高中數(shù)學(xué)函數(shù)與方程的思想探析

陳一君

摘 要：函數(shù)與方程的思想是高中數(shù)學(xué)的重要思想方法之一。函數(shù)的思想即將方程及不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，借助函數(shù)的圖像及性質(zhì)進(jìn)一步解決問題；方程的思想是把y=f（x）函數(shù)看做方程f（x）-y=0的問題，利用方程進(jìn)一步研究。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；函數(shù)思想；方程思想

一、知識(shí)內(nèi)容

1. 函數(shù)的思想

就是利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析問題，通常將一些方程、不等式的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題。具體體現(xiàn)有求方程的根的問題、不等式恒成立的問題，特別是一些超越方程或超越不等式中，巧用函數(shù)的思想，會(huì)使問題迎刃而解。

2. 方程的思想

就是把函數(shù)構(gòu)造成方程，利用方程進(jìn)一步研究方程的思想。具體體現(xiàn)有求函數(shù)的值域的問題、解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，都可利用解二元方程組來巧妙解決。

二、典例分析

1. （題型1）構(gòu)造函數(shù)，并利用函數(shù)的圖像和性質(zhì)來解決有關(guān)問題

例1 若x1滿足2x+2x=5，x2滿足2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值。

分析：方程2x+2x=5與方程2x+2log2（x-1）=5都是超越方程，其中方程的根都是不能直接求解，所以應(yīng)找到兩個(gè)方程之間的聯(lián)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的思想來解答。

解：由2x+2x=52x=5-2x2x-1=-x…（1）

2x+2log2（x-1）=52log2（x-1）=5-2xlog2（x-1）=-x… （2）

由（1）式知x1可以看做函數(shù)y=2x-1與函數(shù)y=-x的產(chǎn)生的交點(diǎn)A的橫坐標(biāo)；

由（2）式知x2可以看做函數(shù)y=log2（x-1）與函數(shù)y=-x產(chǎn)生的交點(diǎn)B的橫坐標(biāo)。

而y=2x-1與y=log2（x-1）分別由y=2x與y=logx同時(shí)向右平移一個(gè)單位得到y(tǒng)=2x與y=logx函數(shù)圖像關(guān)于y=x對稱，即y=2x-1與log2（x-1）函數(shù)圖像關(guān)于y=x-1直線對稱。因?yàn)閥=x-1與y=-x互相垂直，其交點(diǎn)C坐標(biāo)為（，），同時(shí)A、B兩點(diǎn)關(guān)于C點(diǎn)對稱，所以x1+x2=2×=。

點(diǎn)評：本例由已知方程構(gòu)成函數(shù)，巧用指對函數(shù)圖像的對稱性來巧妙地解決問題。

變式：設(shè)a，b∈R且（a-1）3+2002（a-1）=-1，（b-1）3+2002（b-1）=1，求a+b的值。

分析：觀察已知條件中結(jié)構(gòu)形式，構(gòu)造函數(shù)f（x）=x3+2002x，有f（a-1）=-f（b-1），知y=f（x）為奇函數(shù)且y=f（x）在R遞增的，f（a-1）=f（1-b）a-1=1-ba+b=2。

例2 設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對滿足的一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍。

分析：不等式f（x）≥g（x）恒成立，往往都是構(gòu)造F（x）=f（x）-g（x），往求F（x）min，使得F（x）min≥0，即可達(dá)到解決問題的目的。若構(gòu)造二次函數(shù)F（x）=2x-1-m（x2-1），m∈[-2，2]，往求F（x）min，利用分類討論思想較為復(fù)雜化，若變換以m為主元，x為輔元，即一次函數(shù)F（m）=（x2-1）m-（2x-1），-2≤m≤2，往求F（m）max，即可使得F（m）max<0。

只要f（-2）<0f（2）<0-2（x2-1）-（2x-1）<02（x2-1）-（2x-1）<0

∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為（，）。

點(diǎn)評：本例將不等式恒成立問題構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)巧妙解決問題。

2. （題型2）建立方程，利用方程的思想解決有關(guān)問題

例3 如果函數(shù)y=的最大值是4，最小值是-1，求實(shí)數(shù)的值。

分析：函數(shù)y=的定義域?yàn)镽，值域?yàn)?1≤y≤4，由y=轉(zhuǎn)化為yx2-ax+y-b=0關(guān)于x的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，使用到別式。

解：y=定義域?yàn)镽yx2-ax+y-b=0有實(shí)數(shù)根 （-a）2-4y（y-b）≥04y2-4by-a2≤0。

∵-1≤y≤4，∴4y2-4by-a2-=0產(chǎn)生有兩根-1，4。

∴-1+4=-1+4=a=±4b=3。

點(diǎn)評：本例巧妙地將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程根的問題解決問題。

例4 已知函數(shù)f（x）=ax+x2-xlna（a>0，a≠1）。

（1）當(dāng)a>1時(shí)，求證：函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增。

（2）若函數(shù)y=f（x）-t-1有三個(gè)零點(diǎn)，求的值。

分析：函數(shù)y=f（x）-t-1有三個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化方程f（x）-t-1=0有三個(gè)根，再轉(zhuǎn)化成f（x）=t±1方程有三個(gè)根，再轉(zhuǎn)化成函數(shù)y=f（x）與函數(shù)y==t±1有三個(gè)交點(diǎn)，利用函數(shù)與方程思想相互轉(zhuǎn)化。

解：（1）f'（x）=axlna+2x-lna=（ax-1）lna+2x。

∵x>0，a>1，∴ax>1，ax-1>0，lna>0，2x>0。

∴（ax-1）lna+2x>0，即f'（x）>0。∴y=f（x）在（0，+∞）是單調(diào)遞增的。

（2）函數(shù)y=f（x）-t-1有三個(gè)零點(diǎn)？圳方程f（x）-t-1=0有三個(gè)根？圳f（x）=t±1方程有三個(gè)根？圳函數(shù)y=f（x）與函數(shù)f=t±1有三個(gè)交點(diǎn)。

由（1）式知當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，∵f'（x）=（ax-1）lna+2x，當(dāng)a>1時(shí)，若x<0時(shí)ax-1<0 lna>0，2x<0，∴（ax-1）lna<0，f'（x）<0。

∴當(dāng)a>1時(shí)，y=f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減。

當(dāng)00時(shí)，ax-1<0 lna<0，2x>0，∴（ax-1）lna<0，f'（x）>0。

當(dāng)a>1時(shí)，y=f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞增。

當(dāng)00 lna<0，2x<0。

∴（ax-1）lna<0，f'（x）<0。

當(dāng)0

∴y=f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增。

∵y=f（x）與y=t±1有三個(gè)不同的交點(diǎn)，又∵t+1>t-1，∴y=t-1=f（0）=1時(shí)，且t=2時(shí)滿足要求。

∴t=2。

點(diǎn)評：本例巧妙利用函數(shù)與方程相互轉(zhuǎn)化的思想解決問題。

總之，函數(shù)與方程的思想在高中數(shù)學(xué)中是一種非常重要的思想和方法，涉及的知識(shí)點(diǎn)多，也是高考考查的重點(diǎn)，我們只有教會(huì)學(xué)生去分析問題、轉(zhuǎn)化問題，才能達(dá)到解決問題的目的。

（南昌大學(xué)附中）