巧變形,快求解

程軍

“三角形的內(nèi)角和等于１８０°”，“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，掌握三角形外角及內(nèi)角和公式是解決有關(guān)三角形問(wèn)題的關(guān)鍵，而要快捷且正確地解答三角形中有關(guān)角的求解與證明，就必須熟練地進(jìn)行有關(guān)變形. 現(xiàn)舉例如下.

例１ △ＡＢＣ中，若∠Ａ － ２∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ０°，則∠Ｂ的度數(shù)是 （ ）.

Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． ６０° Ｄ． ７５°

解 在△ＡＢＣ中，有∠Ａ＋∠Ｂ＋∠Ｃ ＝ １８０°，可適當(dāng)變形為∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０° － ∠Ｂ，而條件∠Ａ － ２∠Ｂ ＋ ∠Ｃ ＝ ０°，也可變形為∠Ａ ＋ ∠Ｃ ＝ ２∠Ｂ，所以可知１８０° － ∠Ｂ ＝ ２∠Ｂ，解此方程即可得到∠Ｂ ＝ ６０°.

例２ 如圖1，△ＡＢＣ中，點(diǎn)Ｄ為邊ＡＣ上的一點(diǎn)，∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，求證：∠DBC = .

解 在△ＡＢＣ中，有∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ｃ ＝ １８０°……①，

在△ＡＢＤ中，有∠Ａ ＋ ∠ＡＢＤ ＋ ∠ＡＤＢ ＝ １８０°……②，

已知∠ＡＢＤ ＝ ∠ＡＤＢ，

可將②式變形為∠Ａ ＋ ２∠ＡＤＢ ＝ １８０°……③，

又因?yàn)椤希粒模?是△ＢＣＤ的一個(gè)外角，

所以∠ＡＤＢ ＝ ∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ ，代入③式，②式最終變形為∠Ａ ＋ ２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） ＝ １８０°……④，

用④ － ①，可得２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） － ∠ＡＢＣ － ∠Ｃ ＝ ０°，

即２（∠Ｃ ＋ ∠ＤＢＣ） ＝ ∠ＡＢＣ ＋ ∠Ｃ，整理后，即得

∠DBC = .

例3 已知△ＡＢＣ，（1）如圖2，若Ｐ點(diǎn)是∠ＡＢＣ和∠ＡＣＢ的角平分線的交點(diǎn)，則∠P = 90° + ∠A；

（2）如圖2，若Ｐ點(diǎn)是∠ＡＢＣ和外角∠ＡＣＥ的角平分線的交點(diǎn)，則∠Ｐ ＝ ９０° － ∠Ａ；

（3）如圖3，若Ｐ點(diǎn)是外角∠ＣＢＦ和∠ＢＣＥ的角平分線的交點(diǎn)，則∠P = 90° - ∠A.上述說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是 （ ）.

Ａ． ０Ｂ． １Ｃ． ２Ｄ． ３

解 （1）在△ＢＰＣ中，∠Ｐ ＝ １８０° － ∠ＰＢＣ － ∠ＰＣＢ（三角形內(nèi)角和），而∠PBC = ∠ABC，∠PCB = ∠ＡＣＢ，

所以∠P = 180° - （∠ABC + ∠ＡＣＢ），

而在△ABC中，有∠A + ∠ABC+∠ACB = 180°，

適當(dāng)變形為∠A＋ ∠ＡＢＣ ＋ ∠AＣＢ ＝ ９０°，

得到∠ABC ＋ ∠ＡＣB = 90° - ∠A，

所以∠P = 180° - （∠ＡBＣ + ∠ACB） =

18０° － （９０° － ∠Ａ） ＝ ９０° ＋ ∠Ａ．

（２）在ＡＢＰＣ構(gòu)成的“８字型”中，存在這樣的關(guān)系：∠Ａ ＋ ∠ＡＢＰ ＝ ∠Ｐ ＋ ∠ＰＣＡ……①，

∠ABP = ∠ABC（BP為角平分線）……②，

∠PCA = ∠ACE（PC為角平分線），

而∠ACE = ∠A + ∠ABC（∠ＡＣＥ為外角），

所以∠ＰＣＡ ＝ （∠Ａ ＋ ∠ＡＢＣ）……③，

將②和③代入①，即得

∠A + ∠ABC = ∠P + （∠A +∠ABC），

整理，得∠P = ∠A.

（3）在△ＢＰＣ中，由三角形內(nèi)角和知，

∠Ｐ ＋ ∠ＰＢＣ ＋ ∠ＰＣＢ ＝ １８０°……①，

由（2）的解題過(guò)程知，

∠ＣＢＦ ＝ ∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ（∠ＣＢＦ為外角），

∠BCE = ∠A+∠ABC（∠BCE為外角），

∠ＰＢＣ ＝ ∠ＣＢＦ（ＢＰ為角平分線） ＝

（∠Ａ ＋ ∠ＡＣＢ）……②,

∠PCB = ∠BCE（CP為角平分線） =

（∠A + ∠ＡＢＣ）……③，

將②和③代入①，即得

∠P + （∠A + ∠ＡＣB） + （∠A + ∠ＡBC） = 180°，

去括號(hào)，得

∠P + ∠A + ∠ＡＣB + ∠A + ∠ＡBC = 180°……④，

而在△ABC中，有∠Ａ + ∠ＡBC + ∠ＡCB = 180°，

所以∠Ａ + ∠ＡＣB + ∠ＡBC = 90°，

將其代入④式，得

∠P + ∠Ａ + 90° = 180°，

整理，得∠P = 90° -∠Ａ.

因此答案為Ｃ．

熟練掌握三角形外角及內(nèi)角和公式的變形可以使很多問(wèn)題得到更加簡(jiǎn)便的解決，而要熟練掌握就要求同學(xué)們多加練習(xí)和總結(jié)，學(xué)會(huì)舉一反三，融會(huì)貫通，這樣方能在解決新問(wèn)題時(shí)游刃有余，思路清晰.