例談解三角問題的變換技能

葉新哲

三角變換的核心問題是“變”，三角問題中的化簡、求值、證明（等式或不等式）都需要進行恒等變形，只要變得適當，就有利于我們選用恰當的公式，簡捷地解題.

本文將常見的變換思路分析如下.

一、名變

在式中出現較多異名函數時，應盡量減少函數名稱，最好化為同名函數，以利于把握變換方向.

例1.已知：函數f（x）=tgx，x∈（0，），若x，x∈（0，）且x≠x，證明:［f（x）+f（x）］＞f（）.

證明：（tgx+tgx）=

==

∵x，x∈（0，）且x≠x

∴sin（x+x）＞0，cosxcosx＞0且0＜cos（x-x）＜1

從而有0＜cos（x+x）+cos（x-x）＜1+cos（x+x）

由此得（tgx+tgx）＞=tg

即［f（x）+f（x）］＞f（）

說明：切割化弦、弦化切割是名變中常用技巧.

二、變角

當三角函數式中出現較多異角時，應當盡量減少異角，同時，注意從角與角之間的關系入手，尋求解題捷徑.

例2.求的值.（1997年全國高考題）

分析：常規方法是先積化和差，整理后再和差化積，計算較繁雜，其實仔細觀察角的特點：

7°=15°-8°就有sin7°=sin（15°-8°）=sin15°cos8°-cos15°sin8°，同樣有

cos7°=cos15°cos8°+sin15°sin8°，代入原式整理得值為：2-.

說明：在分析角之間的關系時，還要注意用整體思想看待角之間的隱含關系，如：

2α=（α+β）+（α-β），α+β=2?=2［（α-）-（-β）］等，特別當兩角和或差為（k∈Z）時，注意使用誘導公式化為同角.

三、次變

當式中出現二次以上的三角函數時，可以考慮降冪.

例3.求函數y=+sin2x的最小值.（1994年全國高考文科題）

解：∵sin3xsinx+cos3xcosx

=sin3xsinx+cos3xcosx

=（sin3xsinx+cos3xcosx）-（sin3xsinx-cos3xcosx）?cos2x

=cos2x+cos2xcos4x=cos2x（1+cos4x）

=cos2x?2cos2x=cos2x

∴y=+sin2x=sin（2x+）

故當sin（2x+）=-1時，y有最小值-.

說明：有時為了消去角的差異還可以利用半角公式進行升次變換.

四、“1”的變

數“1”有很多特征，1在三角函數式中更有許多變形，巧用“1”的變形，也是三角變換中常用的技巧.

例4.已知＜x＜，cos（x+）=，求的值.

分析：從求值式子結構特點，可以啟發我們從分子中變換出與分母對偶的式子，利用1=tg消除角的差異.

解：∵＜x+＜2π，cos（x+）=

∴＜x+＜2π，sin（x+）=，tg（x+）=-

∴原式==sin2x?

=-cos2（x+）tg（x+）

=［1-2cos（x+）］?tg（x+）

=［1-2?（）］（-）=-

說明：常用的“1”的變換還有1=sinα+cosα，1=tgα?ctgα，1=secα-tgα，1=cos2α-2sinα等.

五、萬能變換

應用萬能公式，可以把α的六種三角函數變為tg的有理式，角與函數的差異都消去了，然后借用代數運算解決問題，應用是相當廣泛的.

例5.已知:0＜α＜π：求證：2sinα≤ctg，并討論α為何值時等號成立？

證明：令tg=t，0＜α＜π，知t＞0，利用萬能公式，原式化為：4??≤.

以t（1+t）＞0乘以兩端.問題轉化為證明：8t（1-t）≤（1+t）

化簡得：-9t+6t-1≤0，即：-（3t-1）≤0（*）

顯然上式成立.每步可逆，故原式成立.

（*）式中當且僅當3t-1=0，t=，即tg=，α=時等號成立.

說明：利用萬能公式將三角運算化為代數運算，可以促進條件、結論的轉化.

六、輔助變

在運算或證明某些三角問題時，巧妙地引用一些輔助元素或輔助式，可以達到簡捷、順利解題的目的.

例6.求函數y=sinx+2sinxcosx+3cosx的最大值.（1991年全國高考題）

解：構造原函數的對偶式z=cosx+2cosxsinx+3sinx

則y+z=4+sin2x，y-z=2cos2x

兩式相加得：y=2+sin（2x+）

所以函數的最大值為：.2+.

說明：若能構造恰當的對偶式，則不僅能使問題巧解妙證，有時還能取得出奇制勝的效果.

七、和積變

遇積想到化和差，遇和差想到化積，這是三角變換的常用思路之一.

例7.已知△ABC的三個內角A，B，C滿足A+C=2B，+=-，求cos的值.（1996年全國高考理科題）

解：由題設知B=60°，A+C=120°，A=120°-C

∴cos=cos（60°-C），cosB=

利用和差化積與積化和差公式，則：

由題設可知=-=-2

所以4cos（60°-C）+2cos（60°-C）-3=0

即［2cos（60°-C）-］［2cos（60°-C）+3］=0

因為2cos（60°-C）+3≠0，所以2cos（60°-C）-=0

所以cos（60°-C）=，即：cos=

說明：和積互化指和差化積與積化和差，靈活運用和積轉化，常常能找到有效的解題途徑.

八、題型變

把某些三角問題中的三角函數看成“代數變元”，做適當的代數變換，就可以把三角題型轉化為代數題型，運用相關的代數法則和公式，問題便能順利獲解.

例8.函數y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是?搖?搖.（1990年全國高考題）

分析：由sinx+cosx與sinxcosx的特殊關系，運用代數變換轉化為熟悉的二次函數在閉區間上的最值.

解：設sinx=m+n，cosx=m-n，sinxcosx=m-n，sinx+cosx=2m

由sinx+cosx=1得m+n=，即n=-m，其中m=（sinx+cosx），m∈［-，］

所以y=m-n+2m=2m+2m-=2（m+）-1

故當m=時，y=+.

說明：在三角問題轉化為代數問題時，不要忽視了“變元”的取值范圍.

九、數形變

利用構造幾何圖形實現數形變換，能借助圖形性質直觀簡捷的解決問題.

例9.求sin20°+cos50°+sin20°cos50°值.

分析：由問題的外形結構特征，可令我們聯想到余弦定理，進而設法構造三角形解之.

解：構造如圖所示的兩個三角形，使AB=1，∠ABC=20°，∠BAD=50°，則AC=sin20°，AD=cos50°

由于A，B，C，D四點共圓且直徑為1，故

CD=sin120°=

由余弦定理得：

sin20°+cos50°+sin20°cos50°=sin20°+cos50°-2sin20°cos50°cos120°=CD=

說明：本題也可采用輔助變，構造對偶式解，讀者可自行完成.

十、實虛變

有些問題，若已知條件呈現的結構條件，能聯想復數的三角形式，那么我們就可利用復數變換進行運算，即將實數運算轉化為復數運算.

例10.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，求tg（α+β）.（1990年全國高考題）

解：設z=cosα+isinα，z=cosβ+isinβ，

則：z+z=（cosα+cosβ）+i（sinα+sinβ）=+i

又由cosα+cosβ=，有+=

變形得：zz（-z-z）=z+z

所以zz===+i

又：zz=cos（α+β）+isin（α+β）

所以：cos（α+β）=，sin（α+β）=

故：tg（α+β）=

說明：實虛變換的目的是獲取簡捷的解法.