數學發現的基本方法之聯想法

白翎

摘要： 數學研究的主要目的就是發現問題和解決問題。數學發現是以提出問題和解決問題為主要標志的，隨著對數學對象研究的深入，聯想成為數學解題的一種重要思維方法。聯想是思維的一種形式，也是記憶的一種表現。聯想是回憶舊知識，發現新知識的重要手段，即所謂“舉一反三”、“由此及彼”等。

關鍵詞： 數學方法聯想重要性方法培養方法

任何一門科學都有其方法論基礎，如同其他科學技術一樣，在數學的產生和發展過程中，理論和方法始終是相生相伴的。數學基本方法是數學思想的體現，是數學的行為。數學的核心內容是解決數學問題，而解決數學問題首先要解決方法的問題。聯想法是其中一種重要的方法。

一、聯想的重要性

在客觀世界里，各種各樣的事物不是孤立存在的，它們之間是相互聯系和制約的。當人們回憶或感知某種事物時，就會連帶地想到一些有關的事物，這樣就產生了聯想。聯想是回憶舊知識，發現新知識的重要手段，是聯系生疏問題和熟知問題的心理橋梁。如果缺乏應有的聯想能力，就不容易找到解題所需要的定義、定理、公式、法則等思想方法，也就難以建立題設條件與解題目標之間的邏輯關系，在解決問題的過程中遇到困難。因此，聯想在解題中是十分重要的。

二、聯想的方法

在數學發現和解題過程中，解某些數學問題時，如果直接求解就較為困難，但如果先通過過觀察、分析、類比、聯想等思維過程，運用恰當的數學方法進行變換，將問題轉化為一個新問題或者轉化成比較熟知的問題，再通過對新問題的求解，最后達到解決原問題的目的，這樣就比較容易一些。這一思想方法是中學數學中最基本也比較簡單的思想方法。聯想的方式一般有五種。

1.接近聯想

接近聯想又稱為形似聯想，主要由概念、原理、法則的接近而產生的聯想。它是由命題的已知條件和結論的外表形態與結構特點，聯想到相關的、類似的定義、定理、公式和圖形等。

2.類比聯想

類比聯想又稱為對比聯想，主要是根據問題的具體情況，從具有類似和相似特點的書、式、圖形，以及相近的內容和性質等進行聯想。從抽象到具體，從空間到平面，從數量關系到幾何圖形等。

3.關系聯想

關系聯想是根據知識之間的從屬關系、一般關系、因果關系，以及其內在聯系進行的一種聯想。

4.逆向聯想

逆向聯想是指從問題的正面想到問題的反面。當有些問題從正面解題遇到困難時，往往會產生逆向聯想，即反面解法、倒推法等一些間接的解法，就會使問題轉向比較容易的方向，從而解決問題。

5.橫向聯想

橫向聯想是指數學各分支之間，乃至于物理、化學等學科之間的聯想。

聯想通過已知知識和未知知識之間的聯系，從而使一些數學問題得以解決。運用聯想思維使一些數學問題由表及里、由難及易、由阻變通。可以說聯想是靈感誘發而產生的，特別是在一些問題往往無從下手的時候，需要由聯想來產生解題靈感，使困難的問題迎刃而解。

例：若（z-x）2-4（x-y）（y-z）=0，證明2y=x+z.

解：此題一般是通過因式分解來證明，但通過觀察發現，它用因式分解的方法是比較難的，于是，我們就運用聯想來創造等式：

-（z-x）=（x-y）+（y-z）

等式兩邊分別平方就可以得到

（z-x）2=［（x-y）+（y-z）］2

再進行轉化化解得

（z-x）2-4（x-y）（y-z）=［（x-y）+（y-z）］2-4（x-y）（y-z）

即：

［（x-y）+（y-z）］2=0

從而得出：

x-y=y-z

最后就可以得到：

2y=x+z

這個例題就是運用接近聯想，創造一些條件使三者之間原本沒有直接聯系的式子產生一些接近結論的聯系，這樣就使原問題變得簡單化，也使題目變得流暢，進一步解決問題。由此得出，聯想思維在具體的解題過程中，可使問題的解決事半功倍。

三、聯想的培養

培養良好的聯想能力是十分重要的，那如何培養和創造聯想思維呢？首先，重視基礎知識，掌握各知識之間的聯系，掌握的知識越多，了解它們之間的關系越多，就容易展開聯想。將零散、孤立的知識信息迅速聯系和重組，從而產生有價值的信息。其次，展開自由聯想，進行沒有目的、方向，不受任何條件約束的聯想，但又要控制聯想，使聯想不離開解題的范圍，這就使解題思路開闊，容易解決。最后，運用聯想把問題進行推廣，舉一反三，使聯想得到發展。

總而言之，運用聯想的思想具有靈活性和多樣性的特點，沒有統一的模式可遵循，需要依據問題本身提供的信息，利用動態思維，去尋找有利于問題解決的途徑和方法，靈活地運用。學會聯想，尋求聯想的方法，達到解決問題的目的。善于聯想，能舉一反三、由此及彼、觸類旁通。