淺談中考題中有關正三角形的證明

葉春林

【摘要】 正三角形的證明是初中幾何內容中最重要的. 正三角形在生活中最為常見，應用也最為廣泛，故在近幾年的中考中有著其特殊的地位．正三角形又與全等三角形有著千絲萬縷的聯系，要能夠把這些知識綜合運用是最關鍵的．

【關鍵詞】 正三角形；全等三角形；相似；等腰

在歷年全國各地的數學中考中，關于正三角形的內容往往涉及的比較多，因為正三角形的知識點與別的知識點又很容易聯系. 下面我選擇一些中考題談談我的看法．

一、選擇題

例1 （２００９安順）如圖１，已知等邊三角形ＡＢＣ的邊長為２，ＤＥ是它的中位線，則下面四個結論：① ＤＥ ＝ １；② △ＣＤＥ∽△ＣＡＢ；③ △ＣＤＥ的面積與△ＣＡＢ的面積之比為１ ∶ ４. 其中正確的有 （ ）.

Ａ． ０個 Ｂ． １個 Ｃ． ２個 Ｄ． ３個

答案 Ｄ

點評 本題以正三角形為載體，考查了學生三角形中位線和相似三角形的知識.

例2 （２００９湖州）如圖２，在正三角形ABC中，D，F，F分別是BC，AC，AB上的點，DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，則△DEF的面積與△ABC的面積之比等于 （ ）.

Ａ． １ ∶ ３ Ｂ． ２ ∶ ３ Ｃ．∶ ２ Ｄ．∶ ３

分析 在正三角形ABC中，∠Ａ ＝ ６０°，∠Ｂ ＝ ６０°，∠Ｃ ＝ ６０°，

∵ DE⊥AC，EF⊥AB，FD⊥BC，

∴ ∠ＡＥＦ ＝ ３０°，∠ＢＦＤ ＝ ３０°，∠ＣＤＦ ＝ ３０°，

從而得到∠ＥＦＤ ＝ ６０°，∠ＦＤＥ ＝ ６０°，∠ＦＥＤ ＝ ６０°，

故△ＤＥＦ是正三角形．

設ＢＤ ＝ ｘ，則易得ＣＤ ＝ ２ｘ，ＤＦ ＝ ｘ，

則△DEF的邊長與△ABC的邊長之比等于 ∶ ３，故面積比為１ ∶ ３．

答案 Ａ

點評 本題要求學生掌握正三角形的證明方法（兩個角是６０°的三角形是正三角形）、正三角形的性質、全等三角形的證明方法（ＡＡＳ或ＡＳＡ）和相似三角形邊長比和面積比的關系，故學生的基礎知識一定要全面，還要能夠把知識有機的聯系起來．

二、填空題

例3 （２００７沈陽）如圖３，△ＡＢＣ是邊長為３的等邊三角形，△ＢＤＣ是等腰三角形，且∠ＢＤＣ ＝ １２０°．以Ｄ為頂點作一個６０°角，使其兩邊分別交ＡＢ于點Ｍ，交ＡＣ于點Ｎ，連接ＭＮ，則△ＡＭＮ的周長為．

分析 作∠ＭＤＥ ＝ ６０°，ＤＥ交ＭＢ的延長線于Ｅ.

∵∠ＤＢＥ ＝ ∠ＤＣＮ ＝ ９０°，

∠ＢＤＥ ＝ １２０° － ６０° － ∠ＢＤＭ ＝ ∠ＣＤＮ，ＤＢ ＝ ＤＣ，

∴ Ｒｔ△ＢＤＥ ≌ Ｒｔ△ＣＤＮ（ＡＳＡ），

∴ ＢＥ ＝ ＣＮ，ＤＥ ＝ ＤＮ，

∴ △ＤＭＥ≌△ＤＭＮ（ＳＡＳ），∴ ＭＮ ＝ ＭＥ ＝ ＢＭ ＋ ＣＮ，

∴ △ＡＭＮ的周長 ＝ ＡＢ ＋ ＡＣ ＝ ６.

點評 本題有一定的難度，主要考查了學生構造線段作輔助線的能力，而從６０°的角出發是解題的突破口．全等三角形的知識始終貫穿著三年的初中學習，要求學生能夠熟練運用．線段的割補是重要的解題思想，尤其是與全等三角形聯系更是較高的要求．

三、證明題

例4 （２０１０黃岡） 如圖４，過邊長為１的等邊三角形ＡＢＣ的邊ＡＢ上一點Ｐ，作ＰＥ⊥ＡＣ于Ｅ，Ｑ為ＢＣ延長線上一點，當ＰＡ ＝ ＣＱ時，連接ＰＱ交ＡＣ邊于Ｄ，則ＤＥ的長為多少？

分析 過Ｐ作ＢＣ的平行線，交ＡＣ于Ｍ，則△ＡＰＭ也是等邊三角形. 在等邊三角形ＡＰＭ中，ＰＥ是ＡＭ上的高，根據等邊三角形三線合一的性質知，ＡＥ ＝ ＥＭ. 易證得△ＰＭＤ ≌ △ＱＣＤ，則ＤＭ ＝ ＣＤ. 此時發現ＤＥ的長正好是ＡＣ的一半，由此得解．

解 過Ｐ作ＰＭ∥ＢＣ，交ＡＣ于Ｍ，

易知△ＡＰＭ是等邊三角形.

又∵ ＰＥ⊥ＡＭ，

∴ＡＥ ＝ ＥＭ（等邊三角形三線合一）.

∵ ＰＭ∥ＣＱ，

∴ ∠ＰＭＤ ＝ ∠ＱＣＤ，∠ＭＰＤ ＝ ∠Ｑ，

又∵ ＰＡ ＝ ＰＭ ＝ ＣＱ，

∴ △ＰＭＤ≌△ＱＣＤ（ＡＳＡ），

∴ ＣＤ ＝ ＤＭ，ＤＥ ＝ ＤＭ ＋ ＥＭ ＝ ＡＥ ＋ ＣＤ ＝ ＡＣ ＝.

點評 本題考查學生構造正三角形的能力，還要求學生會分割一條未知線段的長，制造全等三角形，從而找出各小段之間的關系，最終求出問題的答案．

總之，在我們學習正三角形的過程中，要能夠充分掌握其特點，熟練運用它的性質特點和判定方法，把正三角形和全等三角形、直角三角形、中位線、拋物線等一系列知識有機聯系起來，這樣我們的應用能力、解題能力以及綜合實踐能力才會有大的進步．