小題深究 標(biāo)本兼治

由于選擇題具有覆蓋面廣、形式新穎、內(nèi)容豐富、解法靈活、閱卷客觀等特點(diǎn)，因此，在各類考試中占有十分重要的位置，選擇題所占分值也有較大的比重. 為此，在教學(xué)中，選擇題的解題教學(xué)也越來越受到老師們的重視和關(guān)注.

當(dāng)前，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，有關(guān)選擇題解法研究如火如荼，排除法、特殊值法、驗(yàn)證法、試探法等各種解選擇題的方法和技巧層出不窮.筆者認(rèn)為，這是十分必要的，對尋找選擇題的正確答案也是有效的. 但是，數(shù)學(xué)教學(xué)的本質(zhì)是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，是發(fā)展學(xué)生的思維和應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識. 過度強(qiáng)調(diào)解題技巧，會造成學(xué)生思維的僵化，學(xué)生“知其然不知其所以然”，有損學(xué)生能力的發(fā)展和提高. 初中數(shù)學(xué)中的選擇題教學(xué)應(yīng)著眼于數(shù)學(xué)的本質(zhì)，以培養(yǎng)學(xué)生“四基”為核心，以發(fā)展學(xué)生思維為主要目標(biāo)，重過程，輕結(jié)果，體現(xiàn)“以學(xué)為中心”的教學(xué)理念. 本文就如何在初中數(shù)學(xué)選擇題教學(xué)中進(jìn)行“小題深究”、“標(biāo)本兼治”作一簡單闡述，以求共勉.

一、小題深究，落實(shí)四基

一般數(shù)學(xué)選擇題是由一個問句或一個不完整的句子和四個備選答案組成 ，只求正確結(jié)論，不用遵循解題步驟. 選擇題的解題很難發(fā)現(xiàn)解題的依據(jù)是否有理、思維方式是否科學(xué)、知識應(yīng)用是否恰當(dāng). 為此，在教學(xué)中，對于某些選擇題采用“小題深究”的方式更有利于對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本方法和基本活動經(jīng)驗(yàn)的有效訓(xùn)練和鞏固，更好地理解和掌握題中所涉及的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想，有利于學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高.

所謂“小題深究”就是將選擇題按解答題要求，進(jìn)行說理和解答，充分揭示題中所包含的基礎(chǔ)知識，應(yīng)用的數(shù)學(xué)基本性質(zhì)，滲透的數(shù)學(xué)思想等.

例1. 如圖1，AB是⊙O的直徑，且AB=10，弦MN的長為8，若弦MN的兩端在圓上滑動時，始終與AB相交，記點(diǎn)A，B到MN的距離分別為h1，h2，則|h1-h2| 等于（ ）

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

解法一：如圖2，取MN的特殊位置，使MN⊥AB，∵AB=10，MN=8，∴ OE=3， ∴ AE=2，BE=8，

∴|h1-h2|=BE-AE=6，故選B.

解法二：如圖3，延長BE交⊙O于點(diǎn)G，連結(jié)AG，作OH⊥AG，垂足為H，交MN于點(diǎn)K.

則AF=HK=GE，OH=BG，由⊙O的半徑等于5，弦MN的長為8，得 OK=3，

∴ 2（OK+KH）=BE+EG， 得h2 -h1=6.

評析：方法一是解選擇題中一種常用的方法——特殊值法（特殊位置），簡單明了，省時省力.我們可以讓學(xué)生在考試學(xué)會用這種方法，但是如果在平時的教學(xué)中也應(yīng)用這種方法，那就消弱了本題的鞏固知識、發(fā)展能力及數(shù)學(xué)應(yīng)用的訓(xùn)練和提高；方法二的解題過程內(nèi)涵豐富，有效回顧了直徑所對的圓周角，三角形的中位線，垂徑定理及數(shù)形結(jié)合與方程思想等. 突顯了本題的解題價值.

例2. 定義[a，b，c]為函數(shù)y=ax2+bx+c的特征數(shù)， 下面給出特征數(shù)為 [2m，1 -m ， -1- m]的函數(shù)的一些結(jié)論：

① 當(dāng)m = -3時，函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，）；

② 當(dāng)m > 0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于；

③ 當(dāng)m < 0時，函數(shù)在x >時，y隨x的增大而減小；

④ 當(dāng)m≠ 0時，函數(shù)圖象經(jīng)過同一個點(diǎn).

其中正確的結(jié)論有

A. ①②③④ B. ①②④

C. ①③④ D. ②④

解法一：用排除法.

∵ 在四個選擇支中都包含有結(jié)論④，因此，結(jié)論④可以不用考慮；當(dāng)m = -3時，二次函數(shù)的解析式為y=-6x2+4x+2，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），因此，結(jié)論①是正確的，可排除選項(xiàng)D；∵ 當(dāng)m = -3時，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（，），對稱軸為直線x=，且開口向下，因此，結(jié)論③是錯誤的，可排除選項(xiàng)A和C，∴ 本題正確的選項(xiàng)是B.

解法二：由題意，二次函數(shù)的解析式為：y=2mx2+（1-m）x-1-m，觀察二次函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)，當(dāng)x = 1時，函數(shù)的值為0，因此，函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），所以結(jié)論④是正確的；

由解法一，結(jié)論①是正確的；

∵ 函數(shù)y=2mx2+（1-m）x-1-m的圖象的對稱軸為x=-=-，當(dāng)m< 0時，->，且開口向下，∴ 結(jié)論③是錯誤的；

又 ∵ 函數(shù)y=2mx2+（1-m）x-1-m的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，0），因此，-2mx2+（1-m）x-1-m可分解為（x-1）和一個一次式的乘積的形式，2mx2+（1-m）x-1-m=（x-1）（2mx+m+1），函數(shù)圖象與x軸的兩個交點(diǎn)分別為A（1，0），B（-，0），A，B兩點(diǎn)間的距離為1+=+，∴ 當(dāng)m> 0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于，即結(jié)論②是正確的.

綜上所述，正確選項(xiàng)是B.

評析：數(shù)形結(jié)合是函數(shù)學(xué)習(xí)最為重要的思想方法. 在解法一中，回避了關(guān)于函數(shù)圖象與軸的兩個交點(diǎn)間距離問題. 對學(xué)生而言，是一種很大損失，也是對題目的教育資源的一種浪費(fèi). 通過解法二對問題進(jìn)行全面探究，有效地回顧了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)、一元二次方程的根以及二次三項(xiàng)式三者之間的關(guān)系，同時通過觀察，得到二次函數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和等于零，其意義在于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力和發(fā)現(xiàn)能力，也是新課標(biāo)所提出的“數(shù)感”培養(yǎng)的體現(xiàn).

選擇題的“小題深究”，有利于學(xué)生全面掌握數(shù)學(xué)知識與方法，有效訓(xùn)練數(shù)學(xué)四基，發(fā)展思維，同時，有利于數(shù)學(xué)問題教育資源的有效利用.

二、標(biāo)本兼治，提升能力

筆者認(rèn)為，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，傳授解選擇題的特殊技巧，那是“治標(biāo)”，探究并挖掘題中所含數(shù)學(xué)思想、分析問題中各元素之間的內(nèi)在聯(lián)系、揭示問題的本質(zhì)屬性才是“治本”.在平時的教學(xué)指導(dǎo)中，老師既要“治標(biāo)”——傳授解題技巧，更要關(guān)注“治本”——問題的本質(zhì)，只有這樣，才能真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)解題能力.

例3. 已知二次函數(shù)y=x2-bx+1（-1≤b≤1），當(dāng)b從-1逐漸變化到1的過程中，它所對應(yīng)的拋物線位置也隨之變動. 下列關(guān)于拋物線的移動方向的描述中，正確的是（ ）

A. 先往左上方移動，再往左下方移動

B. 先往左下方移動，再往左上方移動

C. 先往右上方移動，再往右下方移動

D. 先往右下方移動，再往右上方移動

解法一：當(dāng)b=-1，0，1時，所給二次函數(shù)分別為y=x2+x+1，y=x2+1和y=x2-x+1，圖象的三個頂點(diǎn)分別是：（-，），（0，1）和（，），因此，正確選項(xiàng)應(yīng)是C.

解法二：∵二次函數(shù)y=x2-bx+1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，），

當(dāng)-1≤b≤1時，直線y=隨b的增大而增大，

∵ 二次函數(shù)圖象y=-b2+1的對稱軸為b=0，∴ 當(dāng)-1≤b≤0，隨b的增大而增大，當(dāng)0≤b≤1時，y=-b2+1隨b的增大而減小，因此，正確選項(xiàng)應(yīng)是C.

評析：本題解法一只涉及了已知二次函數(shù)解析式作出圖象的基本知識點(diǎn)，沒有對問題的本質(zhì)作深入的研究和探討；而解法二中涉及了函數(shù)的定義、一次函數(shù)的圖象及增減性、二次函數(shù)圖象及增減性等. 解法二中，還揭示了二次函數(shù)中一次項(xiàng)系數(shù)與函數(shù)圖象間的聯(lián)系，有利于引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步探究二次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)與函數(shù)圖象間的內(nèi)在聯(lián)系.

例4. 在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖4所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）. 延長CB交x軸于點(diǎn)A1，作正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作正方形A2B2C2C1…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2010個正方形的面積為 （ ）

A. 52009 B. 52010

C. 52008 D. 54018

解法一：由題意得：∵OA=1，OD=2，∴ AD=，正方形ABCD的面積為5.

△AOD∽△A1BA，∴ A1B∶AB=OA∶OD=1∶2，

∴ A1C=+=.

∴ 第一個正方形的面積為5，第二個正方形的面積為×5. 對四個選擇支進(jìn)行逐一驗(yàn)證，正確選項(xiàng)是D.

解法二：由題意得：∵OA=1，OD=2，∴AD=，

∵ △AOD∽△A1BA，∴ A1B∶AB=OA∶OD=1∶2，

∴ A1C=1+AB，即第二個正方形的邊長比第一個正方形的邊長增加了0.5倍，同理可得，第三個正方形的邊長比第二個增加0.5倍，即第三個正方形的邊長是（1+）2AB=（1+）2，…

∴ 第n個正方形的邊長是（1+）n-1，

∴ 第2010個正方形的面積是=（1+）20092

=5（）4018，正確選項(xiàng)是D.

評析：對于數(shù)學(xué)選擇題中有關(guān)找規(guī)律問題，驗(yàn)證法是常用的解題方法之一，優(yōu)點(diǎn)是簡潔明了，不必進(jìn)行煩瑣的計算和推理，其缺點(diǎn)是容易造成指數(shù)與項(xiàng)之間關(guān)系的失誤. 對于問題的本質(zhì)不能深刻領(lǐng)會. 本題的解法二，巧妙地將正方形邊長之間的關(guān)系用增長率進(jìn)行描述，從而得到一般規(guī)律，揭示了正方形變化的本質(zhì).

選擇題教學(xué)是初中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容之一，在教學(xué)中只有把握問題本質(zhì)，剖析問題的生成和發(fā)展，科學(xué)、合理地選用解題方法，做到技能與技巧的和諧統(tǒng)一，才能使我們的教學(xué)更為有效.