具有泛分解態射的加權Moore-Penrose逆

摘要： 本文研究了范疇￡中具有泛分解態射f=pgq關于對稱態射β，γ的加權Moore-Penrose逆，并給出了其存在的充要條件及其表達式.

關鍵詞： 態射泛分解加權Moore-Penrose逆

1.引言及定義

1972年Davis在范疇中引進了態射的廣義逆［１］，引起了國內外眾多學者的興趣，對此做了大量的工作，已取得了一系列研究成果.文［2，3］主要研究具有泛分解態射的廣義逆，得到了一些重要結果.文［4］主要研究具有滿單分解態射的加權Moore-Penros逆，得到了一些重要結果.本文將在文［4］的基礎上考慮范疇中具有泛分解態射f=pgq關于對稱態射β，γ的加權Moore-Penrose逆，并給出其存在的充要條件及其表達式，推廣了文［4］的相應結論.

為方便討論，首先引進有關的概念.

定義1.1［２］設￡是一范疇，對象X，Y，Z∈￡，態射f∈M（X，Y）.設f可分解成態射的合成：f=pgq，其中p∈M（X，Z），g∈M（Z，Z），q∈M（Z，Y），若存在態射P′∈M（Z，X），q′∈M（Y，Z），使得p′pg=g=gqq′成立，則f=pgq為f的通過對象I的一個泛分解.

定義1.2［４］設￡是帶有對合*的范疇，對象X，Y∈￡，f∈M（X，Y）是￡的態射，β∈M（X，X）與γ∈M（Y，Y）是￡的對稱態射，若x∈M（Y，X）滿足：

（1）fβxγf=f；（2）xγfβx=x；（3）（fβx）=fβx；（4）（xγf）=xγf.

2.主要結果

引理2.1［４］設f∈M（X，Y）為范疇￡中態射，β∈M（X，X）與γ∈M（Y，Y）是￡的對稱態射，則以下命題等價：

（1）f關于對稱態射β，γ的加權Moore-Penrose逆存在；

（2）存在態射u，v∈M（X，Y），使得ufγf=f=fβfv；

此時有：f=vfu.

定理2.1設f∈M（X，Y）為范疇￡中態射，β∈M（X，X）與γ∈M（Y，Y）是￡的對稱態射，f=pgq為f的通過對象Z一個泛分解，則f存在當且僅當存在對稱態射β，γ∈M（Z，Z），使得（pg）與（gq）存在.

證明：“?坩”由pgβ（pg）γpg=pg，gqβ（gq）γgq=gq和f=pgq為f的通過對象Z一個泛分解得知：gβ（pg）γpg=g，gqβ（gq）γg=g.

令x=（gq）γgβ（pg），則可得x=f.

“?圯”取β=i，γ=i，由f的定義可得fβfγf=f，即得pgqβfγpgq=pgq，再由f=pgq為f的通過對象Z一個泛分解得gqβfγpg=g.

令x=gqβf，y=fλpg，直接驗證可得x=（pg），y=（gq）.

定理2.2設f∈M（X，Y）為范疇￡中態射，β∈M（X，X）與γ∈M（Y，Y）是￡的對稱態射，f=pgq為f的通過對象Z一個泛分解，g=g，則以下命題等價：

（1）f關于對稱態射β，γ的加權Moore-Penrose逆存在；

（2）存在態射ρ，σ∈M（X，Y），使得ρfγpg=g，gqβfσ=g；

此時有：f=（σgq）f（pgρ）.其中ρfγpg=g，gqβfσ=g.

證明：（1）?圯（2）令x=f，由p（gqβxγxβ）（fγpg）q=fβxγfβxγf=pgq，

可得：（gqβxγxβ）（fγpg）=g，令ρ=gqβxγxβ即得.

再由p（gqβf）γxβxγpgq=fβxγfβxγf=pgq.可得：

（gqβf）γxβxγpg=g，σ=γxβxγpg.

（2）?圯（1）若ρfγpg=g，gqβfσ=g，則pgρfγpf=f=fβfσgq，由引理2.1［４］得：f=（σgq）f（pgρ）.

參考文獻：

［1］Davis DL，Robinson DW.Generalized inverse of morphisms［J］.Linear algebra application.，1972，5：319-328.

［2］江聲遠，劉曉冀.具有泛分解的態射的廣義逆［J］.數學學報，1999，42，（2）：233-240.

［3］曹永知，朱萍.關于具有泛分解的態射的廣義逆［J］.數學學報，2001，44，（3）：559-566.

［4］朱萍，曹永知.態射的加權Moore-Penrose逆［J］.數學物理學報，2001，21A，（1）：36-42.

［5］劉曉冀，張仕光.具有核的態射的w-加權Drazin-逆［J］.數學物理學報，2009，21A，（3）：741-750.

［6］Wang Guorong，etc.，“Generalizedinverses：Theory and Computations”，Science Press，Beijing/New York，2004：26-33.

基金項目：河北省高等學校科學研究計劃項目（Z2010188）