高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的思考和對策

季小冬

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)連接各個知識點的橋梁，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，也是重難點知識之一，因此學(xué)好函數(shù)是進一步學(xué)好高中數(shù)學(xué)的奠基石.高中函數(shù)教學(xué)內(nèi)容較多，課堂密度較大，教學(xué)進度要求很緊，知識面牽涉較廣，很多題目存在較大的難度，這些問題在教學(xué)時都較難把握.面對高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)出現(xiàn)的這些新問題和新的變化，我們需要進一步思考高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)的對策.

一、新課標對高中函數(shù)教學(xué)內(nèi)容的新要求

《高中數(shù)學(xué)新課標》中關(guān)于函數(shù)部分的內(nèi)容，加強了對函數(shù)概念定義和函數(shù)應(yīng)用的新要求，要求使學(xué)生通過豐富的教學(xué)實例，進一步認識函數(shù)是由變量變化而發(fā)生變化的重要的數(shù)學(xué)模型；同時要讓學(xué)生通過實例去體會不同函數(shù)類型的含義.例如，高中數(shù)學(xué)新課標在《高中數(shù)學(xué)大綱》的基礎(chǔ)上對函數(shù)的定義域、函數(shù)值域等以前較為困難的定義進行了淡化，也不再過于強調(diào)反函數(shù)的概念，只要求學(xué)生知道指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，a≠1）與對數(shù)函數(shù)y=logax（a>0，a≠1）互為反函數(shù)就可以了，目的是使學(xué)生更好地理解函數(shù)的基本思想方法和實質(zhì).

二、高中數(shù)學(xué)函數(shù)教學(xué)實例分析

（一）函數(shù)的奇偶性

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的一個重要性質(zhì).我們在教學(xué)中可以先概括出函數(shù)奇偶性的準確定義，隨后再進一步通過例題講解分析出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性之間的關(guān)系.

例 已知函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（-∞，0）上是減函數(shù).基于此，判斷f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)還是增函數(shù).

解 由于偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，故猜想f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，證明如下：

任意取值x1>x2>0，則-x1<-x2<0.

∵f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，∴f（-x1）>f（-x2）.

又 f（x）是偶函數(shù)，∴f（x1）>f（x2）.

∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù).

例題點評 這道題主要是要先結(jié)合圖像的特征，然后進一步找出奇函數(shù)或偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上的單調(diào)性的關(guān)系.

（二）方程根與系數(shù)的關(guān)系

例 設(shè)二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+c（a>0），方程f（x）-x=0的兩個根x1，x2滿足0

（Ⅰ）當(dāng)x∈（0，x1）時，證明：x

（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）的圖像關(guān)于直線x=x0對稱，證明：x0

解 （Ⅰ）首先要證明x

∵x1，x2是方程f（x）-x=0的根，f（x）=ax2+bx+c，

∴f（x）=a（x-x1）（x-x2）.

由于00.

又 a>0，則得出g（x）>0，即f（x）-x>0.∴x

根據(jù)韋達定理，有x1x2=c[]a，∵0

根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)y=f（x）在閉區(qū)間[0，x1]上的最大值在x=0或x=x1；由于f（x1）>f（0），所以當(dāng)x∈（0，x1）時，f（x）

（Ⅱ）∵f（x）=ax2+bx+c=ax-b[]2a2+c-b2[]4，（a>0），函數(shù)f（x）圖像的對稱軸為直線x=-b[]2a，并只有一條對稱軸，∴x0=-b[]2a.

∵x1，x2是二次方程ax2+（b-1）x+c=0的根，根據(jù)韋達定理，得x1+x2=-b-1[]a.

∵x2-1[]a<0，

∴x0=-b[]2a=1[]2x1+x2-1[]a

解析 由題意可以聯(lián)想到：方程f（x）-x=0可變?yōu)閍x2+（b-1）x+1=0，它的兩根為x1，x2，可得到x1，x2與a，b，c之間的關(guān)系式，因此利用韋達定理，結(jié)合不等式的推導(dǎo)，順利地解決這道題.

三、有效提高函數(shù)教學(xué)效果的幾點建議

（一）多注意新課程的全套教材

我們在高中數(shù)學(xué)函數(shù)的教學(xué)中應(yīng)要注意研究新課程標準和教材的編寫意圖，還要對其他版本的教材進行橫向比較，了解各學(xué)段函數(shù)部分的教學(xué)內(nèi)容與要求以及前后教學(xué)內(nèi)容的銜接，進而在教學(xué)中充分了解當(dāng)前的教學(xué)活動要從哪里開始，用什么樣的教學(xué)方法提高教學(xué)效果等.

（二）注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)

學(xué)生的數(shù)學(xué)思維是衡量其數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標志之一，數(shù)學(xué)思想的強化有助于學(xué)生在數(shù)學(xué)知識和方法上更高層次的提升.因此我們在進行高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識的教學(xué)時，應(yīng)當(dāng)同時注重對學(xué)生數(shù)學(xué)思維的滲透和培養(yǎng).例如，我們可以通過分類思想的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴密性和全面性；通過數(shù)形結(jié)合的思想進一步闡述二次函數(shù)、一元二次方程與一元二次不等式這三者之間存在的聯(lián)系，將文字表述、圖形或模型等數(shù)學(xué)方法，相互轉(zhuǎn)換并在每節(jié)課中滲透，讓學(xué)生體會函數(shù)與方程的“形”與“數(shù)”、“整體”與“局部”的內(nèi)在聯(lián)系，讓學(xué)生站在數(shù)學(xué)思想的高度處理函數(shù)問題，這樣有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法，有效地提高教學(xué)效果.