探析初中幾何問題的解題方法及要領

吳蕾

隨著教育與課程的不斷改革，初中數學中的幾何教學課程也發生了很大變化. 新課程將初中幾何內容大致分為了圖形認識、圖形與變換、圖形與坐標、圖形與證明四大模板. 從研究方式上，也可將其分為實驗幾何與論證幾何. 《數學課程標準》中指出，在幾何問題的教學中，應幫助學生建立空間觀念，培養學生的幾何邏輯推理能力. 那么如何更好的落實新課程目標，培養學生的邏輯推理能力呢？筆者結合實踐經驗，對于論證幾何教學進行了深入的思考，總結了一些論證幾何教學的基本策略.

一、將文字語言轉化為符號語言

幾何教學中存在著不同形式的語言，大致有圖形語言、文字語言和符號語言三種. 教師在教學過程中，首先要讓學生理解掌握這三種不同的語言，繼而還需培養學生將這三種語言相互間進行轉化的能力. 不同語言在幾何內容的學習中發揮著不同的作用. 圖形語言一般較為直觀，能夠形象地向學生展示問題；而文字語言則是概括和抽象的，重點是對于圖形或圖形本身中蘊含的深層關系予以準確的描述，對幾何的定義、定理、題目等予以精確的表述；符號語言則是對于語言文字的再次抽象，它具有簡化作用，有更深的抽象性，也是最難掌握的一種，是邏輯推理必備的能力基礎所在. 初中階段的學習需要循序漸進，由簡單推理再到符號表示進行推理. 教師在教學過程中應有意識地引導學生將文字語言轉化為符號語言，培養學生將文字語言轉化為特定符號的意識，訓練學生轉化的能力，從而為論證幾何的學習打下良好的基礎. 二、將題目所含條件轉化為圖形

幾何題目中，用各種不同符號把已知條件通過圖形直觀的表達出來，對于處理較復雜的幾何問題有很大的幫助. 學生中普遍存在“看圖忘條件”的現象，無法將題目與圖形有機結合起來，教師需要培養學生畫圖的意識，這樣方便將題目中的條件直觀清晰地呈現出來，實現條件與圖形的有機融合，幫助學生理清做題思路.

例1 已知點Ｅ，Ｆ在ＢＣ上，ＢＥ ＝ ＣＦ，ＡＢ ＝ ＤＣ，∠Ｂ ＝ ∠Ｃ. 求證：∠Ａ ＝ ∠Ｄ.

分析 如圖1，將已知條件通過畫圖展現出來，這樣可以將已知條件在圖形中得以直觀的表現，對于學生也是一種暗示和提醒，利于問題的有效解答.

三、培養綜合解決問題的能力

綜合化解決問題，即指導學生在分析問題時從已知條件出發，從結論入手，結合圖形進行解答. 綜合分析法是幾何題目解題中通常會用到的邏輯思維方法. 其特點在于從已知推可知，逐步再推出未知，從未知看需知，逐步靠近已知. 在較為復雜的問題當中，需要良好地運用綜合分析法，從已知出發，從結論入手，形成完整的體系，尋求最后解決問題的接洽點所在，進而達到解決問題的目的.

例２ 如圖2，分別以△ＡＢＣ的邊ＡＢ，ＡＣ為直角邊向△ＡＢＣ外部作等腰直角三角形ＢＤＡ和等腰直角三角形ＣＥＡ，點Ｐ，Ｍ，Ｎ分別為ＢＣ，ＢＤ，ＥＣ的中點. 求證：ＰＭ ＝ ＰＮ.

分析 若從已知條件出發，“△ＢＤＡ和△ＣＥＡ是等腰直角三角形”，即可輕易的推出結論，ＡＢ ＝ ＡＤ，ＡＣ ＝ ＡＥ，再根據做題思路，即可得出△ＡＤＣ ≌ △ＡＢＥ，從而可以得到△ＡＤＣ和△ＡＢＥ的對應邊相等、對應角相等. 若從結論“ＰＭ ＝ ＰＮ”入手，從未知看需知. 則思路可以如下：已知ＰＭ和ＰＮ分別是△ＢＤＣ和△ＣＢＥ的中位線，所以只需證ＣＤ ＝ ＢＥ. 從已知條件出發我們可以得到ＣＤ ＝ ＢＥ，從結論入手我們需要ＣＤ ＝ ＢＥ，這樣相當于我們找到了題目的接洽點所在，問題也就迎刃而解了.

綜合分析法不僅幫助學生高效率地解答幾何題目，從而幫助學生掌握基本的數學思維，利于學生綜合思維能力的培養，提高學生解決問題的能力和水平.

四、靈活進行圖形變換

新課程中的初中數學增添了圖形變換的內容，如平移、旋轉、軸對稱等. 靈活進行圖形變換即是將圖形變換作為一種解題思路方法，通過圖形變換為學生解決幾何問題打開一扇窗.

例３ 如圖3，正方形ＡＢＣＤ中，Ｅ在ＢＣ邊上移動，∠ＥＡＦ ＝ ４５°，ＡＦ交ＣＤ于Ｆ，連接ＥＦ. 求證：ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ.

分析 這道題目需要增添輔助線來助于解答，因此對于大部分學生來說是比較難的. 增添輔助線是幾何教學中的重要內容，該題中要證ＥＦ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ，就需要將分散的線段ＢＥ，ＤＦ集中起來，若運用旋轉變換法，將△ＡＤＦ繞點Ａ順時針旋轉９０°，如圖4，即可將ＢＥ和ＤＦ轉到同一直線上，得到線段ＢＥ與ＤＦ的和，繼而可將三條線段ＥＦ，ＢＥ，ＤＦ構造到一對全等三角形中. 這樣就輕易地得到了輔助線法證明思路：延長ＣＢ到Ｍ，使ＢＭ ＝ ＤＦ，連接ＡＭ，如圖5，得到ＭＥ ＝ ＢＥ ＋ ＤＦ，這時只需要證明△ＡＥＭ ≌ △ＡＥＦ就可解決問題了.

教師在幾何教學中，需要有意識地教導學生圖形變換的方法，讓學生掌握好平移、旋轉和軸對稱等相關知識，并能夠運用這些知識探索解題思路、發現解題方法. 同時，這樣利于學生的空間想象力的培養.

以上是筆者關于論證幾何問題中提出的一些做題思路和方法. 總而言之，論證幾何教學是幾何教學內容的核心，是重點也是難點，需要對其進行研究和思考，發掘有效的教學策略，提高論證幾何教學的效率，重視培養學生的邏輯思維能力和綜合思考能力.