小學幾何新授課教學的思維臺階和結構安排

余志軍

【摘要】小學幾何新授課不但要關注知識與技能，更重要的是關注學生方法的獲得和思維的發展。為此，幾何新授課有必要根據學生學習新知的規律來定位思維發展的臺階和相應的課堂結構。我們可以把一節課按過程的推進，在思維發展的目標上設置成四個思維臺階，與之對應地，把課的環節設計成四個板塊。本文通過前后課例的對比，對四個思維臺階和相應的課堂結構進行了說明，并提出了實現的基本策略。

【關鍵詞】幾何新授課 思維臺階 課堂結構

【中圖分類號】G623.5 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）05-0095-04

一、幾何新授課教學的現狀及分析

新課程實施以來，傳統的幾何知識教學從內容上得到了拓展，從目標上實現了轉移，從教學上得到了加強，成為教學“四大領域”之一，幾何新授課教學在小學數學新課程中占有十分重要的地位和作用。

請看兩個教學課例：

課例1：三年級上冊數學《周長的認識》這課時的教學。

有位老師是這樣來進行課堂操作的：

呈現下列素材（圖1），引導學生認識平面圖形的周長。

師：你能指出上述圖形的周長嗎？

師：下面水池的周長在哪里？（呈現游泳池如圖2）

在老師的引導下，學生指平面圖形和泳池的周長。

呈現下列素材（圖3），引導判斷是不是周長。

接著讓學生比較周長。素材是圖4所示的材料。

課例2：六年級上冊數學《圓的面積》這課時的教學。

這是某老師的課堂教學流程和主要活動：

呈現材料（圖5），引導復習長方形、平行四邊形、三角形、梯形的面積公式。

你還記得長方形、平行四邊形、梯形的面積公式是怎樣的嗎？

部分學生對公式進行了復述，老師進行了板書，并引導學生進行了復習。

第二個環節，引導學生嘗試用教材配套學具把圓轉化為學過的圖形，推導面積公式。

學生在老師的指導或看書的基礎上把圓平均分，再剪拼成長方形或平行四邊形（圖6）。

經過師生共同討論，知道平行四邊形的底和長方形的長近似于圓周長的一半，平行四邊形的高和長方形的寬都等于圓的半徑。就是“圓的面積=圓周長的一半×半徑”，所以“圓的面積=半徑的平方×圓周率”，即“S=πr2”。

第三個環節，提供幾個典型問題模式，引導學生初步運用公式計算（圖7）。

學生計算后引導小結：學到這兒你知道了什么？部分學生回答后追問：還有什么想說？

第四個環節，利用問題，引導學生進行思維的綜合和知識的深化（圖8）。

上述兩節幾何課，單從內容上來說應該是典型課例，因為不管新舊哪個版本的教材都被保留了下來。我們可以從教學中看到，同樣的教學內容，跟以往比，課堂上所呈現出來的差別還是明顯的。比如，素材內容更豐富了?！吨荛L的認識》一課，從學生熟悉的規則圖形入手，過渡到不規則圖形，再終結為規則圖形。《圓的面積》則從有聯系的舊知出發，利用學具操作從兩個不同途徑推導出面積公式，在解決現實問題中運用和理解公式，增加了更易理解的現實內容。再比如，教學更重視學習活動的設計。課堂有觀察，有思考，有操作，有交流，有計算，有推理等，而老師退到幕后專做服務的意識強了。又比如，教學目標的側重點已經轉移到引導學生感悟上。兩節課都很重視設計一些圖形素材，結合一些活動，用更多的時間讓學生去體驗，去感悟，沒有把周長的計算、面積的計算作為重頭戲。這些都是老師在磕磕碰碰的前進中所取得的進步。

然而，我們細心分析仍舊可以發現：

《周長的認識》這個課例，從環節上看基本可以劃分為三個過程：指出周長→判斷周長→計算周長。很顯然概念的形成過程太簡單化了，而作為“周長的認識”教學，周長的計算又要求過高了。最大的原因是“書上就是這么編排的”，而且提供的素材大致也就是這些，“況且周長這么簡單的知識不用教都會”！事實真的是這么簡單、這么理想嗎？典型的以成人經驗代替學生思維。事實上一節課學習后，多數學生連什么是“數學上的周長”都沒弄明白。因為老師沒有從整體上把握知識，沒有關注學生的學習起點，教學中對思路和方法體現不多，就造成缺乏從現實事物到初步抽象，再到本質概括的這么一個幾何概念的類化、提煉、凝聚的感悟過程。

《圓的面積》這個課例，盡管學生有一定的操作活動為支撐，但這個活動還不充分、不全面、不深入，沒有從知識的形成和發生發展的過程以及學生思維過程展開探索，最多只是復制教材設置的內容，知道圓面積公式是怎么樣的，初步掌握運用公式進行計算的技能。換句話說，學生的學習還只是停留在對模型的記憶和模仿層面。由于課堂沒有更好地展開，沒有讓學生盡可能地暴露思維過程，學生對新舊知識的連貫和擴展，對怎樣研究數學問題，對知識的深層理解還不夠。

這兩個課例所表現出來的性狀，一定程度上可以看成是當前幾何新授課的縮影。

二、我們對幾何新授課的設想及改造

那么，幾何新授課到底要教會學生什么？是不是傳授新的幾何圖形知識，形成新的圖形計算技能，有了關于圖形的新感知就算達成了教學目標呢？

當前，小學數學新授課，不但要傳授新知識，引導形成新技能，獲得數學新認識，而且還要引導學會研究新的數學問題，積累研究經驗，感悟數學方法，獲得思維發展。新授課是最常見、最根本、最重要的課型,因而新課里引導學生學會探求新知識，把知識運用于實際，培養數學能力、發展數學思維尤其重要。幾何新授課同樣要滿足這些要求。另外還擔負著引導學生認識和研究初步幾何知識，形成初步圖形想象能力和空間思維的重任。

所以小學幾何新授課不但要關注知識與技能，更重要的是關注研究經驗的積累和基本思想方法的獲得。

為此，幾何新授課有必要根據學生學習新知的規律來定位思維發展的臺階和相應的課堂結構。我們可以把一節課按過程的推進，在思維發展的目標上設置成四個思維臺階：思維的喚醒與整理；思維的溝通與類化；思維的深化與拓展；思維的突破與優化。與之對應地，把課的環節設計成四個板塊：情境與鋪墊；探索與感悟；運用與歸納；變式與反思。

在這樣的思想指導下，上述兩個課例教學上應有怎樣的變化？

課例3：《周長的認識》。

本課要真正讓學生體驗到“周長”這個概念是怎么形成的，懂得數學上“周長”的概念，領悟解決圖形的周長基本方法是什么。

第一環節，情境創設。

我們應該提供生活情境，例如“沿操場跑一圈”、“人們做游戲圍成一圈”、“花壇四周的界限”、“鏡框用彩帶包一圈”等圖片，引導學生有重點地看一看，讓學生感受到生活中的周長原型——“一圈”。生活中的“一圈”就是數學上講的“一周”。

這樣做就把學生的生活經驗和數學知識建立了聯系，通過對其中共性的整理，使生活問題有了數學思維的成分，自然過渡到周長的學習。

第二環節，理解概念。

首先，應該讓學生摸一摸身邊事物的“一周”，體會有的一周長些，有的一周短些。例如“數學書的一周短些”、“課桌面的一周長些”；“課桌面的一周短些”、“黑板面的一周長些”……也就是說，物體或平面的一周相比較是有長短的，數學上把物體或平面圖形一周的長度，就叫“周長”。

其次，讓學生指一指平面圖形或物體的周長（類似上面課例1中的圖1、圖2），完成由實物到圖形的遷移。

然后，通過一些素材的判斷（類似上面課例1中的圖3），體會數學上“封閉”圖形一周的長度才稱為周長。

到這里概念的學習可暫告一段落?！爸荛L是怎么來的”、“什么是數學上的周長”基本交代清楚了，周長的完整概念可算初步建立：“物體或封閉圖形一周的長度，叫作它們的周長?！?/p>

周長概念的建立，不是靠灌輸，而是借助一系列探索和感悟性活動，在不斷比較、綜合和判斷的思維活動中完成的。

第三環節，感悟策略。

接下來的學習活動，是否應該像上面課例那樣，引導學生進行周長的計算呢？

答案是否定的！“為什么要計算周長？”、“周長為什么要這樣計算？”、“計算周長要注意什么？”學生一定有這樣的疑惑或好奇心，我們難道不應該考慮學生的知識經驗和滿足孩子的需求嗎？這些應該在周長計算之前得到解決。所以，我們要做的不是急急忙忙去教學生怎么計算周長，而應引導學生去探索為什么要計算周長和計算周長的總體策略是什么。

我們可以提供不同形狀的物品和一定的測量工具，引導學生想象要給它們圍上一周的裝飾彩帶，要求學生以小組為單位開展協作活動，想出辦法算出彩帶的大致長度。物品可以有意識地設置為“一般的四邊形物品”、“長方形”、“正方形”、“五角星”、“圓形鏡子”等；提供直尺、軟皮尺、彩紙帶等。由學生按小組自己選擇研究的對象，發揮集體的力量，找出合適的途徑和方法。

學生活動后，認真組織進行反饋和評價。在反饋過程中，要充分暴露學生的想法，引導學生體會和發現：解決周長，一般的方法是“測量+計算（相加）”；不過測量和計算都要根據具體圖形，盡量采用最簡便的方法，如“五角星”只要測量一條邊，計算時用乘法。

學生方法策略的感悟，是在正確運用概念，進行綜合拓展和合作交流活動后獲得的。

第四環節，變式優化。

提供材料（圖9）。要求：怎樣知道下列圖形的周長呢？

由于圖形有凹陷，可能會給部分學生制造一定的困難，有的可能量的線段會比較多，有的就可能找出最優化的方法。

整堂課把概念的發生發展過程、學生的思維過程、教師的教學過程三者同步并行，學生的體驗和感悟就更深入，同時為今后進一步解決圖形周長問題打下了更堅實的技能、方法和思想的基礎。

課例4：《圓的面積》。

《圓的面積》這節課，新舊課程的多數教材，都是直接讓學生“把圓平均分成若干扇形，再拼成近似長方形”推出圓面積的計算公式。那么，怎么解答學生心中的疑惑：為什么要把圓這樣等分？又為什么要這樣拼組？是否還有別的可能呢？我們可以嘗試這樣做：

第一板塊，鋪墊啟動。

首先，引導理解“圓面積”的含義，體會與面積相關的因素是什么。

通過長方形、正方形面積的遷移，理解圓面積的含義，并由經驗知道圓的面積和半徑、直徑有關（圖10）。

其次，引導估算，得出圓的面積在2r2至4r2之間。通過估算學生可以更接近目標：圓的面積和r2直接有關；利用過去數方格的方法不可能得出圓面積的計算公式（圖11）。

到這里，學生在心理上已經激起了探究的欲望和必要的思想準備，知道解決問題必須用過去不一樣的方法才行。

第二板塊，探索感悟。

思路導引。圓的面積到底是r2的幾倍？能不能像過去那樣，把圓切拼成已經學過的圖形來推算呢？學生猜測議論后，呈現圖12進行思路導引。

初步嘗試。學生初步一嘗試就會知道，利用過去簡單的切拼方法是不可能拼出的，原因為圓是由曲線圍成的。

適時幫助。能不能“化圓為方”轉化成學過的圖形來推導它的面積計算公式呢？要“化圓為方”，應該把圓怎樣分割？ 提供學生科學的思路（圖13）。

放手探索。由學生自由選擇“化圓”為合適的“方”。學生活動反饋后，依次呈現不同的具體轉化圖形來暴露想的過程（圖14，15）。

如果沒有學生能拼出近似長方形，老師需要補充出來，因為近似長方形盡管不容易想到，但要是能拼出，它的邊更直，從某中意義上說，學生會覺得“誤差”更小，更容易理解轉化后的面積與圓面積是相等的。

引導表征。從上面的不同轉化中，共同的地方是什么？那么圓的面積可以統一為一個怎樣的計算方法呢？討論比較后得出：圓的面積=周長的一半×半徑=半徑2×圓周率，字母表示為:S=πr2。

這是本課突出重點、突破難點的環節。圍繞圓面積公式的推導，根據知識本身發展的順序和學生思維的特點，呈現了豐富的知識現實背景，引導學生進行數學探索活動，并且引導學生在比較綜合中建立數學模型或者說把知識符號化。在關注知識和技能的同時，突出了學習方法指導和解決問題的數學思想方法感悟。

第三板塊，運用理解。

模型建立后，及時運用到現實情境中解決問題，是理解和完善細節的最好途徑。材料的選擇上，注意典型性、針對性和現實性。前面課例2中圖7，圖8都是比較好的素材。

通過運用，可以促使學生更深地體會到：計算圓的面積，要圍繞著找圓的半徑或半徑的平方入手。

第四板塊，反思總結。

著重引導學生回顧：我們是怎么知道“圓的面積=半徑2×圓周率”的？通過這節課的學習研究，你能提供什么經驗？

就是說，即使是總結反思，也要根據學生情況抓住時機，盡可能多聯系方法和策略。

回過頭再來看這兩個課例可以發現，它們的共同之處在于：關注知識與技能同時，把過程的經歷、方法的感悟和數學思維的培養當作重點。如果把課比作是一篇文章，這樣定思想，立意深了。

三、重構幾何新課教學的基本策略

怎樣做到四個思維臺階和四個層次課堂結構的有機結合，從上述兩個改造的課例當中，也可以得到一些啟示或者說基本策略。

1．從生活原型或學生經驗出發，抽象出直觀形象。

小學生學習幾何與成人不同，是以已有的經驗為起點的。這個經驗可以是看到的生活中原生態物品的外在形象即生活原型，也可以是操作活動中積累起來的直觀感受。比如，《周長的認識》課例中，“周長”概念的建立。學生大腦首先感知的是事物“一圈”，“有的一圈大些”，“有的一圈小些”；經過觀察，比劃、判斷、交流等活動，得到一個“周長”的直觀認識；再通過物品圖形化，“一圈”演變成一周線段的長度，就抽象出數學意義上的周長概念了?！秷A的面積》課例中，“圓的面積”的感知，開始是借助正方形面積，通過觀察，猜測、比較等活動實現的。通過活動，初步感知到圓面積和半徑、直徑有關；進一步估算對比后，確定圓的面積應比2r2大、比4r2小。

可見，從生活原型或學生經驗出發，抽象出直觀形象，就是要利用學生腦海里事物或圖形的形體經驗，結合有效的操作、感悟等活動，不斷去掉非本質特征，逐步逼近本質特征，實現建立一個幾何模型。

2．從核心概念或基本規則入手，滲透解決問題的方法。

小學生一個空間觀念的形成，需要經歷由經驗到直觀、再到標準形式的漸進過程，而且這個過程對直觀的依賴比較強。這就意味著，一節課，我們最好抓住一個核心概念或一個基本規則來設計，并且不能照本宣科似的直接告訴結果。所以最好的辦法就是把核心概念或基本規則，設計成幾個相互聯系的問題，引導學生去“做”。比如，《周長的認識》中，圍繞“周長”概念，設計了“看一看”、“摸一摸”、“指一指”、“判斷”、“量一量”、“想一想”一系列遞進式問題，引導學生經歷一系列直觀感知活動，在操作中完善了對“周長”的認識，積累了活動經驗?！秷A的面積》中，緊扣“圓的面積公式”，設計了“圓面積的因素體驗”、“估算圓的面積”、“轉化為舊知定向”、“動手剪拼”、“交流比較和歸納”、“運用和變式”、“反思方法”等要求學生完成的活動，這些活動填補了學生經驗和思維上的空白，使知識的演繹變得更嚴謹、更自然。

這樣，學生就在“做數學”的過程中，豐富了空間形象，自然而然地掌握了核心概念或基本規則。更重要的是，課堂的重心得以轉移到重視數學思想方法的感悟上來，對怎樣解決數學問題起到一個引導和示范作用。仔細回想，小學里，絕大多數圖形面積公式的推導，基本遵循了這樣的思路，甚至對立體圖形體積公式的學習也起到了正面作用。

3．重視學生想象和交流，引導類化和概括，促進深層理解。

小學生在開始研究圖形的時候，總是用經驗來思考和用描述性的語言來敘述概念。比如，“周長”，開始會理解和描述成“邊沿”；一提“垂直”，就會形成“豎直、橫平”的形象，，描述起來也大致是這樣的詞語。學生的幾何語言是在對圖形的操作實驗后，通過對話和交流逐步發展起來的，能正確運用幾何語言是幾何概念形成的重要標志。當一個學生用幾何語言對幾何現象進行描述時，另一個學生能根據描述很快用一定的方法呈現出來，具有這樣的能力，我們可以說具有了空間想象。

幾何教學中，要經常組織學生在觀察操作后進行交流與討論，充分暴露不同學生的思維過程，引導傾聽和想象。還要在此基礎上引導對比不同思維過程中的思路與方法，注意有意識地讓學生去歸類與概括。挖掘思路與方法之間的本質聯系，促進對知識的深層領悟。比如《周長的認識》中，學生分小組測量研究不同圖形的周長后，及時組織學生交流和討論，使學生感悟到，盡管圖形不一樣，用的工具也不一樣，但基本方法還是“測量+相加計算”，綜合了思路，形成了基本策略。《圓的面積》里，學生剪拼后，分的份數不同，拼得的圖形也不同，邊的長規格更是不同，但是經過分析，發現面積都不變，還是圓的面積。經過按各自面積公式計算后，可以看出能統一為“半徑2×圓周率”。這里面還包含了豐富的想象：分的份數越多，“圓”越接近“方”。

4．注重開放和變式，引導用多種思維解決問題。

開放包括內容的開放、方法的開放、心理的開放。內容上沒有開放性，就不會有思路上的開放，沒有思路上的開放，那就沒有知識和方法上的溝通和聯系。這樣的幾何課只能是單個圖形、單一特征的孤立學習，學生是不可能有活力和創新的。而心理的開放，是一切的基礎。要放開老師自己的心理，不要怕放手；要給學生信心和鼓勵，激活學生的思維，讓幾何課成為探究的樂園。《周長的認識》、《圓的面積》課，從開始到結束，主題都只有一個，但素材和內容是豐富的，因為素材比較豐富且有一定彈性，所以學生探究活動中學生表現出了思維的求異。

《周長的認識》和《圓的面積》還有一個共同特點，就是最后環節都進行了變式。幾何里的變式，通常指改變圖形的標準形式而不改變本質特征。我們看到，《周長的認識》的最后，正是這種變式：表面上看計算圖形周長似乎是不可以的，事實上經過平移變化是可以的；而《圓的面積》提供了一種“變式”范本，即思路的變式：學生想要求半徑是有困難的，必須另尋途徑才行。

開放也好，變式也罷，無非就是要學生多種思維解決問題。這是我們幾何教學培養學生求異、求新的途徑。

四、幾何新授課更美好始終是理想的追求

記得有位小學數學教育界的學者說過：“數學課有四種境界，第一種境界是引導學生解題；第二種境界是教給學生知識；第三種境界是教會學生方法；第四種境界是啟迪學生思想?！碑斎晃覀兤匠Ｂ牭降臄祵W課，多數是一種復合課，既有這種境界的特點，又有那種境界的特征。一般地，能夠做到第二和第三重境界的綜合，已經是相當不錯的了。能做到第四重境界的，當之無愧是屬于“大師”級人物。

盡管要達到第四重境界近乎不可能，但我們仍要把它作為一個理想來追求。只要進行更努力地修煉，實現這個愿望也并非遙不可及。小學幾何新授課教學的思維臺階設置以及結構怎樣安排？說到這，不知能否得到您的贊同？

參考文獻：

[1]龐維國. 數學學習與教學設計. 上海教育出版社. 2003

[2]平國強. 教學設計關注的重點和教材資源的開發利用. 2008

[3]鄭毓信. 數學思維與數學教學. 2009