從學習數學到學會思維

兩位四年級數學教師“同課異構”復習平行四邊形和梯形的特征。復習內容是義務教育課程標準實驗教科書蘇教版四下第117頁第19題（如下）：

1.教師A的處理。

四人小組合作討論上述問題后全班交流。在交流圍平行四邊形最多與最少用到幾種不同的小棒時，師生對答比較順利；在交流圍梯形最少用到幾種不同的小棒時則出現了爭議：有的組認為最少用到3種，有的組認為最少用到2種。課堂時間在學生的爭議中過去了三分鐘，而問題始終沒得到解決，教師A當機立斷，親自在黑板上畫出了最少用2種不同的小棒圍成的梯形，學生似有所悟，頻頻點頭，最終解決了這場紛爭。

2.教師B的處理。

課前，教師B預計此內容對學生來說可能會有難度，就設計了一張研究單（如下），課堂上學生結合這張研究單，同桌間合作想、理、圍，然后全班討論交流。

在交流圍梯形最少用到幾種小棒時，學生在實物投影上邊圍邊展開討論：

生1：我認為圍出梯形最少要用到3種不同的小棒（圖1）。

生2：可以把上底2cm換成3cm，那么最少會用到2種不同的小棒（圖2）。

兩位學生一圍一改，掀起了課堂辯論的高潮，在辯論修改中全班學生恍然大悟。

思考：

1.數學課要教給學生什么？

同樣的教學內容，不同的教學方法，雖然最終學生都理解了知識，但此過程中學生所獲得的發展是不一樣的，這就引發了思考：數學課要教給學生什么？數學課不僅要傳授數學知識，更重要的是利用數學知識這個載體來發展學生的思維能力，“只有在思維過程中獲得的知識，而不是偶然得到的知識，才能具有邏輯的使用價值”。鄭毓信教授曾指出，我們應將數學思維的培養與具體數學知識的學習很好地結合起來，真正實現“通過數學學習幫助學生學會思維”，培養學生的思維品質。教師A就過于重視知識傳授，忽略了利用知識這個載體來發展學生的思維能力，教學效果就差了一些。

2.怎樣“從學習數學到學會思維”？

赫爾巴特指出：“有時教師只需在某些事情上給學生以初步的推動，并繼續注意引起他們的動機，給予他們材料，他們就會自己進行學習，并且也許會很快擺脫教師的照料。”研究單是數學研究性課堂中輔助學生開展研究的“腳手架”，也是教師輔導學生、分析研究課堂教學的重要資源。教師B能利用研究單引導學生整理記錄、思考探索，學習出現問題時能動手操作去辯論驗證，此時學生的學習過程就變成了研究問題的過程，也就是分析比較、抽象概括的思維過程。在此過程中，學生不但復習了知識，而且培養了能力，發展了思維，取得了較好的效果。

3.研究單與思維之間的關系。

為學生思維發展而教的一個前提是教師的思維必須發生改變，即教師自己首先要成為一個會思維的人。教學前，教師要研讀教學內容，以知識為起點，重視學生思維方式的養成，開發設計研究單；教學中，學生使用研究單的過程就是學會思考的過程。學生通過研究單既學到了知識，更體會到了隱藏在知識背后的思維方法。知識內容與研究單、教師與學生、思維過程與思維品質之間的關系可用示意圖表示如下（圖3）：

實例解讀：

在實際教學中，教師研讀教材，在知識的生長點、教學的重難點、學習的困惑點等處設計研究單，讓學生以研究單為載體展開學習，經歷思維過程，養成思維品質。

1.找準知識的生長點，培養思維的深刻性。

在知識的生長點處設計研究單，可以培養學生思維的深刻性。如四上《乘法運算律》一課，教學前，教師應該會考慮到學生剛學過加法運算律，一定對乘法運算律有猜想、會驗證。既然學生內心有強烈的探究欲望，也具備一定的分析類推能力，教師就可以設計如下的研究單：

這張研究單既反映出教師對教材的準確解讀與全面把握，同時也把這種解讀與把握很好地傳遞給了學生。學生在這張研究單的引領下，經歷猜想與驗證、比較與歸納等思維過程。相對于5×6=6×5這樣的等式而言，最后得到的a×b=b×a是對諸多類似關系式的更高層次的概括，是透過表面現象揭示本質規律的思維過程，代表了學生認識上的重要進步，進而培養學生思維的深刻性。

2.突破教學的重難點，凸現思維的抽象性。

在教學的重難點處設計研究單，有助于凸現學生思維的抽象性。如六上《長方體、正方體的認識》一課，研究長方體的面、棱、頂點的特征是重難點。課堂上學生往往情緒高漲同時又手足無措，看到面的形狀卻丟了數量，數了棱的數量卻丟了長度，迫切需要教師的悉心指導。此時，可以設計如下的研究單：

這張研究單首先反映的是教師對長方體的面、棱、頂點的全面認識，教師的前期思考為學生的思維活動把準了方向。在研究單的指引下，學生從長方體牙膏盒、正方體魔方等實物出發，從面的形狀、數量、大小，棱的數量、長度等方面展開深入研究，得出長方體與正方體的特征。學生經歷了比較分類、抽象概括等思維過程，凸現了學生思維的抽象性。

3.解析學習的困惑點，激發思維的獨創性。

曾給五年級學生做過這樣一道測試題：10張參觀券，如果拿2張連號的，一共有幾種不同的拿法？拿3張呢？結果發現，能直接報出答案的學生少之又少，學生大多處于模棱兩可的狀態，這就是學習的困惑點，教師以此為起點設計了下列研究單：

教師準確把握學生學習的困惑點，也就是思考的疑難點。開發這張研究單，學生根據研究單邊嘗試邊填表，策略各有不同：有的平移，有的連線，有的計算。他們的思路新穎獨特，感覺到規律后，學生把自己的發現與同學交流，同桌共同歸納概括出規律，學習的困惑得以解決。在探究規律的過程中，學生有自己獨特的方法與感受，體現了一定的探索精神與創造精神，大大激發了學生思維的獨創性。

（作者單位：南京市力學小學）