彈性固體的新單元模型

柯 江

(陜西理工學院土建學院，陜西 漢中 723001)

工程中很多計算問題，為了計算簡單常把材料的本構模型假定為線彈性的，彈性力學就是研究彈性體受外力作用而發生的應力、應變和位移，計算方法有解析法、有限元法等［1-3］。筆者根據廣義虎克定律和疊加原理，提出了一種各向同性的線彈性固體的新單元模型，在此基礎上得到了一個簡單的分析線彈性固體的新方法［4］，本文將把新單元模型推廣應用到線彈性正交各向異性材料。

1 新單元模型

建立新單元模型的方法與文獻［4］完全相同。新單元包括空間桁架單元和平面桁架單元(見圖1，圖2)，圖1和圖2都是以材料的彈性主軸建立坐標系的;彈性力學的空間問題采用空間桁架單元，而彈性力學的平面問題采用平面桁架單元，但平面問題包括兩種類型，即平面應力問題和平面應變問題，因此需要分別建立這兩種問題的平面桁架單元模型。所有桿件的彈性模量均取為E1(材料在彈性主方向1的彈性模量)。

1.1 空間桁架單元

空間桁架單元由24根桿件組成(見圖1)，在1，2，3方向的尺寸分別為:

其中，l為長度，例如l58為桿件58的長度，5，8是其兩個端點。所有桿件的彈性模量均取為E1(材料在彈性主方向1的彈性模量);空間桁架單元是對稱的，包括6種類型桿件(截面面積不同)，即:

其中，A為桿件的截面面積。

圖1 空間桁架單元

圖2 平面桁架單元

當材料的工程彈性常數滿足方程(1):

其中，G23，G31，G12分別為在 2-3，3-1，1-2 平面內的剪切模量;E1，E2，E3分別為正交各向異性材料在1，2，3彈性主方向上的彈性模量;vij為泊松比，即vij= － εi/εj，是單獨在j方向作用正應力 σj而其他應力分量為0時，i方向應變與j方向應變之比的負值。

1.2 平面桁架單元

假設平面問題的厚度方向為3方向，在3方向的厚度為h。平面桁架單元是一個矩形桁架(見圖2)，由6根桿件組成，所有桿件的彈性模量均取為E1(材料在彈性主方向1的彈性模量);它是對稱的，包括3種類型桿件(截面面積不同)，即:A1=A12=A43，A2=A14=A23，A3=A13=A24(A為桿件的截面面積);平面桁架單元在1，2方向的尺寸分別為l1=l12=l43，l2=l14=l23(l為長度)。

1.2.1 平面應力問題

當材料的工程彈性常數滿足方程(3):

則平面桁架單元各桿件的截面面積為:

1.2.2 平面應變問題

當材料的工程彈性常數滿足方程(5):

則平面桁架單元各桿件的截面面積為:

2 結語

正交各向異性線彈性體的力學計算問題，現有的各種計算方法都非常復雜，要完全掌握需要高深的力學、數學知識，而運用本文建立的新單元模型，把彈性體劃分成由許多桁架單元組成，這樣彈性體就變成了一個桁架結構，然后通過計算這個桁架結構，就可以得到彈性體的內力與位移，計算非常簡單。

［1］陸明萬，羅學富.彈性理論基礎［M］.北京:清華大學出版社，1990.

［2］王敏中，王 煒，武際可.彈性力學教程［M］.北京:北京大學出版社，2002.

［3］王勖成，邵 敏.有限單元法基本原理和數值方法［M］.北京:清華大學出版社，1997.

［4］柯 江.實體結構求解的新方法［J］.山西建筑，2008，34(9):112-113.