兩分子間相互作用力變化規(guī)律探討

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書選修3-3（2010年4月第3版，2011年11月第4次印刷）第7章第3節(jié)《分子間的作用力》中的“問題與練習(xí)”第1題.

題目 請描述：當(dāng)兩個(gè)分子間的距離由小于r0逐漸增大，直至遠(yuǎn)大于r0時(shí)，分子間的引力如何變化？分子間的斥力如何變化？分子間引力與斥力的合力又如何變化？

教師教學(xué)用書（2010年5月第4版，2011年5月第12次印刷）第13頁給出的“解答與說明”如下：

本題可借助于分子力隨分子間距離的變化圖線來描述.

由如圖1中的曲線（本圖復(fù)制于人民教育出版社的電子課本）可以看出，當(dāng)兩個(gè)分子間的距離由小于r0逐漸增大，直至遠(yuǎn)大于r0，這個(gè)過程可分為三個(gè)階段. 第一階段，由小于r0逐漸增大到等于r0的過程，引力和斥力均減小，斥力比引力減小得快.由于斥力大于引力，斥力和引力的合力表現(xiàn)為斥力. 第二階段，由r0逐漸增大到合力中引力最大所對應(yīng)的分子間距離的過程，引力和斥力均減小，斥力小于引力，斥力和引力的合力表現(xiàn)為引力而且合力值逐漸增大. 第三階段，由合力為引力最大值時(shí)兩分子間的距離到10r0的過程，斥力和引力均減小，斥力仍比引力減小得快，斥力小于引力，斥力和引力的合力為引力但合力值逐漸減小.

分析 教師教學(xué)用書的“解答與說明”分三個(gè)階段進(jìn)行討論，分別給出了斥力和引力的大小比較、斥力、引力各自的大小隨兩分子間距離r變化的關(guān)系、斥力和引力的大小隨距離r變化的快慢比較、斥力和引力的合力值隨距離r變化的關(guān)系.當(dāng)然，對其中的第一階段，“解答與說明”并沒有給出合力值隨距離r變化的關(guān)系，對其中的第二階段，“解答與說明”也沒有給出斥力和引力的大小隨距離r變化的快慢比較.

對于第一階段，合力值隨距離r的增加而逐漸減小的關(guān)系，是很容易從圖1中直接看出來的，“解答與說明”即使沒有交代也沒有多大的影響，但是第二階段，斥力和引力的大小隨距離r變化的快慢關(guān)系究竟如何？還有第三階段，斥力和引力的大小隨距離r變化的快慢關(guān)系——“斥力仍比引力減小得快”又是否正確呢？

要比較斥力、引力大小隨距離r變化的快慢，最容易想到的就是比較它們圖象的斜率（即圖線的陡緩程度），觀察圖1，當(dāng)rr0時(shí)，比較兩個(gè)曲線的陡緩程度就有一定的困難了. 筆者試驗(yàn)過，讓全班學(xué)生用肉眼直接觀察圖1中第二階段斥力和引力曲線的傾斜程度，有近1/3的學(xué)生認(rèn)為斥力變化快，有近1/3的學(xué)生認(rèn)為引力變化快，還有的則難以決定. 出人意料的是在第三階段，有近80%的同學(xué)都發(fā)現(xiàn)：圖1中的斥力曲線已經(jīng)相當(dāng)平緩，而引力曲線仍然有一定的傾斜，似乎是引力比斥力減小得快，這與教師教學(xué)用書“解答與說明”的結(jié)論完全相反.究竟孰是孰非呢？筆者和學(xué)生對這一問題進(jìn)行了很有意義的探討，以下是學(xué)生們給出的另外兩種方法：

方法一 第一階段. 由于合力值F合為斥力，所以計(jì)算合力值F合大小的表達(dá)式應(yīng)為F合=F斥-F引. 并且由圖1中的合力曲線（圖1中中間的實(shí)線）可以看出，隨著r的減小，合力值F合增大，而F斥、F引也在增大.要保證合力值F合隨r的減小而增大，F(xiàn)斥增大的幅度必須要比F引增大的幅度大一些，即斥力比引力變化快.

第二階段. 由于合力值F合為引力，這時(shí)計(jì)算合力值F合大小的表達(dá)式應(yīng)為F合=F引-F斥，又因隨著r的增大，合力值F合增大，而F斥、F引在減小. 所以要保證合力值F合隨r的增大而增大，F(xiàn)斥減小的幅度必須要比F引減小的幅度大些，即此時(shí)仍然是斥力比引力變化快.

第三階段. 由于合力值F合仍為引力，計(jì)算合力值F合大小的表達(dá)式仍應(yīng)為F合=F引-F斥，并且隨著r的增大，合力值F合減小，F(xiàn)斥、F引也在減小. 如果F斥、F引減小的幅度相同，則由F合=F引-F斥可以推斷，合力值F合將保持不變；如果F斥減小的幅度較大，則由F合=F引-F斥可以推斷，合力值F合將增加. 所以要保證合力值F合隨r的增大而減小，必定是F斥減小的幅度要比F引減小的幅度小一些，即此時(shí)斥力將比引力變化慢. 這時(shí)“解答與說明”給出的結(jié)論是錯(cuò)誤的.

方法二 設(shè)斥力曲線、引力曲線隨分子間距離r的函數(shù)分別為F斥（r）、F引（r），則合力曲線隨分子間距離r的函數(shù)則為F合（r）=F斥（r）+F引（r）. 觀察合力曲線可知，在區(qū)間（r0，+∞）之間存在一個(gè)負(fù)的極值點(diǎn)，此即“解答與說明”中所提到的“合力中引力最大”所對應(yīng)的點(diǎn)，設(shè)其橫坐標(biāo)為r1. 由于該點(diǎn)是極值點(diǎn)，所以合力函數(shù)F合（r）在此處的一階導(dǎo)數(shù)F合′（r）=0. 又因F合（r1）=F斥（r1）+F引（r1），所以F合′（r1）=F斥′（r1）+F引′（r1），有F斥′（r1）=-F引′（r1），即F斥′（r1）=F引′（r1）. 從導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，在r1處斥力曲線的傾斜程度與引力曲線的傾斜程度相同，即r1處斥力與引力的變化快慢相同.

當(dāng)00. 再由F合′（r）=F引′（r）+F斥′（r），可推得F斥′（r）

當(dāng)r>r1時(shí)，由圖1的三條曲線的傾斜情況可知F合′（r）>0、F斥′（r）<0、F引′（r）>0，再由F合′（r）=F引′（r）+F斥′（r），可推得F斥′（r）

綜上所述，建議教師教學(xué)用書的“解答與說明”應(yīng)更正如下：

本題可借助于分子力隨分子間距離的變化圖線來描述.

由如圖1中的曲線可以看出，當(dāng)兩個(gè)分子間的距離由小于r0逐漸增大，直至遠(yuǎn)大于r0，這個(gè)過程可分為三個(gè)階段.第一階段，由小于r0逐漸增大到等于r0的過程，引力和斥力均減小，斥力比引力減小得快.由于斥力大于引力，斥力和引力的合力表現(xiàn)為斥力，并且合力值逐漸減小. 第二階段，由r0逐漸增大到合力中引力最大所對應(yīng)的分子間距離的過程，引力和斥力均減小，斥力小于引力，加之斥力比引力減小得快，所以斥力和引力的合力表現(xiàn)為引力而且合力值逐漸增大.第三階段，由合力為引力最大值時(shí)兩分子間的距離到10r0的過程，斥力和引力均減小，斥力小于引力，所以斥力和引力的合力為引力，加之引力比斥力減小得快，所以合力值逐漸減小.

另外教師教學(xué)用書在第19～22頁給出這一節(jié)的教學(xué)設(shè)計(jì)參考案例，在分析斥力、引力隨分子間距離變化的快慢關(guān)系時(shí)也存在相應(yīng)的錯(cuò)誤，希望再版時(shí)一并更正.