一元二次方程的根與系數的關系

當今教科書指出：一元二次方程的根與系數的關系屬選學內容，只供學習有余力的學生學習。但是一元二次方程的根與系數的關系這個知識點的應用卻是相當的廣泛，習題的內容之多，題目的形式靈活多樣，在中考及平時的考試中所占分值卻很重，而大部分同學對這個內容卻學得不好。在此簡單講解一下一元二次方程的根與系數的關系的相關知識及相關應用，望對同學們有所幫助。

一元二次方程的根與系數的關系（以前的教科書叫韋達定理）：如果方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個根是x1、x2，那么x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。也就是說，兩根的和等于一次項系數與二次項系數的比的相反數，兩根的積等于常數與二次項系數的比。

一元二次方程的根與系數的關系是通過求根公式演變過來的，下面是證明的過程：

對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），當判別式△=b2

-4ac≥0時，方程有兩個實數根， ，

，故有x1+x2=-b/a，x1x2=c/a。該知識點的使用方法：先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），然后確定二次項系數、一次項系數及常數項（特別是要注意這些系數的符號），最后再根據根與系數的關系，求出相關值。

一、根與系數的關系的直接應用

例1：不解方程，求出2x2+4x=1的兩根的和與兩根的積。

解：將原方程化為一般形式得：2x2+4x-1=0

確定a，b，c的值為a=2，b=4，c=-1

于是x1+x2=- c/a=-2，x1x2=c/a=-1/2。

二、根與系數的關系的幾種變形

例2： x1、x2是方程2x2-3x-5=0的兩個根，不解方程，求下列代數式的值：

（1）x12+x22 （2）| x1-x2| （3）x12+3x22-3x2

解：由根與系數關系可知 x1+x2=3/2， x1x2 =-5/2

（1） x12+x22=（x1+x2）2 -2x1x2=

（2） | x1-x2|=√（x1+x2）2-4x1x2=√19/2

（3） 由2x2-3x-5=0可得：2x2-3x=5

故：原式= （x12+x22）+（2x22-3x2）

= +5 = 12

三、由根與系數的關系求字母的值

例3：已知關于x的方程x2+2（m+2）x+m2-5=0有兩個實數根，并且這兩個根的平方和比這兩個根的積大16，求m的值。

分析：方程有實數根，則△≥0，且x12+x22=x1x2+16，聯立解得m的值。

解：依題意有：

解上面方程組可得：m=-1或m=-15，

又由△≥0可知m≥-9/4

∴m=-15舍去，故m=-1

四、根與系數的關系與反證法聯系

例4：證明：方程x2-1997x+1997=0無整數根。

反證法：假設原方程有整數根

由

可得，x1、x2均為整數根，

∵x1x2=1997

∴x1、x2均為奇數

但x1+x2應為偶數，這與x1+x2=1997相矛盾。