三次函數在高考中的應用
2012-04-29 00:44:03姜莉
考試周刊 2012年74期
姜莉
近年來，高考中有關導數知識的題目，很多是以三次函數為載體來考查導數知識應用的.從這些題目來看，考查的切入點大多還是以導數的幾何意義、極值、最值、單調性等，通過不等式，恒成立等問題的形式，進一步考查數形結合、分類討論等數學思想.三次函數的導數為二次函數，考查導函數的性質（單調性、單調區間、極值、最值等），要注意結合一元二次方程、二次函數、二次不等式等有關的知識點（如方程根的分布、不等式恒成立等），培養學生的代數推理能力、語言轉換能力.大致有以下幾類.
一、與其他章節知識的綜合運用
全國卷Ⅰ理的2009卷的第22題可視作對三次函數考查的一大亮點.因為此題首次將導數和線性規劃有機地結合起來，一改以往單純利用極值、最值、單調性考查不等式相關知識和分類討論、化歸等數學思想的老面孔，給人耳目一新的感覺.
例1（2009全國卷Ⅰ理）設函數f（x）=x+3bx+3cx有兩個極值點x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].
（I）求b、c滿足的約束條件，并在下面的坐標平面內，畫出滿足這些條件的點（b，c）的區域；
（Ⅱ）證明：-10≤f（x）≤-.
分析：（I）這一問主要考查了二次函數根的分布及線性規劃作可行域的能力.（Ⅱ）這一問考生不易得分，有一定的區分度.主要原因是含字母較多，不易找到突破口.此題主要利用消元的手段，消去目標f（x）=x+3bx+3cx中的b，（如果消c會較煩瑣）再利用x的范圍，并借助（I）中的約束條件得c∈[-2，0]進而求解，有較強的技巧性.
解：（I）f′（x）=3x+6bx+3c由題意知方程f′（x）=0有兩個根x、x，且x∈[-1，0]，x∈[1，2].則有f′（-1）≥0，f′（0）≤0，f′（1）≤0，f′（2）≥0，故有2b-c-1≤0c≤02b+c+1≤04b+c+4≥0，右圖中陰影部分即是滿足這些條件的點（b，c）的區域.
（Ⅱ）由題意有f′（x）=3x+6bx+3c=0①
又f（x）=x+3bx+3cx②
消去b可得f（x）=-x+x.
又∵x∈[1，2]，且c∈[-2，0]，∴-10≤f（x）≤-.
二、含參數的三次函數極值問題，考查不等式技能及分類討論思想
探討含參數函數的性質，主要是考查分類討論的數學思想，在分類討論的過程中，關鍵是如何確定分類討論的標準.這與方程f′（x）=0根的具體情況有關，根的個數決定了極大、極小值是否同時存在，還是只存在一個.所以本質上是對根進行分類討論.
例2（2009山東卷文）已知函數f（x）=ax+bx+x+3，其中a≠0，
（1）當a，b滿足什么條件時，f（x）取得極值？
（2）已知a>0，且f（x）在區間（0，1]上單調遞增，試用a表示出b的取值范圍.
分析：本題為三次函數，利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值，函數在區間上為單調函數，則導函數在該區間上的符號確定，從而轉為不等式恒成立，再轉為函數研究最值.運用函數與方程的思想、化歸思想和分類討論的思想解答問題.
解：（1）由已知得f′（x）=ax+2bx+1，令f′（x）=0，得ax+2bx+1=0，f（x）要取得極值，方程ax+2bx+1=0必須有解，所以△=4b-4a>0，即b>a，此時方程ax+2bx+1=0的根為：
x==，x==，
所以f′（x）=a（x-x）（x-x）.
當a>0時，
所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.
當a<0時，
所以f（x）在x，x處分別取得極大值和極小值.
綜上，當a，b滿足b>a時，f（x）取得極值.
（2）要使f（x）在區間（0，1]上單調遞增，需使f′（x）=ax+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立.
即b≥--，x∈[0，1]恒成立，所以b≥（--）.
設g（x）=--，g′（x）=-+=，令g′（x）=0得x=或x=-（舍去），
當a>1時，0<<1，當x∈（0，）時，g′（x）>0，g（x）=--為單調增函數；當x∈（，1]時，g′（x）<0，g（x）=--為單調減函數，所以當x=時，g（x）取得最大，最大值為g（）=-.所以b≥-.
當0 綜上，當a>1時，b≥-；當0 三、考查導數的幾何意義 導數f′（x）的幾何意義是曲線y=f（x）上點（x，f（x））處切線的斜率.利用導數的幾何意義求曲線上一點處切線斜率是解決曲線的許多有關切線問題的基本方法，在求曲線的切線時，一定要注意判斷題目條件給出的點究竟是不是曲線上的點. 例3（2009江蘇卷）在平面直角坐標系xoy中，點P在曲線C：y=x-10x+3上，且在第二象限內，已知曲線C在點P處的切線的斜率為2，則點P的坐標為. 解：考查導數的幾何意義和計算能力. y′=3x-10=2？圯x=±2，又點P在第二象限內，點P的坐標為（-2，15）. 評析：在高考中對導數幾何意義的考查這一類題目屬于簡單題，因此基本上為填空、選擇題的題型.但是在大多數省份的高考試卷中是必考題，真可謂是高考中的常青樹. 四、恒成立問題 如果要證明f（x） 例4（2011江蘇卷19）已知a，b是實數，函數f（x）=x+ax，g（x）=x+bx，f′（x）和g′（x）分別是f（x），g（x）的導函數，若f′（x）g′（x）≥0在區間I上恒成立，則稱f（x）和g（x）在區間I上單調性一致. （1）設a>0，若函數f（x）和g（x）在區間[-1，+∞）上單調性一致，求實數b的取值范圍； （2）設a<0且a≠b，若函數f（x）和g（x）在以a，b為端點的開區間上單調性一致，求|a-b|的最大值. 分析：本題為三次函數，利用求導的方法研究函數的極值、單調性和函數的最值，函數在區間上為單調函數，則導函數在該區間上的符號確定，從而轉為不等式恒成立，再轉為函數研究最值.運用函數與方程的思想、化歸思想和分類討論的思想解答問題. 解：由已知，f′（x）=3x+a，g′（x）=2x+b，a，b∈R. （1）由題設“單調性一致”定義知，f′（x）g′（x）≥0在區間[-1，+∞）上恒成立， 即，（3x+a）（2x+b）≥0在區間[-1，+∞）上恒成立， 因為a>0，所以3x+a>0，所以2x+b≥0在區間[-1，+∞）上恒成立， 即，b≥-2x在區間[-1，+∞）上恒成立，而y=-2x在[-1，+∞）上有最大值y=-2（-1）=2， 所以，b≥2，即b∈[2，+∞）. （2）由“單調性一致”定義知，f′（x）g′（x）≥0在以a，b為端點的開區間上恒成立， 即，（3x+a）（2x+b）≥0在以a，b為端點的開區間上恒成立. 因為a<0，所以，由（3x+a）（2x+b）=0，得x=-，x=，x=-. ①若b>0，則開區間為（a，b），取x=0，由f′（0）g′（0）=ab<0知，f（x）和g（x）在區間（a，b）上單調性不一致，不符合題設； ②若b≤0，因x，x均為非負，故不在以a，b為端點的開區間內，所以，只有x在區間上. 由f′（x）g′（x）≥0在以a，b為端點的區間上恒成立，知x=-要么不小于a，b中的大者，要么不大于a，b中的小者. 因為a，b都不大于0，所以（2x+b）≤0，由f′（x）g′（x）≥0知（3x+a）≤0，所以-≤x≤0. 當0>a>b≥-時，由f′（x）g′（x）≥0在區間（b，a）上恒成立，即（3x+a）（2x+b）≥0在區間（b，a）上恒成立，知|a-b|最大值為|a+|，而由a>-解得a>-. 此時，|a+|=|-（）+|，配方后知，取不到最大值. 當0≥b>a≥-時，顯然，此時，當b=0，a=-，即b=0，a=-時，|a-b|取得最大值|0-（-）|=； 綜上，|a-b|的最大值為. 針對上述考點，我們對三次函數的基礎知識應有清晰的理解，對以下四個問題一定要理解透徹： （1）確定函數單調區間的基本步驟； （2）三次函數的導數由于是二次函數，則它的單調區間一般有幾段？具體如何確定？ （3）三次函數是否一定有極大值和極小值？ （4）三次函數的極值和最值有什么聯系和區別？ 不妨設函數f（x）=ax+bx+cx+d（ab≠0），f′（x）=3ax+2bx+c， （1）討論可導函數的單調性可按如下步驟進行： ①確定f（x）的定義域； ②求f′（x），令f′（x）=0，解方程求分界點； ③用分界點將定義域分成若干個開區間； ④判斷f′（x）在每個開區間內的符號，即可確定f（x）的單調性. （2）方程f′（x）=0，若判別式Δ>0，設不同的兩個根為x，x（x ①當a>0時，（-∞，x）和（x，+∞）是函數的單調增區間，（x，x）是函數的單調減區間；當x=x時，函數取得極大值，當x=x時，函數取得極小值. ②當a<0時，（-∞，x）和（x，+∞）是函數的單調減區間，（x，x）是函數的單調增區間；當x=x時，函數取得極小值，當x=x時，函數取得極大值. （3）方程f′（x）=0，若判別式Δ=0，方程的兩個實根相等，設根為x，則： ①當a>0時，（-∞，x）和（x，+∞）（或者實數集R）是函數的單調增區間，函數沒有極值； ②當a<0時，（-∞，x）和（x，+∞）（或者實數集R）是函數的單調減區間，函數沒有極值. （4）三次函數的極值不一定是最值，只有給出函數的定義域[a，b]，通過確定函數在區間[a，b]上的單調性和極值，用極值和端點值比較，較大的是最大值，較小的是最小值. 三次函數的導數是二次函數，所以我們對一元二次函數和一元二次方程的相關基礎知識要能熟練掌握，比如：一元二次函數的對稱性，函數單調性與對稱軸的關系，函數值的分布與對應方程的根的關系，一元二次方程的韋達定理，滿足根的各種分布情況的條件等.
