復合函數求導方法教學教法探討

【摘要】本文就復合函數求導的教學教法進行探討，首先通過復習基本初等函數求導公式和復合函數的概念，然后通過一個引例啟發思維，引入復合函數求導法則，接著對該法則進行證明和舉例運用，并總結復合函數求導法則的關鍵是：分清復合函數的函數層次結構，由外向內逐層求導。

【關鍵詞】復合函數 求導方法 教學教法

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）07-0099-01

復合函數求導方法是一種重要的函數求導方法，也是微積分學里的重要內容，它是繼學習了導數的四則運算和一些基本的初等函數的導數公式后學習的重點，也是學習后續的微分和積分的基礎。復合函數的求導方法既是導數學習的重點，也是學習難點。本文就結合多年的教學經驗，對復合函數的求導方法的教學教法進行探討。

在進行新課學習之前，可以先對復合函數求導方法中需要用到的兩個知識點加以復習，第一點是基本初等函數的導數公式，第二點是復合函數的概念，即設y=f(u)，其中，u=φ(x)，且φ(x)的值全部或部分落在f(u)的定義域內，則稱y=f[φ(x)]為x的復合函數，而u為中間變量，例如y=(2x+1)2，y=sinx2都是復合函數。初等函數是高等數學的研究對象，它由基本初等函數經過有限次四則運算及有限次復合步驟所構成，且可用一個解析式表示的函數。因此，復合函數的求導法則是求初等函數的導數不可缺少的工具。

在具體的教學過程中，可以通過一個具體的引例，讓學生對復合函數求導法則有一個初步的、直觀的了解。

引例 求函數y=(2x+3)2的導數。

方法一y′x=[(2x+3)2]′=(4x2+12x+9)′=8x+12

方法二將復合函數y=(2x+3)2看作由基本初等函數y=u2和函數u=2x+3復合而成，分別求出其對應函數的導數，即y′u=(u2)′=2u， u′x=(2x+3)′=2，將兩個導數相乘，即y′u·u′x=2u·2=2(2x+3)·2=8x+12，從而得到y′x=y′u·u′x的結論，該結論并不是偶然，對于一般的復合函數而言，該結論也成立，然后就引入復合函數的求導法則，加以證明和運用。

1.復合函數的求導法則

如果函數u=φ(x)在點x處可導，而函數y=f(u)在對應點u=φ(x)處也可導，則復合函數y=f[φ(x)]在點x處可導，且有y′x=y′u ·u′x或f′x[φ(x)]=f′(u)φ′(x)。

證明：設自變量x有增量△x，相應的變量u有增量△u，從而變量y有增量△y，由于u=φ(x)可導，所以△x→0時，△u→0，于是，當△u≠0時，

■■=■■·■=■■·■■=■■·■■=y′u·u′x，即y′x=y′u·u′x （當△u=0時，也成立），該公式表明，復合函數對自變量的導數，等于已知函數對中間變量的導數，乘以中間變量對自變量的導數。

2.復合函數求導方法基本步驟

根據公式y′x=y′u·u′x，復合函數的求導方法的基本步驟可以分為：（1）將復合函數分解為若干個簡單函數；（2）對簡單函數進行求導；（3）將簡單函數的求導結果相乘；（4）將中間變量函數回代、整理，即“分解——求導——相乘——回代”。

3.復合函數求導方法舉例

例1 求函數y=(3x+1)6的導數。

解： 設y=u6，u=3x+1，則y′u=(u6)′=6u5， u′x=(3x+1)′=3，所以y′x=y′u·u′x=(u6)′·(3x+1)′=6u5·3=6(3x+1)5·3=18(3x+1)5.

例2 求函數y=cosex的導數。

解： 設y=cosu，u=ex，則y′u=(cosu)′=-sinu，u′x=(ex)′=ex，所以y′x=y′u·u′x=(cosu)′·(ex)′=-sinu·ex=-sinex·ex=-exsinex.

從以上例子可以看出，求復合函數的導數關鍵在于能夠把復合函數分解為若干簡單的函數。在熟練以后，中間可以不必寫出來，而直接寫出函數對于中間變量求導的結果，即分清復合函數的函數層次結構，由外向內逐層求導。

例3 求函數y=sinx3的導數。

解： 首先分清復合函數y=sinx3的函數層次結構，該函數由外向內的函數層次依次為sin()，()3，其中()內為中間變量函數，所以由外向內逐層求導可得y′=(sinx3)′=cosx3·(x3)′=cosx3·3x2=3x2cosx3。

例4 求函數y=ln tan■的導數。

解： 首先分清復合函數y=ln tan■的函數層次結構，該函數由外向內的函數層次依次為ln()，tan()，■，其中()內為中間變量函數，所以由外向內逐層求導可得

y′=(ln tan■)′=■·(tan■)′=■·sex2■·(■)′=■·sex2■·■=■·■·■=■=■.

從以上例子可以看出，復合函數求導方法的關鍵是分清復合函數的函數層次結構，由外向內逐層求導。最后需要說明的是，當一個初等函數的構成是既有四則運算，又有復合函數，要求出它的導數就需要綜合運用到四則運算求導法則和復合函數求導法則進行求導。

例5 求函數y=exsin(2x+1)2的導數。

解： 首先分清函數y=exsin(2x+1)2的層次結構，該函數由函數ex和復合函數sin(2x+1)2相乘而成，因此求該函數的導數，應先使用乘積運算的求導法則，在求復合函數sin(2x+1)2的時候又利用復合函數求導法則進行求導，所以有

y′=[exsin(2x+1)2]′=(ex)·sin(2x+1)2+ex·[sin(2x+1)2]′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·[(2x+1)2]′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·(2x+1)′

=exsin(2x+1)2+ex·cos(2x+1)2·2(2x+1)·2

=exsin(2x+1)2+4ex(2x+1)cos(2x+1)2

參考文獻：

[1]李海英.淺談復合函數的求導方法.數學學習與研究.2011（23）.

[2]盛光進.高等數學[M].長沙.湖南教育出版社.2007.

作者簡介：

農建誠，男，出生于1979年3月，廣西德保人，大學本科學歷，助教，現任教于廣西現代職業技術學院，主要研究方向：數學教育及應用數學。