對數學教學中幾個問題的思考

耿新華

英國學者Pual Ernest在《數學教育哲學》這本書一開頭就引述Thom的話說：“事實上，無論人們的意愿如何，一切數學教學法根本上都出于某一數學哲學，即便是很不規范的教學法也如此。”

“哲學”就是看法，數學哲學就是對數學的看法。十幾年數學教學的經歷使我對此深信不疑。我自己的“看法”就特別多，雖然也可能失之偏頗。

一、對數學的看法

我們教的是數學，天天在向學生“推銷”數學，也“推銷”自己對數學的看法。數學教育家波利亞把“不懂得你講的課題”作為數學教師“十誡”的第二誡，我理解這里的“懂得”，不僅是當前講授的內容，而且是整個學科的基本理論知識，以及對整個數學的看法，即數學觀。對中學數學教師來說，至少包含如下幾個方面。

一是對“數學真理性”的看法。傳統上認為，數學是精密的科學，是絕對的真理，是各種科學真理的典范。有誰能把3+2=5推翻呢?然而“非歐幾何”使“三角形內角之和為180°”成為相對真理；哥德爾的不完全性定理說明任何一個數學系統中總存在不能判定的命題（從而使希爾伯特的徹底形式化的計劃告吹）；悖論的出現，動搖了“一勞永逸地打好基礎”的信念。因此，我相信數學是可變的、可爭的相對真理。

二是對“數學是由什么構成”的看法。事實表明：“數學是由概念、真命題（結論）構成”的看法是片面的，而“數學是由知識和活動構成”的看法符合實際，這也使我們能夠在數學教學中，除了結論以外，更注重活動和過程，更注重“做數學”在學習中的作用。

三是對“數學的邏輯結構”的看法。我認為，“數學是純演繹體系”的看法（盡管很流行）是不對的，因為“定義—定理—例題”的純演繹教學不受學生歡迎，而“數學既有演繹的一面，又有歸納的一面”，是符合數學本性的。既教猜想又教證明，普遍受學生歡迎，觀察、實驗、歸納、類比、推廣等合情推理，有越來越多的教師用于教學，效果很好。

四是對“數學教學”的看法。以往只教“硬”數學，只關心它的工具性，而忽視它的人文價值，這是不正確的。

五是對“初等數學”的看法。以往認為初等數學（作為中學數學的主要背景和材源）是材盡能竭、發展停滯的學科。近年我國初等數學研究事業的發展證實了“初等數學是正在蓬勃發展的學科”的看法，這使得“發現法”、“探索式”的教學有了依據。

二、正確培養“數學觀念”

“數學觀念”就是人們通常所說的“數學頭腦”，它是指人們運用數學的思維方式去考慮問題、處理問題與解決問題的自覺意識或思維習慣。然而，在日常教學活動中，往往只注重了數學習題訓練的局部強化，而忽視了數學整體效能，忽視了數學觀念的正確形成。“數學觀念”的形成與培養，應該貫穿于教學過程的始終，教師應發揮主導作用。因為，對于“數學觀念”的形成與培養，“理解是基礎，培養是關鍵”。

由于數學具有概念的抽象性、推理的邏輯性、論證的嚴密性、知識的系統性，以及應用的廣泛性，因此在教學過程中，老師應當有意識地培養學生具有抽象意識、推理意識、應用意識和整體意識，從而使學生在數學的學習過程中汲取一種理性精神，形成一種數學文化，逐步積累而形成學好數學必須具備的“數學觀念”。

三、關于貫徹“二主方針”，即教師為主導，學生為主體

作為一條重要的教學指導思想，我認為至少要弄清兩層意思：一層是從現代認知學說上看，學習、認知是主體的自主建構，知識、能力、思想都是學習者在建構過程中發生的生理、心理變化的結果，是舊結構向新結構的轉化，是別人替代不了的。由此得出的一條原則是：在學習中，凡是學生自己能做的（或在教師恰當幫助指導下能做成的），都要讓學生自己去做。依此審視我們的許多教學措施，就會發現，有許多（如在課堂上缺乏針對性的大量講解，背著學生評試卷，判作業，等等）都是無效的（有的甚至是有害的，如老師背著學生判作業）教學措施。由此去認識現在提出的學生自主學習、合作學習、研究性學習、課堂討論式等，就會認識到是完全正確的，當然，必須有具體恰當的組織和操作形式。但是，由此便否定“講授”，也是不正確的。講授也有一系列優勢，可以是啟發式、探索式，也可以發動學生參與（通過問題或妙語，啟迪學生動口、動腦，留下懸念，引導學生進入較高的思維境界），講授可體現教師的教學技藝。在兩種形式下，教師都是在幫助學生這個主體親歷數學知識的發展過程。學生當演員，當主角，教師不過是導演、導游、教練。即使是“講授”，也不能喧賓奪主。

另一層更為重要，關系到培養什么人（主人還是奴隸）的問題。試想，如果我們不尊重學生的主體地位，他不學，強迫他；考不好，批評他；不交作業，懲罰他，那么久而久之，他就“忘記”了是為自己，為國家而學習的，而誤認為是為家長上學，為老師做題的。今天是學習的奴隸，明天也不會意識到自己是社會的主人，這是很嚴重的問題。

四、正確看待“解題訓練”

著名的數學教育家波利亞（Polya）非常重視學生的解題訓練。他把“解題訓練”作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑。在他的名著《怎樣解題》一書中，還特意列出了一張《解題表》（How to solve it）。其中心思想是談：在解題過程中應當如何誘發靈感，對解題過程中的“審清題意、尋求思路、制訂計劃、進行回顧”這四個步驟，作出了詳細的說明。對我們進行解題訓練的教學，有很大的指導意義。他特別強調探索法，在解題過程中，要合情推理，要學會猜想。

我們的數學教育需要一種帶有創新意義、貫穿數學思想方法的解題訓練。訓練必須因地制宜，因實際水平而異，要以“跳一跳，能把果子摘下來”為度，以培養與提高能力為主。顯然，波利亞所提出的“解題訓練”與現今盛行的“匹配題型+固定解法”、大運動量的“傻練”式的“題海戰術”是有根本區別的。為此，徐利治教授指出：“要培養一大批波利亞型的數學教師，要按照波利亞思想改革教學方法。”這應是我們的努力方向。應該看到，“題海”是人為的，是應試教育的產物。如今“題海”已客觀存在，我們不主張師生陷入其中。因為“題海”會使老師“發暈”而無所適從，會使學生“發憷”而疲憊不堪。這些狀況，都是我們不想也不希望看到的。我國的數學教學具有基礎知識教學、基本技能訓練和能力培養的傳統，我們應該發揚傳統，應該重新審視這種基礎知識、基本技能和能力的內涵，形成符合時代要求的新的“雙基”。刪減繁瑣的計算，人為技巧化的難題和過分強調細枝末節的內容，克服“雙基異化”帶來的傾向及由此“沖積而成的題海”。難道這不值得引起我們深思嗎？讓我們攜起手來，身體力行，返璞歸真，勇敢地跨出“題海”。

對數學教育中的一些問題進行了一番思考后，我感到：我們對教育方面的很多問題都還沒有全面了解。我相信：教育在發展、認識在提高，我們會理清思路，做出成績。