數(shù)學思想方法在地理學習中的應用

福建省泉州九中（362000） 黃朝華 林彬煌

數(shù)學思想方法在地理學習中的應用

福建省泉州九中（362000） 黃朝華 林彬煌

地理學科，尤其是自然地理，思維方式最接近理科思維，對學生的邏輯推理和綜合分析能力要求較高。在地理學習過程中如果能夠從數(shù)學的角度出發(fā)看問題，把復雜的地理問題抽象成簡單的數(shù)學問題，將有助于突破一些地理學習的難點。以下介紹幾種地理解題中常用的數(shù)學思想方法。

一、極值法在地理學科解題中的應用

在數(shù)學中，極大值與極小值（又被稱為極值）是指函數(shù)在一個值域上取得最大值（或最小值）點的函數(shù)值。而使函數(shù)取得極值的點(橫坐標)被稱作極值點。在對晝夜長短、正午太陽高度變化等地理現(xiàn)象分析時，對冬至、夏至、遠日點、近日點等極值點的分析可以將地理問題抽象成數(shù)學問題，從而簡化對此類問題的理解和記憶。

例1 （2011年江蘇高考3、4題）表1為三地連續(xù)兩日日出與日落時刻（北京時間），據(jù)此回答（1）～（2）題。

表1

（1）三地按緯度由高到低的排列正確的是

A．①②③ B．①③②

C．②①③ D．③①②

（2）若③地為北京，則此時

A．太陽直射點位于南半球且向北移

B．地球公轉速度逐漸加快

C．北極圈內極晝的范圍逐漸漸擴大

D．各地晝夜長短相差最小

分析表格中的數(shù)據(jù)主要涉及晝夜長短變化，從晝長的變化規(guī)律來看，赤道永遠晝夜平分，晝夜時長的差距為零，此差距隨緯度增大而增大。因此在解答第(1)題時，只需查看晝夜時長的差距大小，差距小者緯度低。因此不難判斷答案為B。表格數(shù)據(jù)表明，③地晝長長于12小時，且繼續(xù)變長，若③為北京，顯然此時太陽直射北半球，直射點此時向北回歸線移動，地球向遠日點移動。由于夏至時太陽直射北回歸線，北半球晝長和極晝范圍均達到極大值，而遠日點地球公轉速度達到極小值，因此容易判斷第(2)題中的B、D選項錯誤，符合題意的答案為C。

在涉及地理圖像的記憶時，極值法的應用有利于簡化各變化規(guī)律的記憶量。

例2 （2010年四川高考8、9題）圖1是某地氣溫、降水、潛水水位（潛水面海拔）年內變化圖。讀圖回答（1）～（2）題。

圖1

（1）圖1所示這類氣候條件容易誘發(fā)的地理現(xiàn)象是

A．寒潮 B．泥石流 C．凌汛 D．沙塵暴（2）下列城市所在地域，與圖1所示氣

候類型相同、海拔相近的是

A．天津 B．昆明

C．新奧爾良 D．加爾各答

分析這類題目的答題關鍵在于根據(jù)圖標判斷氣候類型，而在氣溫和降水、河流流量、潛水位變化等方面，如果能夠記住幾個關鍵極值與極值點，便容易進行判斷。如亞熱帶與溫帶的氣候差異在于月平均氣溫極小值是否大于0℃，降水量在6月至9月的極大值之間出現(xiàn)了8月的極小值意味著伏旱天氣等。容易判斷該地區(qū) 的氣候類型，（1）、（2）兩題的答案便顯而易見了。

二、向量分析法在地理學科解題中的應用

在數(shù)學中，既有大小又有方向的量叫做向量，地理中涉及方位的所有計算均可視為向量運算。在引入正交分解等向量計算方法后，地理方位可分解為東西方位和南北方位兩部分。

例3 讀圖2，圖中B在A的什么方向？

分析使用正交分解法，很容易發(fā)現(xiàn)，從A到B的路線可以分解為從A出發(fā)向西到達C和C向北到達B點兩個方向，即B在A的西北方向。

另外，在太陽視運動的判讀問題上，由于空間想象存在困難，許多學生容易出現(xiàn)一些基本判斷的錯誤，甚至一些教師在此類問題上都出現(xiàn)錯誤，在進行命題時常常出現(xiàn)一些錯誤，如果采用向量分析法，結合極值法，便能避免此類錯誤。如例4便是近年來常被用于各地高三復習的一道試題，便是典型錯題。

例4 三地同學共同開展一個“影子長度”的探究學習活動，他們在當?shù)貢r間10：00～14：00每隔一小時測量一根1米長的桿的影子長度，并將所得數(shù)據(jù)繪制成圖。下圖為6月22日三個地區(qū)同學所提供的觀測結果。回答（1）～（2）題。

（1）甲、乙、丙三地緯度由低到高的順序是

A．甲、乙、丙 B．甲、丙、乙

C．乙、甲、丙 D．丙、乙、甲

（2）關于乙地此時氣候特征的描述，最可能出現(xiàn)的是

A．一年中氣溫較高、降水較多的季節(jié)

B．一年中降水較少、草木枯黃的季節(jié)

C．一年中氣溫較低、降水較多的季節(jié)

D．一年中降水較多、作物生長旺盛季節(jié)

圖2

分析該題的甲圖事實上是不可能存在的，根據(jù)題目條件，此時為夏至，太陽直射北回歸線，而甲圖中北京時間13時甲地影長為0，顯然甲地位于北回歸線，但事實上，由于夏至全球未出現(xiàn)極晝極夜現(xiàn)象的地區(qū)均日出東北，日落西北，太陽方位的南北分量均指向北方，正午之時，太陽達到甲地正上方，即南北分量為0，顯然，這一天中，太陽方位的南北分量不可能為南方，也就是說，這一天中，影子不可能朝向北方。

三、變量控制法在地理學科解題中的應用

在數(shù)學運算時，常采用消元法進行化簡運算，而這一思想在地理學習過程中的應用就是進行變量控制，針對某些復雜的地理現(xiàn)象變化過程進行簡化學習。如教材中對風向的判斷分析過程，就進行了這樣的簡化分析，層層深入，從僅受水平氣壓梯度力影響開始，依次加入地轉偏向力、摩擦力等影響因素，逐步了解風的形成過程，而這一方法也可以在解決問題中逆向應用。

例5 （2006年廣東14題）假設在北半球各高度水平氣壓梯度力相同，自地面向上一定高度內，風的變化情況為

A．風速變小，風向不變

B．風速變大，風向不變

C．風速加大，風向逆時針方向偏轉

D．風速加大，風向順時針方向偏轉

分析本題假定水平氣壓梯度力不變，由于地轉偏向力在同緯度大小相等，顯然主要考慮的就是摩擦力變化的問題。根據(jù)課文對摩擦力作用的描述，一方面，摩擦力的作用使風力減小，另一方面，摩擦力使風向偏轉減小。因此，隨著高度上升，摩擦力的影響減小，風力加大，偏轉加大，由于北半球風向順時針偏轉，答案顯然選D。當然我們也可以采用極值法，將“一定高度”擴大為升高到忽略摩擦力的高度，在不考慮摩擦力的時候，地轉偏向力使風向偏轉90°，使之與地面偏轉較小的風向比較，也可以得出該結論。

四、數(shù)形結合在地理學科解題中的應用

地理學習過程中，會遇到許多地理圖表，包括地理等值線圖、各類統(tǒng)計圖表等，如果充分理解各類圖表的數(shù)學含義，就能夠做到“運用之妙，存乎一心”。

在地理考試時，常常會遇到各種新的圖表形式，這就要求我們能夠充分體會統(tǒng)計圖表只是地理數(shù)據(jù)的表現(xiàn)形式，大多數(shù)數(shù)據(jù)可以使用最簡單的點狀、柱狀圖表達，意味著大多數(shù)復雜的統(tǒng)計圖表可以輕易轉化為我們所熟悉的圖表形式。以下以三角坐標圖和雷達圖為例進行分析。

例6 三角坐標圖（圖3）。

三角坐標圖通常用于表示總和為100%的三個要素各自的比例構成。如經(jīng)濟中的三大產業(yè)構成、人口中的老年、青壯年、兒童的構成等。由于坐標軸多，而且并非學生習慣的直角坐標系，三角坐標圖成為學生學習的一大難點。

三角坐標圖的讀圖要訣在于將其轉化為直角坐標，由于三角坐標圖包含三大數(shù)據(jù)的表達，因此，在讀圖的時候應當依次讀出，簡化讀圖難度是讀圖的關鍵。在讀圖3時，我們可以暫時先拋開c數(shù)軸，只考慮a、b數(shù)軸進行判讀。我們可以將b軸平移至a軸的原點處，此時a、b軸即構成一個直角坐標系（圖4），此時就可以讀出圖中A點的b數(shù)據(jù)，然后將圖旋轉120°，依次讀出a、c的數(shù)值即可。圖中A點的a、b、c數(shù)據(jù)分別是20，60，20。

例7 雷達圖（圖5）。

雷達圖是另一類學生較少見到的統(tǒng)計圖表，學生易產生畏懼心理，其實此類圖像很容易就可以變換為我們熟悉的直角坐標圖。圖5為廈門降水量分布圖，粗看不容易讀懂，其實雷達圖可以看成直角坐標（圖6）將橫坐標縮短成一個點后變成的扇形圖，便容易將圖5的形式轉變?yōu)閳D6的形式。

圖5

圖6

從數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，我們也容易發(fā)現(xiàn)圖5中離圓心越遠的點數(shù)值越大，我們便可以輕松讀出各點的實際降水量，容易看出6月降水最多，而雨季持續(xù)時間較長，從4月直至9月。

地理是一門綜合性很強的學科，學好地理知識不僅需要好的記憶力，還需要有對地理知識的充分理解，才能夠自如地應用地理知識解決實際問題。在目前的地理高考實踐中，十分側重考查學生的四大能力，即獲取和解讀信息的能力、調動和運用知識的能力、描述和闡釋事物的能力、論證和探討問題的能力。在能力的培養(yǎng)中，數(shù)學思維有時可以起到很大的作用。數(shù)學思想在地理學習過程中還有很多運用，需要在學習中逐步加強體會。