構造思維在“最小公倍數”的教學中的應用

摘要：在最小公倍數的教學中，不僅要讓學生理解最小公倍數的概念，學會最小公倍數的求法，關鍵的是要讓學生能用所學的知識去解決相關的實際問題。相關的實際問題都會轉移到“構造一個與最小公倍數有一定聯系的數”的問題上來，不失時機地引導學生利用構造性思維，將是解決這些問題的關鍵.

關鍵詞：構造思維；最小公倍數；教學；應用

在最小公倍數的教學中，不僅要讓學生理解最小公倍數的概念，學會最小公倍數的求法，關鍵的是要讓學生能用所學的知識去解決相關的實際問題。在相關問題的解決中，構造思維發揮著極其重要的作用。

有一道關于最小公倍數的經典趣題，其大意是這樣：相傳有一位阿拉伯商人，臨終前立下遺囑，要把他一生掙下的十七匹馬分給他的三個兒子。三個兒子在他們的父親去世后分遺產時卻犯了愁，遺囑中規定：大兒子分得的馬為總數的1/2，二兒子分得的馬為總數的1/3，小兒子分得的馬為總數的1/9，但是不允許把馬殺死來分。三個兒子怎么也分不出整數匹馬來，后來一位智者幫他們分好了。智者是這樣做的：牽來自己的1匹馬，加上商人留下的17匹總共就是18匹，其中大兒子分得的馬為總數的1/2即9匹，二兒子分得的馬為總數的1/3即6匹，小兒子分得的馬為總數的1/9即3匹，最后還剩1匹馬，智者牽回自己的那匹馬，就這樣巧妙地把馬分完了。

對此問題的解決，學生會有這樣的疑惑：阿拉伯商人的三個兒子實際分到的都比遺囑中規定的似乎多了一點點，即大兒子多分了9/17-1/2=1/34，二兒子多分了6/17-1/3=1/54，小兒子多分了2/17-1/9=1/153，但智者最后牽走了自己的馬，馬的總數并沒有增加，這是哪兒多出來的呢？學生可能一是不會明白。此時可以引導學生從另一個角度去看：這位阿拉伯商人在遺囑中總共處理了自己遺產的1/2、1/3和1/9，即1/2+1/3+1/9=17/18，也就是說阿拉伯商人還有1/18的財產未處理完，他們多分到的其實就是這未處理完的財產的1/18，智者構造了一個能同時被2、6和9整除的數18。

在最小公倍數的教學中，智者的這種構造思維模式是很有價值的。在練習中，可以通過一些題目設計來培養學生的構造思維。下面看看一些造思維的運用舉例。

* 一箱蘋果有若干個，如果平均分裝成若干袋，每袋4個，剩下3個，每袋5個，剩下3個，每袋6個，還是剩下3個。問：這箱蘋果至少有多少個？

解：通過觀察可知，如果拿掉3個，剩下的蘋果每袋裝4個，每袋裝5個，每袋裝6個都恰好裝完，即剩下的蘋果數恰好能同時被4、5、6整除，于是問題轉換成“求4、5、6的最小公倍數加上3是多少”。顯然，4、5、6的最小公倍數為60，加上3等于63。即這箱蘋果至少有63個。

* 一個數除以7余數是3，除以8余數是2，這個數最小是多少？

解：設這個數為X，則有，

X÷7=？…3

X÷8=？…2

通過觀察聯想7+3=10，8+2=10觀察可知：這個數除以7，如果商比實際的商少1的話余數是10，同理，除以8，上比實際小１時，余數也是10。即這個數除以8余10，除以8也余10。于是問題轉換成：求7和8的最小公倍數加上10是多少？7和8的最小公倍數為56，加上10等于66。顯然，這個數最小是66。

* 一包糖果有若干顆，為了方便銷售，需要分裝成若干盒，如果每盒8顆，最后一盒差4顆，如果每盒9顆，最后一盒還是差4顆。問：這包糖果至少有多少顆？

解析：通過觀察可以看出，如果拿4顆添上的話，不管每一盒裝8顆還是9顆，都恰好裝完。也就是說這包糖果添上4顆后就能被8或9整除，即糖果總顆數加上4就是8和9的公倍數。至少有多少顆就是8和9的最小公倍數減去4，即72減去4等于68。

* 一個數除以6余4，除以5余3，這個數最小是多少？

解：設這個數為X，則有，

X÷6=？…4

X÷5=？…3

通過觀察聯想4+2=6，3+2=5觀察可知：這個數如果加上2 以后，恰好能同時被5和6整除，于是問題轉換成：求5和6的最小公倍數減去2是多少？顯然， 5和6的最小公倍數為30，減去2等于28。即這個數最小是28。

在進行最小公倍數的教學時，相關的問題都會轉移到“構造一個與最小公倍數有一定聯系的數”的問題上來。因此，在進行最小公倍數的教學時，不失時機地引導學生利用構造性思維，將是解決這些問題的關鍵。

（作者簡介：劉飛（1984.6-），女，貴州大方人，大方縣牛場鄉牛場小學一級教師，主要從事小學教育教學、研究與管理工作。）