瑞利索莫菲衍射與物理光學積分的應用比較

梁 彬 白 明 金 銘 苗俊剛

(北京航空航天大學電子信息工程學院，北京 100191)

近年來，隨著微波技術的發展，無線電系統的工作頻率逐漸升高，使得傳統基于無線電波理論體系和光學理論體系之間的界限逐漸模糊.特別在處理毫米波、亞毫米波的各種電磁場問題時，人們開始嘗試利用光學領域中的理論和方法來解決，并出現了準光學［1－4］等交叉學科以適應新要求的分析方法體系.

相干電磁場傳播的衍射計算一直以來在不同的領域有著不同的理論和處理方法.除了波長或頻率的巨大差別，光學領域與無線電領域分別采用不同的衍射積分公式處理具有相同物理過程的電磁波衍射問題.在光學理論體系中，瑞利索莫菲(RS，Rayleigh-Somerfield)標量衍射理論是處理光場傳播的基本理論［5－6］.而在電磁波的相對低頻波段，即無線電波頻段，計算電磁場的傳播問題時，采用的則是出發點不同的物理光學計算方法［7－11］.需要說明的是，這里的物理光學，不是對光學的描述，而是經典的無線電波領域處理衍射的矢量積分方法.

盡管上述兩種電磁場計算方法各自已經非常成熟，針對準光學電磁計算技術的發展的需要，本文對光學RS標量衍射積分和物理光學積分方法進行了對比和分析.首先討論二者依據不同出發點得到的最終積分公式在形式上的一致性與區別，然后結合數值仿真的算例，討論RS積分公式在處理高頻微波波段電磁場傳播中的應用.

1 物理基礎

1.1 RS標量衍射積分

RS標量衍射積分是光波頻段經典的衍射計算方法，是被廣泛采用的計算和分析光學傳播的基本方法，其典型應用是計算薄屏遮擋后光的衍射場.RS衍射積分公式的基礎是單色波標量場滿足亥姆霍茲(Helmholtz)方程［12］，在推導過程中，構建特定的空間格林函數:

利用格林定理的數學關系得到最終的積分方程.與基爾霍夫衍射理論不同的是，RS衍射理論所選取的格林函數消除了基爾霍夫衍射理論中的不自洽性，但二者沒有本質的區別，只在數學上有不同的處理方法.已經證明，兩者只在衍射距離在波長量級上解才有差別［13］.總之，RS積分公式作為標量衍射積分理論，可以得到相當精確的衍射結果.

1.2 物理光學積分

物理光學積分方法源自斯特拉頓-朱蘭成(SC，Stratton-Chu)積分方程［7］，是處理無線電波波段電磁散射問題的重要和經典的方法.SC方程也被稱為場方程的直接積分，物理上是將電磁場的真實場源(電荷、電流和磁荷、磁流)與電場或磁場通過一個積分方程聯系起來，可以通過求解積分方程得到電磁場的精確解.作為一種典型的高頻近似算法，在散射體尺寸遠大于波長時［9］，物理光學法用切向平面來近似積分中的等效源分布，從而通過積分公式求解電磁場的分布.在SC方程推導過程中，場源與電磁場之間通過位函數連接在一起，其中使用了空間格林函數:

這一空間格林函數從而在交變場中將電流、磁流與磁矢位、電矢位聯系了起來.

1.3 二者的比較

物理概念上，兩種積分方法都源自格林函數，即通過積分求理想點源在各特定邊界條件的傳播解.而區別在于，二者采用了形式不同的格林函數，因此兩種方法的數學形式有所不同.但是，其中最重要的區別在于物理光學法的輻射源是物理上實際存在的矢量電(磁)流源，而RS積分則以自由空間電磁波的場分布為次級波傳播的波源.事實上自由空間的電磁波可以根據等效原理等效為電(磁)流源，因此在自由空間電磁波情況下，無線電波波段的物理光學積分法與RS衍射積分法從不同的出發點應該得到相同的電磁波計算公式.另一方面，物理光學積分比RS積分有著更一般的適用范圍.不僅在矢量與標量的區別上，特別在當電場與磁場不滿足空間波阻抗或等相位關系時，物理光學積分可以分別計算電場和磁場對波傳播的貢獻，然后再相干疊加，而RS積分方法對單一場分量進行計算將不能得到正確的結果.

2 數學形式

盡管二者在自由空間電磁波傳播情況下的物理概念上有必然的統一，但具體公式形式上仍有需要注意的差別.本文以自由空間中電磁場的傳播問題為例進行說明.考慮平行平面間的電磁場傳播:由已知的平面場分布得到傳播后其它位置處的平面場分布［14］，如圖1所示.本文將利用RS積分公式和物理光學積分公式分別來進行處理該衍射問題，以作對比.

圖1 平行平面場點位置關系示意圖

首先采用RS衍射積分方法計算上述口面電磁場分布.由于這是標量積分，將針對某一切向場分量(如Ex或Ey)的電磁場分布進行計算，具體RS衍射積分公式為

若采用物理光學積分公式，根據等效原理，將已知口面處的切向電場分布等效為表面磁流，進而利用SC方程積分求解，可以得到

對式(4)進行矢量展開得到各分量的積分公式

在數學推導上，造成二者最終差別的原因是二者使用的格林函數中點源波傳播方向的約定不同，但是沒有本質的區別.

3 實際應用的比較

以高斯波束的傳播為例，定義最小束腰處的高斯分布，以向前傳播一定距離處的場分布的解析解作為源分布，在此基礎上分別應用RS衍射積分公式和物理光學積分公式做進一步的傳播計算，如圖2所示.

圖2 以高斯波束傳播為基準的仿真示意圖(單位:m)

圖2中源平面和計算目標平面平行于坐標平面xoy，計算參數選擇為:頻率f=10.65GHz(波長λ≈0.028m)，傳播距離 6.0m(約為 213λ)，高斯饋源口面大小為103λ×103λ.設一個切向場分量(以Ex為例)為高斯基模分布，另一個切向場分量為0.z=0處高斯波束束腰為 ω(0)=7.1λ，采樣間隔d s=λ/3.5.不失一般性，以下只針對切向場分量Ex進行仿真計算，同時選取高斯波束傳播的解析解作為參考.

圖3給出了高斯波束傳播至z=6.0m處解析解的場分布.按照圖2的模型以此為計算源，分別使用式(3)和式(5)，來計算波束傳播至z=12.0m處的Ex分量場分布，計算結果如圖4和圖5所示.

圖3 高斯波束傳播至z=6.0m處的解析解

圖4 物理光學積分公式計算z=12.0m處的場分布

圖5 衍射積分公式計算z=12.0m處的場分布

兩種不同方法的積分計算，目的都是得到z=12.0m處的場分布.然而通過計算結果與圖6和圖7所示的高斯波束傳播解析解對比發現:物理光學積分公式完成了預期的任務，而RS衍射積分公式則是進行了一次“倒推”的計算，即由z=6.0m處的場分布倒推得到了z=0.0m處的場分布，而不是由z=6.0m處繼續傳播到z=12.0m處.分別對比圖4與圖6，圖5與圖7的場分布可以看出，通過兩種積分方法計算求得的電磁場和解析解具有非常高的一致性.

圖6 高斯波束傳播至z=12.0m處的解析解

圖7 高斯波束在z=0.0m處的解析解

由上述計算結果可以看出，在兩種不同積分方法的應用中遇到了一個關于傳播方向和計算方向的問題.在計算中，假設的傳播方向是沿+z軸，而設定的計算方向也是沿+z軸，顯然期望計算方向與假設的傳播方向相一致，以得到想要的結果.在運用物理光學積分公式時，這種一致性是滿足的;而在使用RS衍射積分公式時發現，實際的計算方向和設定的傳播方向并不一致，即實際計算是沿著與設定的波束傳播方向相反的方向進行的.也就是說，在使用RS衍射積分公式時，沒有達到“往前傳播”的計算目的，反而實現了“往后倒推”的計算.從本質上講，造成這一差異的關鍵在于二者使用了不同形式的空間格林函數:

從而將RS衍射積分和物理光學積分的使用區別起來.二者的一致性是指它們都可以模擬電磁波的傳播，但前提是要界定方向:這里認為衍射積分可以處理類似于倒推運算的“逆”傳播，而物理光學積分則給出了電磁場“正向”傳播的準確結果，如圖8所示.

在使用衍射積分公式時所體現出的“倒推計算”的效果，具有重要的實用價值.例如，在確定反射鏡天線系統的定向干擾源時，可以以天線口面的測試數據出發，通過倒推計算將干擾源從天線系統中“分離出來”.同時如上文中所提到，這兩種積分公式在處理平行平面間的電磁場傳播時所出現的卷積形式，可以使用快速傅里葉變換來加速計算，從而可以提供一種快速的計算分析手段［7，14］.

圖8 衍射積分和物理光學積分計算電磁波傳播的區別

4 結論

盡管物理光學積分公式和瑞利索莫菲衍射積分公式從建立的物理概念和推導過程上并不十分相近，但其最終的積分公式卻有著一致的形式，數學上的區別在于采用了不同形式的空間格林函數.而從二者處理高斯波束傳播的仿真算例中可以看出，物理光學可以用于“正向”的口面場傳播計算，而衍射積分方法則可以用于“倒推”的口面場傳播計算，這為天線系統分析等領域提供了一種方便的分析方法，具有一定的工程意義和應用價值.

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