊緣分布，而u（x）＝mxm－1，

由于

故由（6）式可知：

由（5）式和（6）式易見Bayes判決函數為：

其Bayes風險為：

上述風險當先驗分布G（θ）已知，且δ（x）＝δG（x）是可以達到的，但此處G（θ）未知，因而δG（x）無使用價值，于是考慮引入EB方法。

1 EB檢驗函數的構造

設X1，X2，…，Xn和X是獨立同分布（iid）樣本，它們具有共同的邊緣密度函數，如（7）式，通常稱X1，X2，…，Xn為歷史樣本，稱X為當前樣本，令f（x）為X1的概率密度函數，本文假定Cs，α為R1中一族概率密度函數，其s階導數存在，連續且絕對值不超過α，s＞1為正整數，首先要構造α（x）的估計量。

令Kr（x）（r＝0，1，…，s－1）是Borel可測的有界函數，在區間（0，1）之外為0，且滿足條件：

其中，t＝1，2，…，s－1。

（2）Kr（x）在R1上除有限點集E0外是可微的，且

記f（0）（x）＝f（x），f（r）（x）表示對f（x）的第r階導數，r＝0，1，…，s。由文獻［8－10］定義密度函數f（x）的核估計為：

其中，｛hn｝為正數序列，且＝0；Kr（x）為滿足條件（1）、條件（2）的核函數。由于

因此φ（x）的估計量定義為：

所以α（x）的估計量為：

其中，fn（x）由（14）式給出。所以EB檢驗函數定義為：

令En表示對r.v.X1，X2，…，Xn的聯合分布求均值，則δn（x）的全面Bayes風險為：

令c，c0，c1，c2…為常數，即使在同一式中它們也可能有不同的數值。

引理1 設f（r）n（x）由（14）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布樣本序列，若條件（1）、條件（2）成立，且f（x）連續，對?x∈χ，則有：

（1）若f（r）（x）關于x連續，則當且時，有。

（2）若f（x）∈Cs，α，當取時，對0＜λ≤1，有。

證明 先證結論（1）。由Cr不等式可知：

因為f（x）∈Cs，α，由Taylor展開得：

其中，x－thn≤x＊≤x。由核函數的性質可知：

玉樹地處青藏高原腹地，抗震救災任務異常艱巨。高原缺氧，低溫高寒，路阻電斷，余震不斷。艱難險阻面前，我們看到的是水利人更加迅捷、更加統一、更加有序、更加科學、更加有力、更加有效的抗震救災行動：迅速反應，統一指揮，科學研判，艱苦努力，成效顯著。目前，震區水利工程設施震損情況初步摸清，震損供水、供電設施快速修復，應急排險和防范次生災害工作抓緊進行，水利災后重建規劃編制工作全面啟動，各項協調保障工作有序開展。4月19日，震區第一項水利災后重建工程——禪古水電站水庫大壩除險開工。水利人以最快的速度，用最短的時間，讓災區群眾重新用上了電，喝上了干凈的水。

下面證明結論（2）。由Cr不等式可知：

將（23）式代入（22）式可得結論（2）成立。

引理2 令R（G）和Rn分別由（13）式和（18）式給出，則

證明 見文獻［1］引理1。

引理3 設φ（x）和φn（x）分別由（10）式和（15）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布的樣本，則對0＜λ≤1，有

證明 由于

故φn（x）為φ（x）的無偏估計，由Jensen不等式可知：

其中

由于X1，X2，…，Xn為獨立同分布r.v，故對一切i≠j，j＝1，2，…，n，有

故由（25）式可知：將（26）式代入（24）式，引理得證。

2 EB檢驗函數的漸近最優性及收斂速度

定理1 設δn（x）由（17）式給出，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布樣本序列。假定條件（1）、條件（2）成立，若E（θ）＜∞且f（x）連續，則當時有：

證明 由引理2可知：

記Bn（x）＝｜α（x）｜P（｜αn（x）－α（x）｜≥｜α（x）｜），顯見Bn（x）≤｜α（x）｜。由（11）式可知：

由控制收斂定理，可知：

再由引理1和引理3可知，對任何固定的x∈χ有：

將（30）式代入（29）式，定理得證。

定理2 設δn（x）由（17）式定義，其中X1，X2，…，Xn為獨立同分布的樣本序列，且假定條件（1）和條件（2）成立，若0＜λ≤1，有

（1）f（x）∈Cs，α。

（2）∫χ｜α（x）｜1－λuλ（x）d x＜∞。

（3）∫χ｜α（x）｜1－λd x＜∞。

其中，s＞1為給定的一個正整數。

證明 由引理2和Markov不等式，可知：

由引理3和條件（2）可知：

由引理1和定理1可知：

將（32）式和（33）式代入（31）式，定理得證。

3 例 子

為了說明適合文中定理條件的Weibull族和先驗分布是存在的，在（1）式中，令m為給定正整數，其中，取θ的先驗分布為：

a和b為已知常數，且a＞0，b＞1，所以有：

由于a＞0，b＞1，該積分為第1類廣義積分，當mb（1－λ）－（1－λ）（m－1）＞1，即0＜λ＜m（b－1）／［m（b－1）＋1］，上述積分收斂。

類似（3），當mb（1－λ）－（m－1）＞1，即0＜λ＜（b－1）／b，上述積分收斂。

由（1）～（4）可知，定理1和定理2的條件均成立。故有下述重要結論。

定理3 對Weibull分布（1）式先驗分布由（34）式給出，其中a＞0，b＞1，m為任意固定正整數，則定理1成立，又若0＜λ＜（b－1）／b，則定理2成立。

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