巧列方程解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的探索

黃明輝

方程是一種用逆向思維解答實(shí)際問(wèn)題的方法，它對(duì)豐富學(xué)生解決問(wèn)題的策略、提高解決問(wèn)題的能力、發(fā)展數(shù)學(xué)素養(yǎng)有著非常重要的意義。在實(shí)際教學(xué)活動(dòng)中，為了追求好的“成績(jī)”，許多教師一味灌輸用“算術(shù)方法”解答問(wèn)題，忽視了用方程知識(shí)解決問(wèn)題的能力的培養(yǎng)，更談不上探索解題的技巧了，嚴(yán)重阻礙學(xué)生全面、持續(xù)地發(fā)展，而且嚴(yán)重影響了學(xué)生后續(xù)（初中）對(duì)方程知識(shí)的學(xué)習(xí)。因此，加強(qiáng)“列方程策略解題”研究顯得至關(guān)重要，下面，筆者談?wù)勛约旱挠^點(diǎn)與做法。

一、巧解“雞兔同籠”問(wèn)題

我國(guó)古代（約1500年前）的數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中記載了一道數(shù)學(xué)趣味題（“雞兔同籠”問(wèn)題）。學(xué)生在列方程解題的過(guò)程中，雖然能從不同角度列出方程，但缺乏解法對(duì)比、引導(dǎo)與歸納，出現(xiàn)解方程思維障礙現(xiàn)象（移項(xiàng)問(wèn)題或負(fù)數(shù)問(wèn)題）。此時(shí)，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并進(jìn)行解法點(diǎn)撥。例：籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有35個(gè)頭，從下面數(shù)，有94只腳。雞和兔各有幾只？思路分析與點(diǎn)撥：假設(shè)有x只雞，那么就有（35—x）只兔。依據(jù)“雞兔共有94只腳”等量關(guān)系，可列出方程：2x+4（35-x）=94，即2x+140-4x=94，等式左邊（2x-4x）與右邊（94-140）出現(xiàn)負(fù)數(shù)，運(yùn)用小學(xué)所掌握的知識(shí)很難求出x的值。假設(shè)有x只兔，那么就有（35-x）只雞。依據(jù)“雞兔共有94只腳”等量關(guān)系，可列出方程：4x+2（35-x）=94，即4x+70-2x=94，等式左邊（4x-2x）和右邊（94-70）都是正數(shù)，運(yùn)用小學(xué)所掌握的知識(shí)即可求出2x=24即x=12（兔的只數(shù)），雞的只數(shù)：35-12=23（只）。為了促使解方程的思維暢通，避免解題走彎路，可以直接假設(shè)動(dòng)物腳的只數(shù)比較多（兔子的腳比雞的腳多）的為x值。

二、巧解“分?jǐn)?shù)”問(wèn)題

圖解法是解答“分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)”問(wèn)題最常用的數(shù)學(xué)思維方法。大部分稍復(fù)雜分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)問(wèn)題通過(guò)畫(huà)線段圖變抽象為具體，并且借助線段圖很容易尋找出問(wèn)題與分率（單位“1”已知的題型）或已知量與分率（單位“1”未知且是所求問(wèn)題的題型）的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)用“算術(shù)法”解題的目的。在解答分?jǐn)?shù)或百分?jǐn)?shù)的過(guò)程中，若遇到難以畫(huà)線段圖或畫(huà)線段圖難于尋找到量（問(wèn)題）與率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，不妨換個(gè)角度思考即采用列方程策略解答問(wèn)題，可以達(dá)到“柳暗花明又一村”的效果。例：小明和小亮各有一些玻璃球，小亮的個(gè)數(shù)比小明少。若把小明個(gè)數(shù)的給小亮，小亮的個(gè)數(shù)就比小明多2個(gè)。小明原有玻璃球多少個(gè)？思路分析與點(diǎn)撥：從“小亮的個(gè)數(shù)比小明少”和“若把小明個(gè)數(shù)的給小亮”中，可以看出這兩句只帶分率不帶單位的語(yǔ)句都是“分?jǐn)?shù)”問(wèn)題的關(guān)鍵句，又從“比小明少”和“占小明個(gè)數(shù)的”中，可以斷定都是把小明看做“單位1”，且單位1”是所求的問(wèn)題。因此，可以直接假設(shè)小明原有玻璃球x個(gè)，那么小亮原有玻璃球就有（1-）x個(gè)即x個(gè)，小明給小亮的個(gè)數(shù)就有x個(gè)，依據(jù)“小亮的個(gè)數(shù)就比小明多2個(gè)”關(guān)系句，找出等量關(guān)系式即“現(xiàn)有小亮的個(gè)數(shù)-現(xiàn)有小明的個(gè)數(shù)=2個(gè)”，并列出方程：（x+x）-（x-x）=2即：x+x-x=2；依據(jù)乘法分配率逆運(yùn)算“（+-）x”可以很快求出“x=24”，即小明原有玻璃球24個(gè)。

三、巧解“平面幾何”問(wèn)題

將不規(guī)則的圖形分割轉(zhuǎn)化成幾個(gè)基本的規(guī)則圖形，分別計(jì)算它們的面積，相加或相減（相加與相減混合）求出不規(guī)則圖形的面積是解答“平面幾何”問(wèn)題常用的數(shù)學(xué)思維方法。平移法、割補(bǔ)法、替代法與轉(zhuǎn)化法是求不規(guī)則圖形的面積常采用的解題方法。大部分幾何圖形，按照常規(guī)方法或特殊方法都能找到解題策略。然而，有個(gè)別“平面幾何”問(wèn)題解答時(shí)需另辟蹊徑，采用列方程策略解答問(wèn)題，才能達(dá)到解題目的。如：用五個(gè)相同的長(zhǎng)方形拼成右圖，經(jīng)測(cè)量，這個(gè)大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是88厘米，這個(gè)圖形的面積是多少平方厘米？思路分析與點(diǎn)撥：設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為x厘米，那么小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)就有x，依據(jù)“大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是88厘米”等量關(guān)系，可列出方程：（4x+x）×2=88即4x+x=44，再依據(jù)乘法分配率逆運(yùn)算可求出“x=8”的值；則可求出大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)：3x=3×8=24厘米，大長(zhǎng)方形的寬：x+x=8+×8=20厘米，那么大長(zhǎng)方形的面積為24×20=480平方厘米。為了拓寬解題思路，也可以設(shè)小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x厘米，那么小長(zhǎng)方形的寬就有x厘米，依據(jù)“大長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)是88厘米”等量關(guān)系，可列出方程：（3x+x）×2=88即3x+x=44，依據(jù)乘法分配律（逆運(yùn)算），可求出“x=12”；則可求出大長(zhǎng)方形的長(zhǎng)：12×2=24厘米，大長(zhǎng)方形的寬：12×+12=20厘米，大長(zhǎng)方形的面積：24×20=480厘米。

四、巧解“立體幾何”問(wèn)題

有些“立體幾何”問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系比較復(fù)雜、抽象，若用常規(guī)思維習(xí)慣（算術(shù)方法解）解題，常出現(xiàn)解題很困難甚至無(wú)法解答。這時(shí)，如果我們改變一下思路，采用方程求解的思想求有關(guān)圖形的體積，就會(huì)得到事半功倍的效果。如圖1-1所示，有一塊長(zhǎng)方形鐵皮，利用圖中陰影部分剛好能做成一個(gè)油箱，求油箱的容積（接頭處忽略不計(jì)）。思路分析與點(diǎn)撥：解答此題所需要的條件（半徑與高）隱藏在圖文并茂中，解答的關(guān)鍵是用字母代替題中的未知數(shù)，找出已知數(shù)與未知數(shù)間的相等關(guān)系列方程。解：設(shè)油桶半徑為ｒ cm，則高為4ｒ cm。依圖意可列方程并求解：2πｒ+2ｒ=16.56，ｒ×（2+2π）=16.56，ｒ×8.28=16.56，ｒ=2，4ｒ=8。可求油桶的容積：3.14×22×8=100.48cm3。如果把此題的已知條件（能做成一個(gè)有蓋有底的油箱）改為能做成一個(gè)無(wú)蓋的油箱，如圖1-2所示，同理（“方程”求解法）依圖意可列方程：2πｒ+2ｒ=16.56，求得：半徑ｒ=2，油桶的高2ｒ=4，油桶的容積：3.14×22×4=50.24cm3。

五、巧解“比例”問(wèn)題

應(yīng)用正、反比例知識(shí)解決問(wèn)題的常規(guī)方法：一、找。讀題理解題意，并尋找出兩組對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)（正比例題型中一般會(huì)出現(xiàn)“照這樣計(jì)算或照這樣的速度等”，反比例題型中一般會(huì)出現(xiàn)“原來(lái)怎么樣，現(xiàn)在怎么樣”）；二、判。寫(xiě)出兩種相關(guān)聯(lián)的量與不變量的關(guān)系式，若是比值（商）一定則兩種相關(guān)聯(lián)的量成正比例，若是積一定則兩種相關(guān)聯(lián)的量成反比例；三、列。假設(shè)未知數(shù)為x，根據(jù)正或反比例的意義列出方程；四、算。解方程，檢驗(yàn)并寫(xiě)答語(yǔ)。大部分“比例”問(wèn)題通常按照常規(guī)步驟都能很快求出答案。然而，有部分“比例”問(wèn)題出現(xiàn)“第二組數(shù)據(jù)沒(méi)對(duì)應(yīng)”現(xiàn)象，此時(shí)直接假設(shè)題中問(wèn)題為未知數(shù)x的值解答很難達(dá)到解題的目的，必須尋找巧設(shè)問(wèn)題列方程解答途徑。如：工廠原計(jì)劃每天生產(chǎn)零件120個(gè)，45天完成，實(shí)際每天多生產(chǎn)30個(gè)，這樣可以提前幾天完成？（用比例解答）思路分析與點(diǎn)撥：此題的問(wèn)題（提前的天數(shù)）與條件（每天多生產(chǎn)的個(gè)數(shù)）沒(méi)對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，若直接假設(shè)提前天數(shù)為未知數(shù)x，很難找到提前天數(shù)所對(duì)應(yīng)的生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)，解題時(shí)應(yīng)把問(wèn)句中“提前”刪改為：“這樣可以幾天完成”（實(shí)際生產(chǎn)天數(shù)），再找出與實(shí)際生產(chǎn)天數(shù)相對(duì)應(yīng)的實(shí)際每天生產(chǎn)零件的個(gè)數(shù)（120+30=150）。解：設(shè)這樣可以x天完成。因?yàn)椋汗ぷ餍省凉ぷ鲿r(shí)間=工作總量，工作總量一定也就是工作效率與工作時(shí)間的積一定;所以工作效率和工作時(shí)間成反比例。依據(jù)“工作總量一定”，可列出方程：（120+30）x=120×45，并求出“x=36”和提前天數(shù)45-36=9（天）。同理，若出現(xiàn)問(wèn)句中求增加部分，解題時(shí)應(yīng)把問(wèn)句中“增加”（多）或“比……多”文字刪掉，假設(shè)實(shí)際部分為未知數(shù)x。

六、巧解“錢數(shù)”問(wèn)題

對(duì)于求兩個(gè)或兩個(gè)以上未知數(shù)的應(yīng)用題，有些題目按照常規(guī)解法（假設(shè)一個(gè)未知數(shù)為x）是無(wú)法達(dá)到解題目的的。此時(shí)，可以采用“消元法”解決問(wèn)題，即假設(shè)兩個(gè)未知數(shù)分別為a和b，并根據(jù)等量關(guān)系列出兩個(gè)方程，先設(shè)法消去一個(gè)未知數(shù)使其剩下一個(gè)未知數(shù)，最后再求出消去的那個(gè)未知數(shù)。如：小明、小華兩人各帶了若干錢，如果小明得到小華所有錢的,那么小明共有錢60元。如果小華得到小明所有錢的,那么小華也共有錢60元。小明、小華兩人各帶了多少元錢?思路分析與點(diǎn)撥：設(shè)小明帶有錢a元，小華帶有錢b元。依據(jù)題意可列出方程式：①a+b=60，②a+b=60。若將①式中的各數(shù)都擴(kuò)大2倍，將②式中的各數(shù)都擴(kuò)大3倍，它們就會(huì)變成：③2a+b=120，④2a+3b=180。再用“消元法”（用④式減去③式）消去一個(gè)未知數(shù)——小明的錢數(shù)，可求得小華的錢數(shù)：2b=60即b=30，把b=30值代入①式中，可列出求小明錢數(shù)的方程式：a+×30=60，并求出a=45。若將①式中的各數(shù)都擴(kuò)大6倍，將②式中的各數(shù)都擴(kuò)大3倍，它們就會(huì)變成：③6a+3b=360，④2a+3b=180。再用“消元法”（用③式減去④式）消去一個(gè)未知數(shù)——小華的錢數(shù)，可求得小明的錢數(shù)：4a=180即a=45，把a(bǔ)=45代入①式中，可列出求小華錢數(shù)的方程式：45+b=60，并求出b=30。

總之，遇到難于解決的數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，可指導(dǎo)學(xué)生嘗試運(yùn)用“列方程的策略”解決問(wèn)題，不但能使學(xué)生茅塞頓開(kāi)、輕松破題，并為今后解答抽象、繁難問(wèn)題打下良好的基礎(chǔ)，而且能提高學(xué)生靈活運(yùn)用知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。