數(shù)學(xué)解題的實(shí)踐與思考

陳旺

喬治·波利亞的“怎樣解題表”告訴我們，解題有“弄清問題”“擬訂計(jì)劃”“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”“回顧”四個(gè)步驟。這四個(gè)步驟是宏觀的解題程序，“弄清問題”就是理解題意，是認(rèn)識問題、并對問題進(jìn)行表征的過程，它是成功解決問題的必要前提，它在解題中具有優(yōu)先地位；“擬訂計(jì)劃”的過程是探索解題思路的發(fā)現(xiàn)過程，是找出條件與結(jié)論之間的聯(lián)系的過程，是解題過程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)和核心內(nèi)容；“實(shí)現(xiàn)計(jì)劃”就是把明確的解題思路具體表達(dá)出來，雖然是解題過程的主體工作，但是相對較容易；“回顧”是最容易被忽視的階段，它并不完全是 “檢驗(yàn)”，主要是有分析地領(lǐng)會(huì)所得的解法，回顧解題過程和求解的結(jié)果，并且試圖更好地利用它。下面，是數(shù)學(xué)解題實(shí)例的分析。

例1：甲、乙分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，兩人相遇在離A地10千米處。相遇后，兩人速度不變，繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)B、A后返回，又相遇在離B地3千米處，求A、B兩地間的距離。

解析：第一，弄清問題。①題目的條件是什么，一共有幾個(gè)條件，其數(shù)學(xué)含義分別是什么。②題目的結(jié)論是什么，一共有幾個(gè)結(jié)論，其數(shù)學(xué)含義分別是什么。結(jié)論一個(gè)，是明確給出的，求A、B兩地間的距離（我們可設(shè)A、B兩地間的距離為x千米）。③題目中的條件和結(jié)論之間有什么聯(lián)系，是一種什么樣的結(jié)構(gòu)。④題目中的條件和結(jié)論之間有什么差異，是一種什么樣的“目標(biāo)差”。能找到的關(guān)系式是2個(gè)（第一次相遇前后的路程、速度、時(shí)間的關(guān)系），而未知的量有3個(gè)（甲的速度、乙的速度、A、B兩地間的距離），我們的目標(biāo)是求A、B兩地間的距離。思考：如何減少目標(biāo)差，直至消除目標(biāo)差？

第二，擬訂計(jì)劃。根據(jù)結(jié)構(gòu)1，我們可以得到以下一些關(guān)系式。

①=或（ν+ν2）=x（第一次相遇前的路程與速度的關(guān)系），②=（第一次相遇后的路程與速度的關(guān)系），③=（整個(gè)行程的路程與速度的關(guān)系）。根據(jù)結(jié)構(gòu)2，我們可以得到以下一些關(guān)系式：===。根據(jù)結(jié)構(gòu)3，我們可以得到以下關(guān)系式：x+3=10×3或3（x-10）=2x-3。

第三，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃。根據(jù)結(jié)構(gòu)1的關(guān)系式①②③，可以任意選取其中兩個(gè)方程組成方程組，得到三個(gè)（也可說六個(gè)）“形異質(zhì)同”的方程組。解得ν2=1.7ν1，代入得x=27。根據(jù)結(jié)構(gòu)2的關(guān)系式可以得到三個(gè) “形異質(zhì)同”的關(guān)于x方程。解得x1=0（不合題意，舍去），x2=27。根據(jù)結(jié)構(gòu)3得到方程：x+3=10×3或3（x-10）=2x-3。解得x1=27。

第四，回顧。思考1：如何找到解題的方案呢？如何找到更好的解題方案呢？思考2：解方程組的過程中如何減少目標(biāo)差，直至消除目標(biāo)差？思考3：通過這個(gè)解題實(shí)踐積累了哪些數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)？思考4：審題時(shí)的理解更深刻，解答時(shí)的過程就更簡明。揭示問題的深層結(jié)構(gòu)，使問題的實(shí)質(zhì)接近熟悉的類型，有利于問題的解決。

結(jié)束語：我們不要單純解題，要通過解題獲得新知識和新技能，把解題變?yōu)橐粋€(gè)全新的學(xué)習(xí)過程。通過對解題過程深入分析，總結(jié)出一般方法或模式，使得在以后解題時(shí)有所啟發(fā)。我們希望通過解題教學(xué)，教會(huì)學(xué)生“學(xué)會(huì)解題”。

（寧都縣第二中學(xué)）