探究高考數列通項的求法

數列在高中數學中占有非常中重要的位，對通項公式的探究是高考考查數列的主要命題點，它能考查觀察、歸納、猜想、推斷能力，特別是有遞推關系確定數列的通項、更具有新穎、靈活等特點，求數列的通項公式是歷年高考命題的重點和熱點。現主要以近年高考題為例，分析求數列通項公式的常用方法，以便在高考復習階段，做到知己知彼、有的放矢，提高復習效率。

類型1：已知數列類型，利用定義求解

例1：（2011年福建卷）已知等差數列{an}中，a1=1，a3=-3。

（I）求數列{an}的通項公式；

（II）若數列{an}的前k項和sk=-35，求k的值。

例2：（全國卷文科) 設等比數列{an}的前n項和為sn，已知a2=6，6a1+a3=30求an和sn。

【點評】利用定義求數列的通項公式，需要知道數列的類型，即等比數列或等差數列，以及等差數列或等比數列的性質。

類型2：已知數列{an}的前n項和sn

求其通項，可用公式，ans1sn-sn-1求解

例3：湖北已知數列{an}的前項n和sn為，且滿足： 工a1=a(a≠0)，an+1=rSn(n∈N*，r∈R，r≠-1)。

（Ⅰ）求數列{an}的通項公式；

（Ⅱ）若存在K∈ N*，使得Sk+1，Sk，Sk+2成等差數列，判斷：對于任意的m∈N*，且m≥2，am+1，am，am+2是否成等差數列，并證明你的結論。

【點評】數列的通項an與前n項和sn的關系需注意當n≥2時求出an也適合n=1時的情形，可直接寫成an=sn-sn-1否則分段表示。

類型3：可轉化為等差數列或等比數列求通項

例4：（2011年全國）設數列{an}滿足a1=0，且■-■=1.

（Ⅰ）求{an}的通項公式；

（Ⅱ）設bn=■，記Sn=■bk，證明：Sn <1，

解：（I）由題設■-■=1，

即(■)是公差為1的等差數列。

又■=1，故■=n，所以an=1-■.

類型4：由遞推關系確定數列的通項公式

1.累加法

例5：（2011年四川） 數列{an}的首項為3， {bn}為等差數列且bn=an+1-an (n∈N*).若則b3=-2，b10=12，則a8=

（A）0 （B）3 （C）8 （D）11

【點評】 數列的遞推關系形如an+1=an+f(n)，其中{f(n)}前有限n項可求和。此種類型的數列求通項時，常常是相鄰兩項作差，然后對差式求和，這是求通項公式的一種重要方法。

2. 累乘法

已知數列{an}中，a1=1，(2n+1)an=(2n-3)an-1(n≥2)，則數列的通項為（ ）。

解析：原遞推公式即為■=■(n≥2)，所以■=■，■=■，■=■，■=■…■=■(n≥2)，各式左右兩邊分別相乘得■=■(n≥2)，

解得an=■(n≥2)，又a1=1適合上式，所以數列{an}的通項公式為an=■.

【點評】：數列的遞推關系形如an+1=g(n)an，其中{g(n)}的前n項的乘積容易化簡。此數列求通項公式的方法用累乘法。

3.換元構造新數列

例6：（2011年廣東）設b>0，數列{an}滿足a1=b，an=■(n≥2)，

（1）求數列{an}的通項公式；

（2）證明：對于一切正整數n，2an≤bn+1+1

【點評】第（1）問遞推公式的特征，應該把an與n結合在一起，從而與an-1和n-1結合的式子相對應，故可對條件給出的等式兩邊取倒數，便可通過換元構造新的遞推數列，并利用構造法轉化為轉化為轉化為類似等差或等比數列的通項公式求解。

總之，由遞推公式求數列的通項公式是數列的一個難點，但只要善于聯想，掌握一些固定模式及對應解法，那么難點也會很容易被突破。

作者單位 陜西省靖邊縣第三中學

責任編輯 楊博