一道數學課本習題再思考的教學價值

課本的例習題是所有教學材料中的精品，有豐富的內涵和廣闊的外延，對學生理解鞏固知識和形成解題策略具有一定典型作用和潛在的價值. 新課程主張要改變學生的學習方式和教師的教學方式，要求把學習的時間還給學生，提倡探究式學習，那么教師如何挖掘習題的價值就顯得尤為關鍵. 有些教師仍習慣題海戰術，可學生卻是異常排斥. 正確的做法是將“訓練”和 “反思”相結合，在訓練的基礎上多做總結性的反思. 這就要求教師要用“活”例習題，教會學生自主去探究，真正實現探究過程中隨時留下來“知識的烙印”. 本文以人教版必修4第113頁B組第3題為例，探討問題的再思考所產生的學習價值.

題目：已知對任意平面向量=（x，y），把繞著點A逆時針方向旋轉θ角后，得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），叫做把B點繞點A逆時針旋轉θ角得到點P.

（1）已知平面內一點A（1，2），點B（1+，2-），把點B繞點A順時針方向旋轉后得到點P，求點P的坐標；

（2）設平面內曲線C上的每一點繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到的點的軌跡是曲線x2-y2=1，求曲線C的方程.

一、 課本習題最基本的教學價值是以所學知識為基礎的知識鞏固

本例所給出的背景是解析幾何中的坐標旋轉公式. 新課標要求給學生“坐標旋轉公式”以初步印象，了解其含義，并能利用已給的公式進行運算，為學生進行“旋轉變換”提供了可能. 要實現上述教學價值，必須建立合理的認知結構，由于學生在此時還沒有學習兩角和差的正余弦公式，就不會理解該公式為研究圖形的旋轉變換提供了最方便的方法. 在實際的教學中，我將此題的教學延后到“兩角和與差的正弦、余弦公式”之后來進行，這樣就可以有效地利用所學知識來證明該公式，降低了知識的難度，使學生便于接受，處理得應該是比較合理的.

在學習完三角函數的相關知識后不禁要問：三角函數的定義應用十分廣泛，除了推導出誘導公式、三角恒等式、正余弦定理外，還有許多應用，你能利用三角函數的定義來表示點的坐標嗎？

如圖1，設點P的坐標為（x，y），以射線Ox為始邊，射線OP為終邊的角α，有三角函數的定義可知：P（rcosα，rsinα），起到利于溫故知新之效.

平面內一點P（x，y）繞原點O逆時針方向旋轉θ角后，得到點P′（x′，y′），則這兩點坐標之間的關系是什么？

自然聯想：設OP=OP′=r，以Ox為始邊，OP′為終邊的角α+θ，

由上述結論可知x=rcosα，y=rsinα，x′=rcos（θ+α），y′=rsin（θ+α）.

由兩角和的余弦公式可得x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ.

該公式就是點P旋轉前后坐標之間的關系，也就是坐標旋轉公式.

二、 課本習題的教學應補充思維過程，拓展學生思維空間

課堂上我們要留給學生的不僅是完整的解題過程，更重要的是分析解決問題的思維過程，否則學生只會知其然而不知其所以然. 所以我們要引導學生真正搞懂解題的依據是什么，發現規律，探究方法. 在解決完本題后，我又引導學生做了如下探討：

（1）初中學習的反比例函數y=（k≠0），其圖象是雙曲線，在高中我們又學習過雙曲線，方程為-=1（a>0，b>0），那么，這兩種曲線是一致的嗎？如何證明你的判斷呢？

（2）設反比例函數y=（k≠0）圖象繞坐標原點沿順時針方向旋轉得到曲線C，又設曲線上任意一點的坐標為P（x，y），那么將點P繞坐標原點沿逆時針方向旋轉后得到的點P′（x′，y′），在反比例函數的圖象上，即x′y′=k.

由旋轉公式可得x′=xcos-ysin=（x-y）y′=xsin+ycos=（x+y）

所以x2-y2=2k顯然表示高中的雙曲線.

由此我們完全明白為什么初中把反比例函數的圖象叫做雙曲線了！因為它的本質就是將雙曲線x2-y2=2k繞原點O逆時針旋轉得到的.

（3）既然反比例函數的圖象是雙曲線，那么你能求出其頂點、焦點、對稱軸、漸進線等等嗎？

學生很快發現，只要將雙曲線x2-y2=2k（k>0）的頂點、焦點、對稱軸、漸進線等繞原點O逆時針旋轉即可.

（4）雙曲線的許多性質應該也一樣適用反比例函數，你能說出幾條嗎？

這是一個開放性的問題，我的學生給出了許多答案，其中有一條讓我感覺學生的能力有了大幅度的提高：學生給出了這樣的一個結論若一條直線與反比例函數的圖象、坐標軸相交的四個點依次為A，B，C，D，那么|AB|=|CD|.

三、 用“活”課本習題，實現學生能力與品格的雙贏

思維不應就此停止，我們要想從浩如煙海的“題海”中解放出來，就必須引導學生向更廣的范圍，更深的層次去聯想，縱橫引申，把所學的知識放到更大的范圍去聯想、演變，促進知識的融會貫通，使解題能力和思維能力得到提高，人也會越來越自信. 所以，我又為學生搭建了下面的臺階：

（1）“雙勾”函數y=ax+（a，b為正數）在高考中出現的頻率越來越高，該函數的圖象也是雙曲線形狀，它跟我們本題研究的是否是同一類曲線構成呢？

將函數y=ax+（a，b為正數）的圖象（圖2）繞原點O順時針方向旋轉角θ（θ為銳角）后得到的曲線為C，設C上的任意一點P（x，y），則將其繞原點逆時針方向旋轉角θ后得到的點P′（x′，y′）必在函數y=ax+（a，b為正數）的圖象上，所以y′=ax′+，即x′y′=ax′2+b.

由旋轉公式x′=xcosθ-ysinθ，y′=xsinθ+ycosθ，代入上式化簡得

（sin2θ-cos2θ-a）x2-（sin2θ-cos2θ+a）y2

=-2xy（asin2θ+cos2θ）+2b，令asin2θ+cos2θ=0，即tan2θ=-<0，又因為θ為銳角，所以2θ為鈍角，故sin2θ=，cos2θ=，可取θ=arccos，代入方程并化簡得（-a）x2-（+a）y2=2b，由于-a與+a和2b均為正數，所以此方程表示中心在原點，焦點在x軸上的雙曲線.

可見，原函數y=ax+（a，b為正數）的圖象也是中心在原點的雙曲線. 這樣我的學生就完全明白了“雙勾”函數的圖象也是雙曲線！學生就可以順理成章地把該函數定義為“雙勾雙曲線”，形象也貼切！

（2）由于函數y=ax+（a，b為正數）（圖3） 與“雙勾”函數y=ax+（a，b為正數）的解析式僅差一個負號，那么其圖象是什么呢？兩者的圖象之間有什么關系呢？

這兩個函數在學生的學習中經常遇到，學生往往就是利用函數的單調性、奇偶性等知識畫出函數的草圖，但卻很少深入研究兩者之間的關系.

與上述運算僅僅相差一個負號，只要繞原點旋轉同樣的角度θ=arccos后，就可以得到方程（-a）x2-（+a）y2=2b，它也是一條雙曲線.

在運算中可以發現（-a）x2-（+a）y2=±2b是一對共軛雙曲線，所以函數y=ax+（a，b為正數）的圖象也是雙曲線，并且和“雙勾”函數的圖象是一對共軛雙曲線. 這樣我們就可以非常準確地畫出它們的圖象了，也完全掌握了這兩個函數圖象之間的關系. （圖4）

數學概念的建立、計算公式、性質概括等教學難點必須讓學生設身處地，身臨其境，否則任憑教師再怎樣講解強調也是無濟于事. 我們不應跳過與學生一起經歷知識的形成過程，直接告知結論，再通過題型教學反復強化結論，這樣做無異于“殺雞取卵”，百害而無一利.

上述的設計既不脫離教材，又不拘泥于教材，隨著教學層次的展開，不失時機地引導學生由淺入深的探討，將學生的思維引向深入. 通過觀察、分析、比較，從感性認識上升到理性認識，使思維產生了質的飛躍.

對問題的再思考，能很好地幫助學生完成“解決問題——提出新問題——解決新問題”的探究過程，通過聯想新問題打破原有的知識體系，通過解決新問題使學習更上一層樓，更能培養學生自主學習的興趣，點燃學生的求知欲望，大幅度提高學習效率.