代數雙曲空間中擬Legendre基的應用

王 燕， 檀結慶,， 李志明

（1. 合肥工業大學計算機與信息學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業大學數學學院，安徽 合肥 230009）

代數雙曲空間中擬Legendre基的應用

王 燕1， 檀結慶1,2， 李志明2

（1. 合肥工業大學計算機與信息學院，安徽 合肥 230009；2. 合肥工業大學數學學院，安徽 合肥 230009）

鑒于 Legendre基等正交基在代數多項式空間中的廣泛應用，論文在深入研究代數雙曲空間的擬 Legendre基性質的基礎上，給出了其在反函數逼近和等距曲線逼近上的應用。利用多項式和雙曲函數的混合多項式序列來逼近反函數，并通過實例證明給出方法的有效性；對基曲線的法矢曲線進行逼近，構造 H-Bézier曲線的等距曲線的最佳逼近，這種方法直接求得逼近曲線的控制頂點，計算簡單，截斷誤差小。

H-Bézier基；擬Legendre基；反函數；等距曲線

為克服Bézier曲線不能精確表示懸鏈線、指數曲線、雙曲線等超越曲線的不足，混合空間曲線曲面的構造成為研究的熱點，代數雙曲混合空間Γ= span{1,t,t2,…, tn?2,sinht, cosht},n ≥2，曲線

n曲面的研究就是其中之一。一些學者在 Γn中構造了一組基函數，稱為H-Bézier基函數，并研究了相應的曲線曲面的一些性質[1-6]。但是，和Bernstein基函數一樣，H-Bézier基也不是正交基。文獻[7]利用H-Bézier基函數的對稱性、端點性質等構造了空間 Γn中的一組正交基，這組基除了具有與Legendre多項式相似的簡潔微分表達形式，而且還具有與Legendre基相似的特殊性質。眾所周知，Legendre基是多項式空間里的一組正交基，在最小平方逼近問題中起著重要作用，被廣泛應用在降階逼近、反函數逼近、等距曲線逼近等問題中[8-10]。因此有必要探討一下這組基在代數雙曲空間中的應用。

給定一個單調函數 λ= f(t)，t ∈ [a,b]，求反函數 f?1(λ)是CAGD中的一個基本問題，也是一個比較難的問題，一般無法得到精確的表達式。在CAGD中一般是構造一個逼近序列逼近反函數。文獻[9]利用 Legendre多項式來求解多項式函數的反函數，文獻[11]利用對稱冪基討論了任意函數的反函數的多項式逼近，文獻[12]給出了用多項式和三角函數的混合來逼近反函數的方法，文獻[13]利用約束Jacobi多項式處理多項式反函數逼近。

等距(Offset)曲線也稱為平行或位差曲線面，是基曲線上每一點沿著該點處的法矢方向偏移一個等距距離所得點的軌跡。其應用領域遍及數據加工中刀具軌跡計算，機器人行走路徑規劃，實體造型和圖形學等。文獻[14]利用最佳平方逼近的Legendre多項式逼近基曲線的法矢曲線，通過計算控制頂點的偏移向量得到等距曲線的逼近曲線；文獻[15]給出了平面Bézier曲線幾何方式和代數方式的等距曲線逼近方法。

因此，研究反函數逼近和等距曲線逼近具有重要的意義，本文以代數雙曲空間中的擬Legendre基為基礎，研究其在反函數逼近和等距曲線逼近中的應用。

1 代數雙曲空間中的擬Legendre基

稱為n次H-Bézier曲線，其中α是全局形狀參數，且 α＞ 0,是定義在代數雙曲混合多項式空間 Γn= span{ 1,t,t2,… ,tn?2,sinht, cosht}, n≥ 2中的一組基函數，具體形式為

文獻[7]給出了空間 Γn中的一組正交基（見圖1），定義如下

其中，

圖1 正交基 L0 (t), L1 (t), L2 (t), L3(t)

2 擬Legendre基的應用

2.1 反函數的逼近

文獻[12]在代數三角混合多項式空間Ω= span{1,t,t2,… ,tn?2,sint, cost} 中研究了反函

n數的逼近問題。經仔細的推理計算，文獻[12]中的結果可直接推廣到代數雙曲空間Γ= span{1,t,t2,… ,tn?2,sinht, cosht }中。

n

定理1 函數 λ= f(t)在[0,α]上單調且滿足 f (0) = 0,f(α)=α，則反函數 t = f?1(λ)的一個逼近序列為其中

證明 取

則為了使得 Im最小， Qj的取值應該使 Im達到最小，由得

由標準正交基的性質即得

證畢。

由證明可以得出該函數逼近序列的逼近誤差為

例 1 以函數

為例，令 α= 1，則由定理1可以求得 Qj( j= 0,1,2,3)為0.4933,0.2870,0.0032,0.0019，逼近誤差為 1.0810× 10?7。圖2給出了 f?1(λ)?qn(λ) ,n = 1,2,3的圖形。（其中，實線對應 n= 1,虛線對應 n= 2,點劃線對應 n= 3）

圖2 f ?1(λ) ? qn(λ),n =1,2,3

2.2 等距曲線逼近

本文將利用空間 Γn中的擬 Legendre多項式給出H-Bézier曲線的等距曲線逼近。

本文采用基于法矢曲線逼近的等距曲線逼近方法，其基本思想為先對法矢曲線 Nd(t)進行逼近，然后再對等距曲線Pd(t)進行逼近這樣就將等距曲線的逼近轉化為法矢曲線的逼近。

利用文獻[7]中構造的擬Legendre基，在 L2范數空間中，構造最小二乘算法，對 H-Bézier曲線的法矢曲線進行最佳逼近。

設 H-Bézier曲線的法矢曲線 Nd(t)的逼近曲線 N?( t)的擬Legendre基表示為

則等距曲線逼近的誤差曲線為

在 L2范數意義下，誤差可定義為

為使得逼近誤差最小化，可以對 ε2求關于 N?j(t )的偏導，并賦值為0，可得

由擬Legendre基的正交性，可以求出 N?j的表達式

利用H-Bézier基和擬Legendre基的轉換公式，就可以得到 N?(t)的H-Bézier基表示形式

為了統一法矢曲線與基曲線的表示形式，可以利用升階公式把逼近曲線表示成max(m,n)次的H-Bézier曲線。

如果所求出的誤差大于事先給定誤差閥值，需要增加 N?(t)的次數 m，提高誤差精度。此時無須重新計算 N?(t)的所有控制頂點，僅需計算新的控制頂點 N?(t), j=m +1,… ,max(m,n)，直j到誤差精度達到給定的范圍，所得到的曲線N?(t)是基曲線法矢曲線 N(t)的最佳逼近曲線。d

下面給出基于法矢曲線逼近的H-Bézier曲線的等距曲線逼近算法。

Step 1 輸入n次H-Bézier曲線 P(t)，等距距離d，逼近誤差界 ε0；

Step 2 利用公式（2）計算出法矢曲線的逼近曲線 N?(t)的控制頂點；

Step 3 利用公式(1)計算等距曲線誤差ε；

Step 4 如果 ε≤ ε0轉到 Step6 ,否則轉到Step5；

Step 5 增加 N?(t)的次數m，利用公式（2）計算新的控制頂點，并求得 N?(t)；

Step 6 利用H-Bézier基和擬Legendre基的轉換公式，得到 N?(t)的H-Bézier基表示形式，從而得到H-Bézier曲線的等距逼近曲線。

利用該算法給出下面的例子。

例 2 以三次H-Bézier曲線為基曲線，其控制頂點分別為(0,0),(1,4),(5,6),(8,3)，利用本文方法求其等距距離為d =1的等距逼近曲線如圖3所示。其中，實線為三次H-Bézier曲線，虛線為原等距曲線，點劃線為利用本文方法得到的等距曲線的逼近曲線。

圖3 三次H-Bézier曲線的等距曲線

3 結 論

本文給出了代數雙曲空間中的一組正交基在反函數逼近和等距曲線逼近兩個方面的應用。利用代數雙曲空間中的混合多項式給出了單調函數求反函數的逼近序列，并用實例證明了方法的有效性；利用基于法矢曲線的逼近構造H-Bézier曲線等距曲線的方法，逼近曲線與原曲線具有相同的低階表示形式，逼近誤差易于控制。我們將進一步探討擬Legendre基在代數雙曲空間中的其他應用。

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The application of a quasi-Legendre basis in the hyperbolic hybrid polynomial space

Wang Yan1, Tan Jieqing1,2, Li Zhiming2
( 1. School of Computer and Information, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China; 2. School of Mathematics, Hefei University of Technology, Hefei Anhui 230009, China )

In view of the wide usage of the orthogonal basis such as Legendre basis in the algebra polynomial space, the applications of the quasi-Legendre basis in inversion and offsetting approximations are given in this paper. Inversion approximation is constructed by using the blending of polynomial and hyperbolic functions, and the experimental results show that the approximation method is effective. An approach to approximate the offset curves of the H-Bézier curve based on the ideal approximation for the normal curve is presented. The algebraic approximation algorithms which can obtain the control points of the approximation curves directly are simple and more precise.

H-Bézier basis; quasi-Legendre basis; inverse function; offset curve

TP 391.72

2095-302X (2012)02-0053-04

2011-09-30

國家自然科學基金資助項目（60773043，61070227）；教育部科學技術研究重大資助項目（309017）

王 燕（1985-），女，山東泰安人，博士研究生，主要研究方向為計算機輔助幾何設計。