用于寬帶頻譜感知的全盲亞奈奎斯特采樣方法

蓋建新 付 平 喬家慶 孟升衛③

①(哈爾濱工業大學自動化測試與控制系 哈爾濱 150080)

②(哈爾濱理工大學測控技術與儀器黑龍江省高校重點實驗室 哈爾濱 150080)

③(中國科學院電子學研究所 北京 100190)

1 引言

認知無線電通過感知周圍頻譜環境自主發現“頻譜空穴”并對其進行有效利用，在解決無線通信中頻譜資源緊張、頻譜利用率低等問題上表現出巨大的優勢。寬帶頻譜感知技術可以在較短的時間內為認知無線電提供更多的頻譜接入機會[1-3]，以壓縮感知(CS)理論[4,5]為基礎的寬帶頻譜感知技術以其采樣率低并可精確重構等特點受到了廣泛關注[6-8]。這些方法以離散化頻譜的稀疏性為前提，實現了基于亞奈奎斯特采樣的寬帶頻譜感知，緩解了采樣率高的壓力。然而，當需要實現較高的頻率分辨率時，由于測量矩陣維數過大，數據處理負擔繁重，導致感知速度較慢；另外，在頻譜重構階段需要確切的稀疏度信息，而稀疏度在實際的頻譜環境中是無法準確預知的。因此找到一種測量矩陣較小，不需要準確稀疏度的亞奈奎斯特采樣方法，是寬帶頻譜感知技術當前急待解決的問題。

近年來出現的調制寬帶轉換器(MWC)采樣方法[9]，不需對頻譜進行離散化，利用低維的測量矩陣即可實現對多帶信號的亞奈奎斯特采樣和精確重構。若采用MWC作為采樣前端可以緩解CS方法的計算負擔。但現有的MWC理論須已知頻帶數量和最大帶寬才能構建MWC系統并進行頻譜重構。實際的無線頻譜中，特定時間內占用的頻帶數量是無法準確預知的，而且由于相鄰信道可能同時被占用，導致最大頻帶寬度也是未知的。針對無線頻譜上述的不可預知性特點，本文將無線電發射信道模型和頻譜多帶模型相結合，對MWC適用的信號模型進行了重新定義，在此基礎上提出了一個不需最大頻帶寬度和確切頻帶數量的重構充分條件。在重構算法方面，將稀疏度自適應匹配追蹤算法進行推廣并應用到頻譜重構中以消除對頻帶數量的依賴性。最終實現了既不需要各頻帶寬度，也不需要準確頻帶數量的寬帶頻譜全盲亞奈奎斯特采樣，數值實驗驗證了該方法的有效性。

2 MWC采樣理論

2.1 采樣原理

MWC是一種多帶信號亞奈奎斯特采樣方法，其具體采樣原理如下。如圖1所示，輸入信號x(t)同時進入m個通道，在第i個通道被周期為Tp(頻率為fp)的偽隨機符號序列pi(t)混頻，混頻后采用截止頻率為1/2Ts的理想低通濾波器h(t)進行濾波，最后通過采樣率fs=1/Ts的ADC獲得m組低速采樣yi(n)。由經典傅里葉分析思想可以推導出第i個通道輸出序列yi(n)的離散時間傅里葉變換(DTFT)與x(t)的傅里葉變換X(f)之間有如下關系：

其中cin表示序列pi(t)傅里葉級數的系數，L0=

圖1 MWC采樣系統框圖

其中Φ是m×L矩陣，Φin=cin且m＜L。若對式(2)兩端同時進行DTFT的逆運算，可得未知序列Ζ(n)與測量值Y(n)之間的線性關系：

其中Y(n)= [y1(n),y2(n),…,ym(n)]T,Z(n)=[z1(n),z2(n),…,zL(n)]T,n∈Z。由于m＜L，式(2)和式(3)均是欠定的，無法通過求逆的方法獲得唯一解?？紤]到多帶信號在頻域的稀疏性，z(f)中只有少量的非零元素，當滿足如下定理給出的充分條件時，式(2)具有唯一的最稀疏解。

定理1[9]設多帶信號x(t)由N個頻帶組成，各頻帶中最大帶寬為B，按照圖1所示的MWC結構進行采樣，如果以下條件成立：

(1)fs≥fp≥B并且fs/fp數值不是很大；

(2)一個周期內序列pi(t)的符號(±1)間隔數M

(3)m≥2N；

(4)矩陣Φ的任意2N列線性無關。

則對于 ?f∈Fs,z(f)是式(2)的唯一的N-稀疏解。

2.2 重構方法

當多帶信號中各個頻帶的位置已知時，聯合支撐集Ω= s upp(Z(n))是確定的，如果矩陣ΦΩ滿足列滿秩則可以通過式(4)從采樣值Y(n)中恢復出Z(n)：

其中ΦΩ表示以Ω中的元素為索引的Φ的列子集，代表矩陣ΦΩ的偽逆矩陣且。當Ω未知時需要將式(2)無限測量向量(IMV)問題[10]變換成與之具有相同支撐的多測量向量(MMV)問題[11]，然后，求解該MMV問題的支撐集Ω，最后按式(4)完成重構。

2.3 利用MWC理論進行寬帶頻譜感知需解決的問題

由定理1可知，構建MWC時，采樣率fs及符號序列的頻率fp選擇的依據是最大頻帶寬度B。而在無線頻譜環境中各個信道是可以相鄰的，由于各信道占用的隨機性，很難預測不相鄰頻帶(每個頻帶可能由一個或多個占用的相鄰信道組成)的最大帶寬。另一方面，信道相鄰導致無法預知特定時間互不相鄰的頻帶數量N，而重構階段需要以頻帶數(稀疏度)作為迭代的停止條件，才能通過貪婪算法(如同步正交匹配追蹤)找到支撐集。針對上述問題，本文對認知頻譜環境中信號模型進行了重新定義，并改進了頻譜重構充分條件。

3 頻譜稀疏信號全盲亞奈奎斯特采樣

3.1 頻譜稀疏信號模型

假設信號x(t)為帶限于F=[-fNYQ/ 2,fNYQ/2]的實值連續時間信號，其中F由彼此相鄰但不重疊的多個無線發射信道組成。如果信號x(t)的頻譜X(f)由若干個帶寬為Bi彼此不相鄰的非零頻帶組成，每個頻帶包含一個或多個相鄰發射信道，且頻帶可以任意地分布在F內，則稱這樣的信號集M為頻譜稀疏信號。圖2給出了M中典型的信號頻譜。

圖2 典型頻譜稀疏信號的頻譜示意圖

3.2 盲譜重構充分條件

頻譜稀疏信號模型弱化了傳統多帶信號模型中最大頻帶寬度B=m ax(Bi)和頻帶數量這兩個參數的作用，將相鄰子頻帶(信道)看成了一個頻帶。為了實現適合上述模型的亞奈奎斯特采樣，本文將聯合稀疏度引入重構條件中。

設參數化向量U(f)對于?f∈Fs支撐集supp(U(f))= {k|Uk(f)≠ 0}，式中Uk表示向量U的第k個元素，則U(Fs)的聯合支撐集可表示為：

改進定理假設x(t)是M中的一個任意信號，采用MWC系統進行采樣。對于式(2)，如果以下條件成立：

(1)fs≥fp，并且fs/fp數值不是很大；

(2)一個周期內pi(t)的符號數

(3)m≥2K，其中；

(4)矩陣Φ的任意2K列線性無關。則z(Fs)是式(2)唯一的K-稀疏解。

證明由式(1)，式(2)可知，z(f)的每個分量都是X(f)的nfp移位、濾波所得到的寬度為fs的頻譜片段，其中fp是每次移位的步進值。若fp≤fs成立，則每次移位的步進足夠小，以至于z(Fs)中的頻譜片段可以覆蓋整個頻譜。因此如果式(2)能夠重構，則從重構的未知向量z(Fs)可以精確地恢復出整個頻譜X(f)及原信號x(t)。

條件(2)是為保證符號序列pi(t)在一個周期內有足夠的偽隨機符號數，進而使所構成的矩陣有較大的Kruskal秩，具體證明參見文獻[9]。

考慮式(2)與式(3)的等價性，只要式(3)具有唯一K-稀疏解，則對應可得到式(2)的K-稀疏解。易知向量組Y(n)所張成的空間的維數dim(span(Y(n)))≤K，因此可以找到空間span(Y(n))的一個框架V(n)，如果用V(n)代替式(3)中Y(n)則V(n)=ΦZ(n)與式(3)的唯一K-稀疏解具有相同的支撐集[10]。依據文獻[12]中定理 2.2，有以下等價命題成立：對于滿足V=ΦZ的聯合K-稀疏的向量Z，如果Φ的任意2K列均線性無關，則Z為此方程唯一的K-稀疏解。于是通過此方程可以求得式(3)的支撐集，進而通過偽逆得到式(3)的唯一K-稀疏解。 證畢

本文所提出的改進定理相當于對定理 1的推廣。定理 1通過要求fp≥B= m ax(Bi)將稀疏度與頻帶數量聯系起來。由上述分析可知該條件不是必要的，當fp＜ m ax(Bi)時在改進定理條件下問題式(2)仍然可以精確重構。可見改進定理的提出使 MWC系統的構建擺脫了最大頻帶寬度的束縛。

3.3 頻譜感知中MWC通道數的確定

本文所提出的改進定理使構建MWC時不再需要頻帶數量和最大頻帶寬度，但需要根據實際頻譜對聯合稀疏度進行估算，進而估計出所需的通道數m。

考慮fs=fp的基本配置情況，設在實際頻譜中第i個頻帶Bi貢獻到向量z(f)的非零元素數量記作I(Bi)。根據MWC采樣的頻域行為并考慮頻帶位置的隨機性可得：所以整個頻譜貢獻到z(f)中的非零元素數即聯合稀疏度滿足如下關系：

應該指出，MWC通道數的確定并不需要準確的稀疏度K，實際中可以根據頻譜監管部門頻譜統計特征確定一個保守的范圍(m≥ 2K)即可。

4 稀疏度自適應重構算法

在頻譜重構的過程中如果不知道準確的稀疏度則容易出現稀疏度過估計或欠估計的問題，導致重構結果具有嚴重誤差[13]。本文在原有MWC重構框架基礎上將CS中的稀疏度自適應匹配追蹤(SAMP)算法引入到了無限測量向量(IMV)問題的求解中，在預先不知道確切稀疏度的前提下實現了支撐集的精確重構。圖3給出了重構的總體框圖。

圖3 盲譜重構支撐集獲取框圖

如圖3所示，重構時首先將IMV問題轉化成具有相同支撐集的MMV問題。為此需先找到Y(n)所張成的空間的一個框架V(n)，具體求解方法如下：計算，并利用奇異值分解原理找到滿足Fm×m=V?VT的矩陣V，則矩陣V即是所求框架[9]。然后將V作為測量值矩陣構建MMV問題。最后使用所提出的SAMP MMV算法求解該MMV問題的支撐集。

4.1 SAMP MMV算法描述

SAMP算法充分利用了“自底向上”和“自頂向下”重構思想的優點，可以在未知稀疏度的前提下實現精確重構[13]。本文把適用于CS的SAMP算法推廣到了MMV問題的求解中，改進了SAMP算法中的初步測試和最終測試思想。改進后，用初步測試找出Φ中與Rk-1最相關的I個列的索引值Sk，最終測試將本次短支撐集Sk與上次最終集Fk-1進行合并形成2I個元素的候選集Ck，然后通過回溯思想從Ck中選出I個最優的向量作為本次迭代的最終集Fk。整個過程分為若干個階段，且每個階段均有若干次迭代，具體流程如表1所示。

4.2 SAMP MMV算法有效性分析

SAMP MMV算法采用回溯的思想使每個階段都具有如下特點，即當前迭代的余項能量總比上一次迭代的余項能量小[13]。步驟 6的階段轉換條件保證了迭代中余項能量的單調遞減性，使算法在每個階段均向收斂的方向發展。當算法執行到階段j時，最終集F的元素數量為js，可選的元素總數為L，因此F最多有種可能形式。如果迭代次數超過，則最終集開始重復，余項能量不再單調遞減，算法轉入下一階段。可見該算法不會在任何階段陷入無限次迭代。當算法執行到第階段時便等效成估計稀疏度為的子空間追蹤算法，其收斂性在文獻[14]中已得到證明，故該算法在有限迭代次數內一定收斂。算法收斂時的稀疏度與真實的稀疏度K近似相等，從而在未知稀疏度的前提下實現了重構。當然重構中算法需經過個階段的嘗試，使計算復雜度略有增加。

表1 SAMP MMV算法流程

5 仿真實驗及結果分析

為了驗證本文方法的有效性，本節設計了 3個仿真實驗：5.1節驗證在定理1條件下SAMP MMV算法的有效性；5.2節在5.1節的基礎上驗證在改進定理條件下SAMP MMV算法的有效性；5.3節結合應用背景考察該方法的重構效果。實驗中頻譜稀疏信號均采用下式產生：

其中En,Bn,fn,τn分別代表所產生的第n個頻帶的能量系數、帶寬、載波頻率和延遲時間，n(t)為高斯白噪聲。為了仿真實際MWC采樣過程，用5倍奈奎斯特率的離散信號來表示連續信號，采用數字乘法和數字濾波運算來仿真模擬乘法器和模擬濾波器的實際處理效果，利用抽取的方法實現濾波后的采樣過程。每個實驗中，以下過程重復500次，將成功次數的百分率作為成功概率。

(1)采樣系統的符號波形pi(t)按均勻分布隨機產生；

(2)各個頻帶的載波頻率fn在區間 [-fNYQ/2,fNYQ/2]內按均勻分布隨機產生；

(3)重構時先將IMV問題轉換成MMV問題，然后采用 OMP(正交匹配追蹤)MMV 算法[12]或SAMP MMV算法來估計支撐集；

需要指出的是，與 SAMP MMV算法不同，OMP MMV算法需要利用稀疏度來控制迭代的次數。因此，涉及到OMP MMV算法時則使用確切稀疏度作為最大迭代次數，盡管該數值在實際中無法準確預知。

5.1 定理1條件下SAMP MMV算法的有效性驗證

本節通過對比SAMP MMV算法和OMP MMV算法重構支撐集的成功率來說明在定理 1條件下即fs≥fp≥ m ax(Bi)時SAMP MMV算法的有效性。不失一般性，本實驗以 4個頻帶的信號為例，具體參數設置如下：En={1,2};Bn= { 40,40}MHz;τn={0.75,1.88} μs ，載波頻率fn隨機地分布在 [-fNYQ/2,fNYQ/2]內,fNYQ= 1 0GHz。采樣參數按照定理1設置：fs=fp=fNYQ/197= 5 0.76MHz;L0=98,L=2L0+1 =1 97;m=50。

圖4分別給出了在不同信噪比條件下，當通道數m在區間[10, 50]內以1為步進變化時兩種算法的重構成功率情況。從圖中可以看出，當m＜20時，在無噪聲情況下，SAMP MMV算法略優于OMP MMV算法，在有噪聲情況下，這種優勢變得不明顯。當m≥20時，隨著信噪比的降低，SAMP MMV算法的重構率優勢趨于明顯，如當m=30，信噪比為30 dB, 15 dB, 5 dB時，該算法的重構率分別比OMP MMV算法提高了1%, 2%, 4%。為了具體地說明重構效果，圖5給出了當m=20,fn={3.53,4.71}GHz，信噪比為15 dB時該算法重構前后信號的時域和頻域形式。如圖所示，時域和頻域的重構結果均較好地再現了原信號的波形與頻譜。上述結果表明，在定理1條件下，SAMP MMV算法可以在不需要稀疏度的情況下實現精確重構，且總體重構率情況與OMP MMV算法相當。

5.2 改進定理條件下SAMP MMV算法的有效性驗證

圖4 定理1條件下算法重構成功率比較

圖5 SAMP MMV算法盲重構時、頻域波形比較

5.1節驗證了在定理1條件下SAMP MMV算法的有效性，那么在改進定理條件下算法是否有效呢？本節針對fs≥fp＜ m ax(Bi)條件下的重構情況進行數值仿真。此時MWC原有重構算法不再適用，因此實驗只觀察SAMP MMV算法的重構率情況。本實驗在 5.1節的基礎上，提高頻帶寬度使Bn={80,80}MHz，信號其它參數及系統采樣參數保持不變。

圖6給出了信噪比為{-5,0,5,30} dB時重構成功率隨采樣通道數目變化的情況?？梢钥闯觯晒χ貥嬎枰耐ǖ罃惦S著信噪比的提高而減少。在信噪比為30 dB時，正如改進定理所述，只要滿足m≥ 2K≈ 2 4則重構成功的概率接近于1。當信噪比降低時，則需要增加MWC的通道數來提高重構的成功率，如信噪比為5 dB, 0 dB, -5 dB時，分別至少需要28, 31, 41個通道。綜上所述，SAMP MMV算法在未知稀疏度的情況下仍然可以實現高概率重構，表明該算法在改進定理條件下是有效的。

5.3 寬帶頻譜感知應用舉例

本節應用全盲亞奈奎斯特采樣方法，對認知無線電頻譜進行感知，考察該方法在頻譜感知應用中的盲重構效果。假設在某一時刻有10個主用戶同時在帶寬Sn= { 6,8,10,20,60,10,15,6,6,80}MHz的10個信道內進行通信，由于某些用戶信道相鄰，一共形成了12個(6對)頻帶，各信道的中心頻率(載波)fn={1,1.007,1.016,2.5,2.54,2.575,3,3.1,3.3,4.58} GHz，信號的能量系數En= { 4,4,4,2,2,2,4,3,4,4}，環境噪聲為加性高斯白噪聲，將整個頻帶的信噪比設置在10 dB，圖7(a)所示為其奈奎斯特采樣率下頻譜形式。

圖6 改進定理條件下不同信噪比時盲重構成功率情況

采用的MWC參數配置如下：fs=fp=fNYQ/197=50.76MHz;L0=98,L=2L0+1 =1 97;m=50。

圖7(b)給出了盲重構的頻譜結果。從圖中可以看出，盡管原信號中的最大頻帶寬度(80 MHz)超過了fp，在改進定理條件下，SAMP MMV算法在未知稀疏度的前提下仍然實現了較好的重構。由于重構算法只對找出的支撐集所對應的分量進行了恢復，而其它分量強制為零，因此在恢復的頻譜中消除了大量噪聲。此外，由于該算法具有稀疏度自適應的特點能夠較好地克服過匹配問題，因而在恢復的頻譜中只存在較少的雜波，達到了較好的恢復效果。

圖7 寬帶頻譜感知應用實例

需要說明的是，為了直觀地說明本文所提出的采樣方法的重構性能，本節才恢復了完整的頻譜。當該采樣方法應用于寬帶頻譜感知時，只需重構出支撐集及其對應的低速采樣值，然后根據其能量就可以進一步判斷出各個頻帶是否真正存在主用戶，而無需恢復出完整的頻譜。限于篇幅，將在其他文章中繼續研究。

6 結論

本文通過改進 MWC重構理論并引入 SAMP MMV重構算法，提出了一種可用于寬帶頻譜感知的全盲亞奈奎斯特采樣方法。所提出的MWC重構充分條件消除了信號最大頻帶寬度對采樣的約束。所提出的SAMP MMV算法在重構中可以不需要確切的稀疏度信息。實驗結果表明，在未知稀疏度的前提下，該算法的性能與已知確切稀疏度時的OMP MMV算法相當，可以較好地實現盲譜重構。本文所提出的全盲亞奈奎斯特采樣方法為寬帶內多信道快速頻譜感知提供了一種有效途徑。

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