含兩個隨機變量的二維幾何概型解析

摘要：幾何概型是高中數學中兩種重要的概率模型之一，在高考命題中占有重要位置。化解二維幾何概型問題的關鍵是找出對應區域的面積，再用幾何概型的概率公式計算。數形結合是解決幾何概型問題的重要策略。

關鍵詞：兩個隨機變量；二維；幾何概型

中圖分類號：G633.6 文獻標志碼：B 文章編號：1674-9324（2012）10-0104-02

幾何概型的特征是試驗結果的無限性和每一個試驗結果出現的等可能性。隨機試驗如果含兩個隨機變量，而且這兩個隨機變量分別在兩個含無限個值的區間范圍內取值，這樣的隨機試驗通常可構造成測度為面積的二維幾何概型。二維幾何概型問題涉及的知識點多，題目靈活多樣，常借助二元一次不等式組找出對應區域的面積，采取“幾何化”手段解決。

一、區間長度內含兩個隨機變量型

此類題目的意思簡單明了，但如何轉化為數學模型來求解是解決此類問題的關鍵。

例1 在區間[-1，1]任取兩個實數，則它們的和不大于1的概率是（ ）。

分析：任取兩數的實驗結果無限多個，基本事件的發生又是等可能的，滿足幾何概型條件。故可設在[-1，1]任取兩個實數為x、y，依題意x+y≤1，找出對應區域，求其面積比即可。

簡評：此問題看似有三個變量，但可以轉化為兩個變量，需注意對應區域面積不包括邊界，但不影響結果解決。

二、兩個變量為會面等待的時間型

此類型題目多以實際問題為背景，解決問題的關鍵是找出①兩個變量各自滿足條件的不等式（組），②兩個變量相互之間滿足所需的條件。

例3 甲、乙兩艘輪船都要停靠同一個泊位卸貨，它們可能在一晝夜的任意時刻到達。已知甲、乙兩艘輪船停靠泊位卸貨的時間分別是4小時和6小時，試求兩艘輪船要靠泊位時有一艘輪船停必須等待一段時間的概率。

例4 假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6點～8點間把報紙送到你家，你父親每天離家出去工作的時間在早上7～9點之間，求你父親離家前不能看到報紙（稱事件A）的概率。

簡評：此問題的難點在于既不容易分辯出屬于幾何概率模型，也難發現隨機事件的構成區域，但仔細研究此類問題后，我們發現可以把兩者的時間看成是平面直角坐標內的點（x，y），從而把時間這個一維長度問題轉化為平面圖形的二維問題。

三、知識交匯型

簡評：本例涉及到二次函數的性質、函數的單調性、不等式組、方程組等知識，綜合性較強。關鍵在于分析出函數f（x）=ax2-bx+1在區間[1，+∞）上是增函數的充要條件，找出對應區域的面積，用幾何概型的概率公式求之。

四、規律總結

根據以上的解法規律，把含兩個隨機變量的二維幾何概型問題的解決方法總結為以下五步：

（1）構設變量。從題意中，分析哪兩個變量是隨機的，設為變量x、y。

（2）列出不等式（組）。依題意得出兩個變量滿足條件的不等式（組）。

（3）作出平面區域。把以上不等式（組）的平面區域作出。

（4）計算區域面積。根據作出的平面區域，計算出對應的區域面積。

（5）面積比值求解。根據幾何概型的公式，求出兩個面積的比值即可。

五、結束語

幾何概型把概率問題與幾何問題串聯起來，解決此類問題，關鍵在于理解題意，尋找變量之間的內在關系，得出變量滿足的不等式（組），然后通過不等式（組）所表示的平面區域，得到所需的有關測度。其中，數形結合是順利解決此類問題的重要思想方法。

參考文獻：

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