分析數(shù)量關(guān)系的“四招”

周云

摘要： 本文主要通過四種方法,即：借助線段圖、借助操作活動(dòng)、借助列表法、借助文字等式，闡述了如何幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，提高學(xué)生解決問題的能力。

關(guān)鍵詞： 數(shù)量關(guān)系線段圖操作活動(dòng)列表法文字等式

數(shù)量關(guān)系是數(shù)學(xué)問題的骨架。由應(yīng)用題到解決問題，不管題目呈現(xiàn)方式如何變化，只要其“根據(jù)已知條件解答相關(guān)問題”的本質(zhì)屬性不變，就必須引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系。根據(jù)《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》的要求，解決問題的教學(xué)過程既要重視引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)和提出問題，又要重視引導(dǎo)學(xué)生分析和解決問題，并獲得一些基本的方法。試想，一個(gè)搞不清數(shù)量之間關(guān)系的學(xué)生，怎么會(huì)提出問題、分析問題、解決問題呢？如果淡化了解題分析，弱化了數(shù)量關(guān)系，就會(huì)加劇“兩極分化”現(xiàn)象，尤其是隨著年級(jí)升高，會(huì)逐漸使一部分中等生淪為學(xué)困生。

數(shù)量關(guān)系的教學(xué)不再停留于傳統(tǒng)的應(yīng)用題教學(xué)中，新課標(biāo)下的數(shù)量關(guān)系，融入到不同的領(lǐng)域中，分析數(shù)量關(guān)系是解決問題的關(guān)鍵，教師應(yīng)運(yùn)用多種手段幫助學(xué)生提高分析數(shù)量關(guān)系的能力，下面我就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐談?wù)劷ㄗh。

一、借助線段圖分析數(shù)量關(guān)系

“線段圖”是思維過程的表征方式，具有直觀、形象、可操作的特點(diǎn)，學(xué)生在解決問題時(shí)可以借助線段圖羅列信息，分析數(shù)量關(guān)系，準(zhǔn)確地找出數(shù)量間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

“線段圖”能讓學(xué)生看見“數(shù)量關(guān)系”。例如人教版六年級(jí)上冊(cè)教學(xué)分?jǐn)?shù)解決問題P21例3：“人心臟跳動(dòng)的次數(shù)隨年齡而變化。青少年心跳每分鐘約75次，嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)比青少年多。嬰兒每分鐘心跳多少次？”可以借助線段圖：

讓學(xué)生利用“形”把問題情境中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系形象地描述出來，學(xué)生甲說：“嬰兒每分鐘心跳的次數(shù)包括與青少年同樣多的部分及比青少年多的部分?！睂W(xué)生很快地找到數(shù)量之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，滲透了對(duì)應(yīng)的思想。

學(xué)生乙說：“把青少年心跳的次數(shù)當(dāng)做單位‘1，嬰兒心跳的次數(shù)是青少年的（1+）?！币徽Z激起千層浪，學(xué)生的思維火花就在這時(shí)迸發(fā)出來，學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合的線段圖把數(shù)學(xué)問題中的數(shù)量關(guān)系清楚地呈現(xiàn)出來，剖析已知量與未知量之間的內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力，讓抽象的分?jǐn)?shù)問題更具體、明了。

“線段圖”是解決問題的有效工具，通過畫圖能直觀地顯示題意，有條理地表示數(shù)量，便于學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間的關(guān)系，從而形成解題的思路。

二、借助操作活動(dòng)分析數(shù)量關(guān)系

《課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)不能靠單純的模仿和記憶，動(dòng)手實(shí)踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式?！碧貏e是教學(xué)“空間與圖形”領(lǐng)域的數(shù)量關(guān)系，更注重引導(dǎo)學(xué)生在自主探索的過程中獲得知識(shí)和技能，掌握基本的數(shù)學(xué)思想和方法，讓學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”的活動(dòng)中經(jīng)歷數(shù)量關(guān)系的探究過程。

如教學(xué)人教版六年級(jí)下冊(cè)“圓柱的表面積”一課中，我在課前先讓學(xué)生收集圓柱體物體，再在課堂中組織以下操作活動(dòng)：（1）讓學(xué)生將標(biāo)簽剪下來，把圓柱的兩個(gè)底面按在卡紙上描出來再剪下來。（2）讓學(xué)生大膽猜測(cè)圓柱的表面積與剪下來的這些圖形有什么關(guān)系。（3）小組內(nèi)合作交流，自主探究，發(fā)現(xiàn)圓的側(cè)面積就是標(biāo)簽的面積，兩個(gè)底面積就是兩個(gè)圓形的面積。由于學(xué)生剪下的標(biāo)簽有兩種情況即平行四邊形和長(zhǎng)方形，因此教師要再引導(dǎo)學(xué)生將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，從而推導(dǎo)圓柱側(cè)面積的計(jì)算公式。這樣才能夠讓學(xué)生在自主探索的活動(dòng)中親歷數(shù)學(xué)知識(shí)的“再創(chuàng)造”過程，引導(dǎo)學(xué)生充分參與數(shù)量關(guān)系的探究過程，剖析圖形中數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。

再比如教學(xué)“圓錐的體積”，借助動(dòng)手操作讓學(xué)生將圓柱杯子中的水倒入與它等底等高的圓錐中，讓學(xué)生運(yùn)用知識(shí)的遷移理解，圓柱與等底等高圓錐體積之間的內(nèi)在聯(lián)系，幫助學(xué)生理解其中蘊(yùn)涵的數(shù)量關(guān)系。

三、借助列表法分析數(shù)量關(guān)系

從兒童的思維特點(diǎn)來看：小學(xué)生的思維是以具體形象思維為主，并逐步向抽象邏輯思維過渡，但是，這時(shí)學(xué)生的思維還是與直接經(jīng)驗(yàn)、感性經(jīng)驗(yàn)、形象材料相聯(lián)系的，需要直觀手段的支持。因此注重培養(yǎng)學(xué)生的形象思維能力，是幫助他們學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)知識(shí)的前提。特別是“數(shù)學(xué)廣角”中抽象思維的內(nèi)容較多，教師可利用實(shí)物圖表等直觀手段幫助學(xué)生理解問題情境，分析數(shù)量關(guān)系，感悟思想方法，提高學(xué)習(xí)效率。如人教版六年級(jí)上冊(cè)“雞兔同籠”例題：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù)，有8個(gè)頭，從下面數(shù)，有26只腳。雞和兔各有幾只？”為了讓學(xué)生理清數(shù)量關(guān)系，可以引導(dǎo)學(xué)生用列表法：

學(xué)生從列表中不難發(fā)現(xiàn)當(dāng)雞是3只，兔5只時(shí)才滿足“共有26只腳”的信息。通過直觀形象的列表幫助學(xué)生分析雞腳與兔腳之間的聯(lián)系，感悟數(shù)量關(guān)系，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

“列表法”是加工整理信息的表現(xiàn)形式，通過列表，學(xué)生能有意識(shí)地排除（或淡化）非數(shù)學(xué)的內(nèi)容和無關(guān)的數(shù)據(jù)，保留有價(jià)值的數(shù)學(xué)信息，把分散、零星的重要數(shù)據(jù)用列表的方式組織起來，讓一些較難發(fā)現(xiàn)的關(guān)系變得易懂明朗，從而有利于解決問題。

再如人教版六年級(jí)下冊(cè)總復(fù)習(xí)“數(shù)學(xué)思考”的例7：“六年級(jí)有三個(gè)班，每班有2個(gè)班長(zhǎng)。開會(huì)時(shí)，每次每班只要一個(gè)班長(zhǎng)參加。第一次到會(huì)的有A、B、C；第二次有B、D、E；第三次有A、E、F。請(qǐng)問哪兩位班長(zhǎng)是同班的？”這是一道比較復(fù)雜的邏輯推理問題，借助下面的列表讓學(xué)生比較容易逐步縮小范圍，找到六個(gè)人中哪兩個(gè)人是同班同學(xué)。

四、借助文字等式分析數(shù)量關(guān)系

數(shù)學(xué)是人們對(duì)客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進(jìn)行廣泛應(yīng)用的過程。數(shù)學(xué)作為一種普遍適用的技術(shù)，有助于人們收集、整理、描述信息，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而解決問題，直接為社會(huì)創(chuàng)造價(jià)值。

義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)課程，其基本出發(fā)點(diǎn)是促進(jìn)學(xué)生全面、持續(xù)、和諧發(fā)展。它不僅要考慮數(shù)學(xué)自身的特點(diǎn)，更應(yīng)遵循學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的心理規(guī)律，強(qiáng)調(diào)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，讓學(xué)生親歷將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，數(shù)學(xué)模型可以有效地描述自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象?；谝陨险J(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)數(shù)量關(guān)系的教學(xué)應(yīng)注重讓學(xué)生在實(shí)際背景中理解基本的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，注重使學(xué)生從實(shí)際問題中建立數(shù)學(xué)模型。前面已經(jīng)提到可以借助線段圖、動(dòng)手操作、列表等手段幫助學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系建立數(shù)學(xué)模型，在列方程解決問題時(shí)還可以讓學(xué)生用文字等式來描述已知量與未知量之間的數(shù)量關(guān)系，將情景中的生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，建立數(shù)量間的相等關(guān)系，最后根據(jù)文字等式轉(zhuǎn)化成符號(hào)語言（方程），實(shí)現(xiàn)等量關(guān)系模型化。如：人教版六年級(jí)上冊(cè)分?jǐn)?shù)除法解決問題中的例1：“兒童體內(nèi)的水分約占體重的，成人體內(nèi)的水分約占體重的，求小明的體重是多少千克？”這個(gè)問題，讓學(xué)生尋找與問題有關(guān)的量，即“兒童體內(nèi)的水分占體重的五分之四”，根據(jù)這一關(guān)系式讓學(xué)生寫出等式：小明的體重×=小明體內(nèi)水分的質(zhì)量。學(xué)生根據(jù)已有的知識(shí)用方程來解決問題，經(jīng)歷了由生活情景—數(shù)量關(guān)系—符號(hào)語言的建模過程，理解了題中的數(shù)量關(guān)系，提高了數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力。

以上談到的幾種分析數(shù)量關(guān)系的方法，幫助學(xué)生養(yǎng)成分析數(shù)量關(guān)系的習(xí)慣，掌握分析數(shù)量關(guān)系的方法，將使學(xué)生解決問題事半功倍。