《高等數學》課程中極限定義的教學研究

張靜 樊永艷

【摘要】《高等數學》課程中，極限是非常重要的，極限的定義是該課程中的難點．本文將采用等價分析法講解極限的抽象定義，即將極限的一般定義中的各部分逐一變換成抽象的數學語言.由易漸難地定義極限,使學生們更容易接受。

【關鍵詞】極限 等價分析法 抽象定義

【Abstract】 In the “ higher mathematics” course, the limit is very important．The definition of limit in the course is difficulty. This paper will use the equivalent analysis method to explain the abstract definition of limit, that is the each part that the general definition of the limitare transformed into an abstract mathe matical language. From easy gradually difficult definition of limit, make it easier for students to accept.

【Keyword】Limit; equivalent analysis method; abstract definition.

【中圖分類號】G633.66 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2012）05-0104-01

1.研究極限定義教學的必要性

《高等數學》課程中，主要內容為微積分。課程本身就是用極限的方法來研究的。第一章主要內容為極限，在后面的學習中，函數連續、導數以及定積分的概念等都是用極限來定義的。作為剛剛升入大一的學生，還不適應大學數學的思維方法。高中數學僅僅是將理論用于實踐，但大學數學里，理論的來源也十分重要，有的題目要用定義來解決。沒有極限，數學后面的課程幾乎寸步難行。由此看來，極限定義的教學探討是十分必要的。研究極限定義的教學，避免了學生對《高等數學》失去信心，產生抵觸情緒。

2.極限的抽象定義與難點分析

x→x0時函數的極限的定義如下：

定義設函數f(x)在點x0的某一去心鄰域內有定義．如果存在常數A，對于任意給定的正數?著（不論它多么小），總存在正數 ?啄，使得當x滿足不等式0＜｜x→x0｜＜?啄時，對應的函數值f(x)都滿足不等式｜f(x)-A｜＜?著，那么常數A就叫作函數f(x)當x→x0時的極限。

極限定義的教學難點在于：定義是用抽象的數學語言來刻畫的。“去心鄰域”、 “存在”、“任意給定”以及一些x、x0、f(x)、?著和?啄之間的關系式，另外還存在著絕對值不等式，使學生難以搞懂。

實際上，撇開x→x0這個過程，就得到了函數極限的一般定義：在自變量的某個變化過程中，如果對應的函數值無限接近于某個確定的數，那么這個確定的數就叫做在這一變化過程中函數的極限．這樣的描述，是中學數學名詞定義的方法，易懂，但是缺少了大學數學的抽象、嚴密性，感受不到《高等數學》的靈魂所在。對于理科生來說，我們有必要將極限的抽象定義理解的透徹。

3.極限定義的等價分析法

在分析前，可先將函數的一般定義為學生述敘一遍，使學生對極限的定義有個了解。下面對函數極限的一般定義逐漸抽象化：如果函數f(x)在x0點鄰近的點（不考慮x0點）處有定義，那么，當x任意接近x0時，即x→x0時，對應函數值f(x)無限接近于常數A，那么常數A就叫作函數f(x)當x→x0時的極限。

分析：當x→x0過程中，對應函數值f(x)無限接近于常數A。

?圳當x→x0過程中, 對應函數值f(x)與常數A的絕對值,即｜f(x)-A｜能夠任意的小。(在這里要對學生們說明｜f(x)-A｜的意義,即為函數值f(x)與常數A的距離)。

?圳當x→x0過程中,對于任意給定的正數?著＞0, ｜f(x)-A｜＜?著。(此時,向學生們說明,是任意給定的,哪怕再小,我們都可以找到合適的x，使得對應的函數值(x)與A常數 的距離比給定的 還要小，但并不是所有的 都滿足條件，要求是充分接近x0的)。

?圳當x→x0過程中, 對于任意給定的正數?著＞0,只有充分接近x0的x,才能使｜f(x)-A｜＜?著。(向學生們提問,如何來表示充分接近x0的x呢)。

下面給出“充分接近”的抽象的數學語言描述:存在一個很小的正數?啄＞0,滿足不等式 0＜｜x→x0｜＜?啄的x即為充分接近x0的x,其中?啄的大小,決定了x接近x0的程度, ?啄越小, x越接近x0。

4.總結

將極限抽象的定義用等價分析法講解，也就是將極限的一般定義中的各部分逐一變換成抽象的數學語言。由易漸難地定義極限,使剛剛開始學習《高等數學》的大一學生們更容易接受。極限的學習十分重要,為后面的課程學習提供了必要的基礎。本文用等價分析法研究了 過程的函數極限,其它的極限定義可以類似分析。

參考文獻:

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