滲透分類思想 直擊數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)

◎開欄語(yǔ)

“同課異構(gòu)”是指針對(duì)同一教材內(nèi)容，由不同教師設(shè)計(jì)、構(gòu)思，運(yùn)用不同方法和策略進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐與研討，是當(dāng)前教研活動(dòng)的重要形式。然而，人們往往忽視的是教師個(gè)體的“同課異構(gòu)”，也就是教師個(gè)體在不同時(shí)間、不同場(chǎng)合面對(duì)同一個(gè)課題，進(jìn)行多次設(shè)計(jì)、實(shí)踐，從而不斷優(yōu)化課堂教學(xué)結(jié)構(gòu)和效果，提高專業(yè)反思能力。本期刊出的這篇文章，就是一個(gè)教師進(jìn)行“同課異構(gòu)”的實(shí)踐與反思，在一次次改進(jìn)中，逐漸接近教學(xué)知識(shí)的本質(zhì)要求。

從本期開始，《今日教育》將開辟“同課異構(gòu)”欄目，為大家提供一個(gè)展示交流的平臺(tái)。無(wú)論是教師個(gè)體意義上“同課異構(gòu)”的探索，還是集體意義上“同課異構(gòu)”的實(shí)錄、點(diǎn)評(píng)，都?xì)g迎大家踴躍參與。

隨著數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的深入推進(jìn)，滲透數(shù)學(xué)思想的重要性日益凸顯。2011年版《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》就在原來(lái)的“雙基” （基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能）基礎(chǔ)上，明確提出了培養(yǎng)“學(xué)生能獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)”的“四基”要求。本文以《三角形分類》一課為例，對(duì)滲透分類思想進(jìn)行了多次嘗試，引導(dǎo)學(xué)生逐漸逼近數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。

一、嘗試探索，初步理解三角形分類的本質(zhì)

三角形的分類讓學(xué)生不僅要知道分的結(jié)果，還要知道為什么要分，以及怎樣分，并在分的過(guò)程中深入體會(huì)分類思想的本質(zhì)。

【第一次教學(xué)案例回放】

師：請(qǐng)按角給三角形（圖1）分類。

生：我分為三類，①⑤、②④、③⑥。

師：你是怎么想的？

生：因?yàn)棰佗萑齻€(gè)角都是銳角；②④有一個(gè)角是直角；③⑥有一個(gè)角是鈍角。

師：還有不同的分類結(jié)果嗎？

（齊答：沒(méi)有了）

師：我們已經(jīng)將它們分為了三類，能給每一類取個(gè)名字嗎？

生：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的叫銳角三角形；有一個(gè)內(nèi)角是直角的叫做直角三角形；有一個(gè)內(nèi)角是鈍角的叫做鈍角三角形。（表1）

師：你們分的結(jié)果與數(shù)學(xué)家的一模一樣。其實(shí)，關(guān)于三角形的分類數(shù)學(xué)家早已做了研究，你們想知道嗎？

生：想。

師：他們認(rèn)為以有直角作標(biāo)準(zhǔn)可分為兩類：直角三角形和斜三角形；也認(rèn)為可以把有直角的分為一類，有鈍角的分為一類，把三個(gè)角是銳角的分為一類。但為了研究的方便，分為三類。

師：我們還可以用圖2來(lái)表示分類的結(jié)果。這三類三角形是什么關(guān)系呢？

生：是各自獨(dú)立分開的。

師：對(duì)呀，也就是說(shuō)我們已經(jīng)分完了，沒(méi)有重復(fù)也沒(méi)有遺漏。這三種三角形是并列關(guān)系。

【反思】

其實(shí)，三角形按角分類的結(jié)果，很多學(xué)生都已經(jīng)知道，那我們到底要給學(xué)生什么？我在以下三個(gè)方面花了功夫：一是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)分類的結(jié)果解讀，展現(xiàn)思維過(guò)程。當(dāng)學(xué)生說(shuō)出分的結(jié)果后，先通過(guò)追問(wèn)引導(dǎo)學(xué)生說(shuō)清楚分類的依據(jù)，再利用表格梳理出分類的結(jié)果，從而讓學(xué)生明白了“怎樣分類與為什么這樣分類”。二是介紹數(shù)學(xué)家對(duì)于三角形分類的探索，在肯定大家分類的結(jié)果后用問(wèn)題激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲。三是利用韋恩圖表示分類的結(jié)果，體會(huì)科學(xué)分類的原則是不重復(fù)、不遺漏，讓分類思想浸潤(rùn)學(xué)生心田。以上教學(xué)中美中不足的是分類的結(jié)果只有一種，學(xué)生的思維成為了直線型，沒(méi)有明確認(rèn)識(shí)分類標(biāo)準(zhǔn)的重要性。

【第二次教學(xué)案例回放】

學(xué)生對(duì)圖1三角形分類后匯報(bào)。

生1：我分為兩類，①③⑤⑥、②④。因?yàn)棰冖苡幸粋€(gè)角是直角，①③⑤⑥沒(méi)有直角。

生2：我分為三類，①⑤、②④、③⑥。因?yàn)棰佗萑齻€(gè)內(nèi)角都是銳角；②④有一個(gè)內(nèi)角是直角；③⑥有一個(gè)內(nèi)角是鈍角。

師：還有不同的分類結(jié)果嗎？（生齊答：沒(méi)有了）好的，現(xiàn)在比較兩種分類結(jié)果，哪種好？為什么？小組討論一下。

生1：我們這組認(rèn)為第二種好，因?yàn)槊恳活惾切尉哂邢嗤奶卣鳌?/p>

生2：我們這組覺(jué)得第一種也可以，因?yàn)樗前延兄苯堑囊活惙衷谝黄穑瑳](méi)有直角的分為另一類。

師：你們說(shuō)得都有道理。其實(shí)，這兩種結(jié)果都有道理，因?yàn)樗麄兯x取標(biāo)準(zhǔn)不一樣。從這里讓我們明白分類標(biāo)準(zhǔn)太重要了，標(biāo)準(zhǔn)不同結(jié)果卻會(huì)不一樣。

【反思】

在這次教學(xué)中“意外”地出現(xiàn)了兩種不同的分類結(jié)果，是學(xué)生對(duì)于分類標(biāo)準(zhǔn)重要性的深刻解讀。分為兩類的標(biāo)準(zhǔn)是有無(wú)直角，分為三類的標(biāo)準(zhǔn)是每類三角形的本質(zhì)特征。通過(guò)討論明白了因標(biāo)準(zhǔn)不同，分類的結(jié)果不一樣。

二、提升思維，深入理解三角形分類的本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展都有其理由，數(shù)學(xué)家給三角形命名也是有根有據(jù)的。因此，要讓學(xué)生更深入地理解三角形分類的本質(zhì)，就得從命名處著手去思考。

【第一次教學(xué)案例回放】

學(xué)生初步理解三角形分類的原則后，教師出示練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生思考其分類的依據(jù)。

師：選一選，對(duì)號(hào)入座。（圖3）

銳角三角形有（ ），直角三角形有（ ），鈍角三角形有（ ）。

匯報(bào)交流，說(shuō)明理由。

師：如果讓你快速判斷每個(gè)三角形是什么三角形，你有什么好辦法？

生1：我是先看三角形里有沒(méi)有直角，再看有沒(méi)有鈍角。

生2：我是看每個(gè)三角形里最大角。

師：真是太聰明了。判斷一個(gè)三角形是什么三角形，可以直接看最大角，這是多么巧的方法。老師不得不發(fā)出感嘆：一要感嘆數(shù)學(xué)家的智慧，他們?cè)诮o三角形命名時(shí)用了最大角命名法，也讓我們明白數(shù)學(xué)是講道理的；二要感嘆是思考讓我們進(jìn)步了。

【反思】

三角形按角分三類后并命名，那命名的依據(jù)是什么？思考讓我明白：在直角三角形里最大角是直角，在鈍角三角形里最大角是鈍角，那么在銳角三角形里最大角肯定是銳角，高明的數(shù)學(xué)家就是利用三角形里最大角來(lái)命名的。基于此，我設(shè)計(jì)了一道練習(xí)題讓學(xué)生練習(xí)后提出“如果讓你快速判斷每個(gè)三角形是什么三角形，你有什么好辦法”引導(dǎo)學(xué)生的思考，使其思維達(dá)到更高層次，并觸及了三角形分類的本質(zhì)特征。同時(shí)，讓學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)家的大智慧，體會(huì)到了數(shù)學(xué)是講道理的。后來(lái)我又發(fā)現(xiàn)，其實(shí)關(guān)于三角形的命名是采用特征命名法，從名稱上能知道每類三角形的本質(zhì)特征。

【第二次教學(xué)案例回放】

……

師：剛才經(jīng)過(guò)大家的努力，將三角形分為了三類并得出各類三角形的名稱。請(qǐng)大家思考一下，這三類三角形從角的特點(diǎn)上來(lái)看，有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生1：不同點(diǎn)是銳角三角形的最大角是銳角，直角三角形的最大角是直角，鈍角三角形的最大角是鈍角。

生2：相同點(diǎn)是它們至少都有兩個(gè)銳角。

師：同學(xué)們觀察得非常仔細(xì)，很快地找出了它們的異同。請(qǐng)大家再將每類三角形的名稱與它們的不同點(diǎn)對(duì)應(yīng)起來(lái)看，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

生：我們發(fā)現(xiàn)三角形的最大角是什么角，它就是什么角三角形。

師：太精彩了。是呀，高明的數(shù)學(xué)家就是利用三角形里最大內(nèi)角來(lái)給每類三角形命名的，這種命名方法叫做特征命名法，它讓我們一看到它的名稱就能知道它的本質(zhì)特征。其實(shí)數(shù)學(xué)上很多概念都是用特征命名法命名的，如三角形、圓、小數(shù)等。數(shù)學(xué)是講道理的，每個(gè)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展都是有根有據(jù)的。

【反思】

改進(jìn)后的教學(xué)重點(diǎn)是讓學(xué)生充分感受特征命名法在數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用，從而證明數(shù)學(xué)是擺事實(shí)講道理的。教學(xué)中通過(guò)表格將三角形歸類，然后讓學(xué)生找出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，深刻理解了每類三角形的屬性。接著提出問(wèn)題，經(jīng)學(xué)生的觀察與討論，發(fā)現(xiàn)三角形的最大角是什么角，它就是什么角三角形。最后教師一點(diǎn)撥，學(xué)生豁然開朗，原來(lái)數(shù)學(xué)家是利用特征命名法給三角形命名的。因此，學(xué)生開課時(shí)提出的“為什么要給三角形分類”在此得到了圓滿回答“是為了找出每類三角形的本質(zhì)屬性”；“怎樣給三角形分類與分類的結(jié)果如何”在教學(xué)過(guò)程中也找到答案。

通過(guò)這次同課異構(gòu)，我深刻地明白：教學(xué)是一個(gè)不斷發(fā)展變化的過(guò)程，教學(xué)效果沒(méi)有最好，只有更好。只有在認(rèn)真解讀教材、研究學(xué)生之后，反復(fù)改進(jìn)，才能讓我們教學(xué)趨于完美，更重要的是教師的專業(yè)水平在一次次的思考與改進(jìn)中得到提升。

（作者單位：重慶市北碚區(qū)朝陽(yáng)小學(xué)）