鉆研教材 提煉方法 升華思維

根據認識過程的普遍規律和教學過程中學生的認知特點，學生掌握知識一般是從對教材的感知開始的. 教材是學生獲得系統化、規范化知識體系的主要依據，是教師傳授知識和學生自學、復習、作業的主要憑借. 目前，受應試教育影響，普遍存在對教材的輕視和使用教材不科學的現象，嚴重影響教學工作的正常進行，影響了學生能力的培養和素質的提高. 下面結合本人工作中的一些體會談談對教材使用的一些看法.

一、領會意圖，適度改造，增強運用

教材凝聚著編寫者的智慧，蘊涵著豐富的內涵，給教師提供了廣闊、開放的研究舞臺. 對教師來說，只有教出了教材中的意圖、思想，才真正教好新教材. 教師要善于在形式化的數學背后，挖掘出生動活潑的問題、思想讓學生去領會，汲取更多的“養分”，有效地實現教學的“再創造”過程. 選修2-1《圓錐曲線》第一課時對平面截圓錐面的第一種情況進行探究，引入橢圓的定義可以有不同的方法，各有自己的特點. 老教材是用一根長度大于F1F2的細繩，將其兩端分別固定在點F1和F2，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上移動來畫一個橢圓. 現行教材用平面截圓錐面時，設圓錐曲線的母線與軸所成的角為θ（0<θ<），截面（不過頂點）與軸所成的角為α，當θ<α<時：截線是橢圓；并給出證明，在引出定義后例1又給出老定義的方法，教材的這種處理給我們感覺是好像簡單問題復雜化了？但仔細分析，可以揣摩編者有如下意圖：第一，更注重橢圓等圓錐曲線與圓錐面的聯系，強調圓錐曲線的統一性，避免孤立地認識橢圓、雙曲線、拋物線的定義，更好地反映出圓錐曲線的本質. 第二，更注重從空間的角度去認識平面曲線的產生過程，培養學生的空間想象能力. 第三，滲透物理上的投影思想，體現用數學方法來解決物理問題的思想，新老教材體現的思想差別還是很大的，新教材研究圓錐曲線的視角更開闊，呈現一種發散性思維. 教學中應和學生認真探究推導過程，通過并對教材進行適度改造，呈現問題，增強運用，讓學生領會其中的意圖，提升學生的思維. 如問題：有一只半徑為R的球放在桌面上，桌面上一點A的正上方相距（+1）R處有一點光源O，OA與球相切.

（1）球在桌面上的投影是什么曲線？

（2）球與桌面的接觸點是橢圓的什么？

（3）能求出橢圓的離心率嗎？

二、由淺入深，悟出精髓，遷移應用

在新授課中，離不開概念的教學，概念的形成過程是概念教學的基礎和重點，有時也成為一個難點. 構建主義教學觀認為，數學知識不是簡單地通過教師灌輸到學生頭腦中，必須基于個人對經驗的操作、交流，通過反省來主動建構. 因此，在教學中，通過對設計的具體問題的探究，讓學生在解決問題中構建概念的內涵與外延，培養運用概念的意識和能力.

《數學》必修3中的“最小平方法”是教材新增的一個概念，教材只根據一個具體的問題給出了形式化的定義，較為抽象，學生不易理解，更談不上運用. 2009屆江蘇蘇北四市的第一次聯考我們就編擬一個題目：已知x，y之間的一組數據如下表：

（1）從中各取一個數，求x+y≥10的概率；

（2）現有兩個直線方程： y=x-1與 y=x+.試利用最小平方法計算哪個方程擬合程度更好. 用這題來考察這個概念學生掌握的情況，提醒學生重視課本. 統計結果像我們這樣一個四星級學校也只有30多人做出第二問，有的學生根本就不知道這個概念. 我們老師在課堂教學中也是一帶而過，沒有和學生一同去探究這個概念的產生過程，實際選修教材2-3回歸分析這一節又專門對這一概念進行推理，如果教師能認真鉆研教材，有效地把這兩部分整合在一起，給學生一定的時間去探究、交流，往往能獲得比較理想的效果.

三、精選習題，變式拓展，提煉方法

教材中的習題、例題是教材專家們精心選擇和設計出來的，其典型性、權威性毋容置疑，但我們不能因此而“照本宣科”. 因為這些例題、習題只是為我們進行科學合理的例題教學提供相應的范例. 有必要在此基礎上進行進一步地加工和設計（改編、變式、拓展、深化），常常可以獲得形式新穎、綜合性強和具有探索性的問題，進而有效地訓練學生思維的靈活性和深刻性. 長此以往，學生就能進行數學推廣、數學猜想，就會有發明創造. 如選修2-2P99第14題：試比較nn+1與（n+1）n（n∈N*）的大小，分別取n=1，2，3，4，5加以試驗，根據試驗結果猜測一個一般性結論，并用數學歸納法證明. 題目得出的是一個與自然數有關的一個不等式，當n≥3，n∈N*時，有nn+1>（n+1）n. 本題是用不完全歸納—猜想—證明的思路來解決問題的，最后的證明只要用常見不等式n·（n+2）<（n+1）2進行放縮就可證出，如果教師分析到此處就收場，那就失去了此題“拋磚引玉”的作用. 可繼續引導學生進行深化，將限制條件從自然數放寬到大于0的實數，如0ba，只要證>. 構造函數f（x）=，將問題轉化為比較f（a）與f（b）的大小，當x∈（0，+∞）時，有lnf（x）=，兩邊求導有=. 所以f′（x）=

f（x）·=·，顯然，當x∈（e，+∞）時，f′（x）<0，從而函數f（x）=在（e，+∞）區間上是單調遞減函數，當x∈（0，e）時，f′（x）>0，從而函數f（x）=在（0，e）區間上是單調遞增函數，故當0ba. 思想從特殊到一般，方法從數學歸納法到構造函數法，收獲是得出證明不等式的兩種方法：數學歸納法和構造函數法. 正如波利亞所說的：與其窮于應付復雜而煩瑣的教學內容和過量的題目，還不如選擇一道有意義但又不太復雜的題目幫助學生深入挖掘題目的各個側面，使學生通過這道題，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地.

四、舉一反三，觸類旁通，提升能力

數學教學中我們辛辛苦苦講過的題目，隔一段時間再做或再考，學生的錯誤率仍然很高. 多數老師把這一現象完全歸咎于學生，認為學生學習態度不認真或笨造成的. 實際上作為教師應該反思自己的教學行為，反思自己的教學過程是否科學有效，是否符合學生的認知規律，學生的參與程度有多高？學生自己體驗出什么？能悟出那些思想方法、規律或更一般的結論？所以教學過程絕不是單純的解題活動或解題過程，更應該在解題之后反思解題的探索過程，概括提煉出規律性的東西，并能將所解之題進行類比聯想，從而達到舉一反三、觸類旁通的目的. 長期堅持，必能促進學生實現知識的正遷移和探究能力的提高，上述的問題也就不復存在. 如選修2-3P18 探究=x（x-1）（x-2）…（x-m+1），拓展：規定，其中x∈R，m∈N*，且=1，這是組合數（n，m∈N*，m≤n）的一個推廣.

（1）求

（2）排列數的兩個等式：①=+m，②=n是否都能推廣到（x∈R，m∈N*）的情形？若能推廣，寫出推廣形式，并給予證明；若不能，請說明理由.

1. 如果將上述結論中的“排列”換成“組合”，結果會怎樣？讓學生討論、思考、類比、聯想后可得結論.

規定=，其中（x∈R，m∈N*），且=1，這是組合數（n，m∈N*，m≤n）的一個推廣.

（1）求.

（2）組合數的兩個性質：①=，②=+是否都能推廣到（x∈R，m∈N*）的情形？若能推廣，寫出推廣形式，并給予證明，若不能，請說明理由.

2. 若x∈Z，m∈N*，則∈Z；對應的若x∈R，m∈N*時，∈Z成立嗎？若是，怎么證明？

先從學生熟悉的地方開始，因為組合數（n，m∈N*，且m≤n）是正整數，聯想這一學過的知識，生成解決問題的思路，分類討論：①當x≥m時，組合數∈Z；當0≤x

在教育部新頒布的普通高中課程標準中指出：“教材應當有較大的開放性和可塑性，盡量避免以絕對權威的面孔出現. 應當讓學生認識到教科書內容不是讓他們被動地不加思考地全盤接受，而是提供一些供他們分析和思考的素材，提出一些供他們活動參考的建議. 學生對教科書中某個觀點提出不同看法，不僅是允許的，而且是值得鼓勵的. ” 有了這種課程意識，我們教師就能站在教材之上，把教材看做一種可以改造的客觀存在，積極審視教材，科學地處理加工教材，準確地選用教材.