淺談微積分在土木工程上的應用

蔡顥

摘要文章在簡要介紹了微積分和土木工程兩個學科基本知識的基礎上，全面分析了兩者的內在聯系，并提出了微積分在土木工程學科領域的主要方面應用。

關鍵詞微積分木工程應用

1土木工程與微積分的概述

1.1土木工程與微積分二者的學科聯系

土木工程是建造各類工程設施的科學技術的統稱土木工程是建造各類工程設施的科學技術的統稱。隨著科學技術的進步和工程實踐的發展，土木工程這個學科也已發展成為內涵廣泛、門類眾多、結構復雜的綜合體系。微積分（Calculus）則指高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關概念和應用的數學分支。它是高等數學中的一個基礎學科。

兩者分屬不同學科，但在實踐中卻有著密切的聯系。為了便于理清兩者的關系，首先有必要簡單地介紹一下微積分和土木工程這兩個不同學科。

現在我們通常所說的土木工程，泛指用石、磚、鋼材、木材、合金材料及塑料等材料在地球表面的土層或巖層上建造起來的與人類生活、生產活動有關的工程設施。土木工程設施的類型包括建筑工程、公路與城市道路工程、鐵路工程、橋梁工程、隧道工程、水利工程、港口工程、給水排水工程、環境工程及海洋工程等。①土木工程是一門學科，稱為“土木工程學”，它運用數學、物理、化學等基礎學科知識和力學、材料科學等技術科學知識，以及“土木工程學”方面的工程技術知識等來綜合研究工程的設計原理、施工技術和實施手段。

微積分（Calculus）是高等數學中研究函數的微分（Differentiation）、積分（Integration）以及有關概念和應用的數學分支。它是高等數學中的一個基礎學科。其內容主要包括極限、微分學、積分學及其應用。微分學主要包括求導數的運算，是一套關于變化率的理論。它使得函數、速度、加速度和曲線的斜率等均可用一套通用的符號進行討論。積分學，則包括求積分的運算，為定義和計算面積、體積等提供一套通用的方法。

通過上述的介紹，我們已清楚地知道在土木工程項目的前期計算、施工過程與工程造價中是無法離開微積分的。只有通過微積分的科學而具體的計算，才能使土木工程項目的具體實踐活動變得更加精確、具體、高效和科學。

1.2微積分的發展歷程

微積分起源與古代。在公元前三世紀，古希臘的阿基米德在研究解決拋物弓形的面積、球和球冠面積、螺線下面積和旋轉雙曲體的體積的問題中，就隱含著近代積分學的思想。我國戰國時期的《莊子·天下篇》一書中也有“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”之說。②三國時期的劉徽在他的割圓術中也提到“割之彌細，所失彌小，割之又割，以至于不可割，則與圓周和體而無所失矣。”這些都是樸素的、典型的極限概念。

到了十七世紀，許多科學問題需要用微積分來解決，歸結起來，主要有四種類型的問題：第一類是研究運動的時候直接出現的，也就是求即時速度的問題；第二類是求曲線的切線問題；第三類問題是求函數的最大值和最小值問題；第四類是求曲線長、曲線圍成的面積、曲面圍成的體積、物體的重心、一個體積相當大的物體作用于另一物體上的引力問題。

十七世紀的許多著名的數學家、天文學家、物理學家都為解決上述幾類問題作了大量的研究工作，從而為微積分的創立做出了貢獻。例如，1666年牛頓建立了“反流數術”，即現在的積分法，同年，牛頓將他的研究成果整理成一篇總結性的論文《流數簡論》，確定了現代微積分的基本方法。這篇文獻是歷史上第一篇系統的微積分文獻。而德國數學家萊布尼茲則在系統研讀了笛卡爾、費馬、帕斯卡等人的著作，從巴羅的“微分三角形”開始了微積分的研究工作，創立“無窮小算法”。牛頓與萊布尼茲兩位數學家最大的功績就是把兩個貌似毫不相關的問題聯系在一起，一個是切線問題（微分學的中心問題），一個是求積問題（積分學的中心問題）。19世紀初，法國科學學院的科學家以柯西為首，對微積分的理論進行了認真研究，建立了極限理論，后來又經過德國數學家維爾斯特拉斯進一步的嚴格化，使極限理論成為了微積分的堅定基礎。

微積分發展為越來越復雜的土木工程項目提供了科學的運算手段。

2微積分在土木工程中的具體應用

目前，在某些大學中的土木工程專業本科培養計劃中，其主要課程設置包括大學數學、大學物理、理論力學、材料力學、結構力學土力學、土木工工程制圖、混凝土結構設計原理、鋼結構設計原理、土木工程施工等。其中，專業基礎課中必修課有8門，與微積分有密切聯系的占了4門，專業課程共有8門，同樣有4門與微積分密切相關（測量學、結構力學、土力學、房屋建筑學等）。③不僅如此，只要我們上網瀏覽一下相關高校的土木工程本科培養計劃就會發現，幾乎所有大學的土木工程專業本科培養計劃中的課程設置都離不開微積分和三大力學（理論力學、材料力學和結構力學）。

2.1微積分在土木工程中的建筑設計的作用

目前，我們可以毫不夸張地說，微積分貫穿于每一項具體的土木工程項目之中。例如，在建筑的設計過程中，一些長度較大的跨江或跨海大橋，以及高速公路、高速鐵路等，它們的設計會因為地形或地勢的原因，從而無法避免地出現彎道和有弧度的路面、護坡剖面、隧道。在這種情況下，如何去計算道路建造的長度和開挖土方量等？很顯然，在橋梁、隧道或道路修好后，再去現場測量是不現實的。正因為如此，在每一個土木工程項目施工前，就必須科學編制一個詳細的項目施工說明書（或招投標書）。而要編制該項目書，就必須用到微積分的相關知識，對每一路段、橋涵或標段的圓弧進行積分，將一小段的圓弧取極限，將它們看作是一段直線，最后對各個小直線進行相加，以此來算出總的彎道和弧度長度，從而科學計算出總工程量，以便招投標和科學施工。

另外，某些建筑物的殼體型屋頂，它在每一高度下應該彎曲多大的角度，也會用到微積分中多元求導的知識。例如，法國巴黎國家工業與技術展覽中心大廳的混凝土薄殼結構是當今世界上跨度最大的薄殼結構。它平面呈三角形，邊長219米，殼體離地46米，是雙洪波拱體，支撐在三角部墩座上，墩座由預應力拉桿而成。在它的設計過程中，就必須考慮到在不同的高度其x、y，還有z方向的彎曲角度。此時就必須用到微積分中的多元求導的知識。在室內的旋轉樓梯中，因為對與樓梯的總高度與旋轉的總角度是由于具體的施工場所而決定的。但是，在具體的施工過程中，其具體在某一個高度它的旋轉角度數值大小，同樣需要用微積分知識來計算出來。所以微積分關于對長度和弧度等計算在土木工程是非常有用的。

2.2微積分在建筑結構荷載方面的應用

建筑物的荷載主要為恒載、可變荷載、風荷載以及地震作用幾大部分。④

恒載：房屋是由承重的結構構件（如基礎、柱、墻、梁、板等）和一些非結構構件（如樓地面面層、屋面保溫防水層、頂棚、墻面上的門窗及抹灰層等）構成的。在工程中將這些由結構構件和非結構構件的自重所引起的荷載叫恒載或永久荷載。

可變荷載：建筑物除了承受恒載之外，還會受人群、家具、儲存物等可變荷載，其作用的位置均可隨時間而改變。

風荷載：風的作用是不規則的，風對建筑物的影響會隨風速、風向的變化而不停地改變。而建筑物在這種波動風的作用下往往會產生晃動。

地震作用：地震會引起的地面運動，并通過房屋影響到上部的建筑結構。地震時所產生的地基水平、垂直運動形態，會使建筑物受到破壞性影響，如同站在地毯上的人受到某種力的作用而不由自主地搖晃。⑤

例如，在杭州灣跨海大橋的設計時，它的北航道橋為主跨448m的鉆石型雙塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，南航道橋為主跨318m的A型單塔雙索面鋼箱梁斜拉橋，由于它采用了斜拉橋的建筑工藝來建造道橋。對于橋面的支撐由許多鋼索來完成，對于每一根鋼索的受力大小，作建筑設計和施工工程中都需要用微積分來精確計算。此外，在水利工程中的拱壩修建施工，因拱壩是平面上呈凸向上游的拱形擋水建筑物，借助拱的作用將水流壓力的全部或部分傳給河谷兩岸的基巖。與重力壩相比，在水壓力作用下壩體的穩定不需要依靠本身的重量來維持，主要是利用拱壩兩端基巖的反作用來支承。所以對于壩體單位迎水面積的應力大小的計算，也是通過數學中的極限來進行計算的。當然，通過微積分對建筑的荷載進行受力分析時，我們還需要用到物理學中的“結構力學”相關知識。但不管怎樣，在土木工程項目設計和施工中的具體求解時，微積分就是我們最有力的工具。

微積分在土木工程項目設施和施工中發揮著舉足輕重的作用，它從建筑目標的測量到工程量計算，到建筑物的外形設計，再到建筑物荷載的分析等等都離不開微積分這一科學的技術支撐手段。而現代建筑正是因為有了微積分這一技術支撐手段，才使我們的土木工程項目設計和施工變得更加準確和科學，從而也使我們建造的建筑物更加安全、舒適、美觀、環保和低碳！