高等數學實驗教學的設計與研究

楊雯靖

【摘要】基于高等數學教學改革以及素質教育的要求，說明了開展高等數學實驗教學的必要性，研究了高等數學實驗教學設計與實施方案，針對實驗教學中的具體問題進行了思考.

【關鍵詞】高等數學；數學實驗；教學模式；素質教育

數學實驗是在高等數學教學改革和素質教育的形勢下提出的將數學知識、數學建模與計算機應用三者融為一體的教學模式.開展高等數學實驗教學，適應21世紀人才培養對高等數學教學的新要求.

一、高等數學實驗教學的必要性

在高等數學的完美公理體系下，發現問題、處理問題、解決問題的思維軌跡常被掩蓋，學生在學習中感到被動.數學實驗拋開抽象的數學定理、公式的證明，利用可操作的程序，使學生在自己的探索實踐中體驗數學思維軌跡，對數學現象進行觀察、研究和分析，從而發現數學規律，建立數學模型，完整地模擬一個基本數學問題的解決.這不僅加深了對理論知識的理解，而且也培養了學生獨立思考并解決問題的能力.同時，隨著現代科學技術的發展，大量新興的數學方法在科學研究和生產管理等領域中被成功地應用，利用數學實驗這種方式可以培養學生應用數學的能力.所以，數學實驗能使學生更好地掌握數學知識，有利于培養學生的創新思維能力和數學實踐能力，提高學生的數學素質及綜合素質.

二、高等數學實驗教學的設計與實施

1備叩仁學實驗教學的基本原則

在高等數學教學中，理論教學強化數學概念與定理的講授，而實驗教學則側重于學生應用數學的能力、數學軟件的操作能力以及創新能力的培養.教師應將實驗教學與理論教學融為一體，針對教學相關內容選擇實驗內容，將實驗作為輔助教學手段，幫助學生更好地理解所學理論知識.教師在設計實驗時，應以循序漸進為原則，涉及的數學知識盡量不要超過學生學習的范疇，實驗盡量與專業相關，具有一定的實際背景和應用價值，讓學生在實驗中體會到理論和實踐的相互作用.隨著課程的深入，應逐漸增加案例的深度，實驗要具有一定的開放性，讓學生逐步學會從實際問題中提煉出數學模型.高等數學實驗教學強調以“學生為主、教師為輔”的原則，學生對問題進行分析思考，獨立地利用計算機去編程、計算，教師只起著組織和指導的作用，這樣才能使學生體驗問題解決的全過程，從實驗中探索數學的規律性.

2備叩仁學實驗教學設計

（1）軟件條件

開設以算法設計、數據處理和初步的數學建模為主體的高等數學實驗課，首先應選擇合適的、功能齊全的數學軟件平臺.應用較多的是Maple、MATLAB、MathCAD和Mathematica軟件，其中，Mathematica把數值和符號運算結合起來，可以方便地作出函數的圖形，具有安裝快、啟動快的優點，比較適用于高等數學的實驗教學.

（2）編寫高等數學實驗教材

我校高等數學實驗課程尚屬建設階段，現用的數學實驗教材并不適用于計算機基礎知識及高等數學知識較為欠缺的大學一年級學生.為此，一方面，我們在自編高等數學教材中，針對具體內容，如函數的極限、導數、微分、積分、函數作圖以及微分方程求解等，穿插玀athematica編程計算的內容；另一方面，我們還編寫了適用于一年級學生的《高等數學實驗》講義，它主要包括玀athematica軟件速成及八次（16學時）實驗兩部分內容，其中第一部分比較系統地介紹了玀athematica軟件的常用方法，第二部分的每次實驗都有完整的實驗內容、步驟及練習思考，有效地保證了高等數學實驗教學的順利進行.

（3）高等數學實驗教學內容

高等數學實驗分為基礎實驗、探索性實驗和綜合實驗三個部分.基礎實驗主要包括計算、驗證、演示和模擬實驗.其中，計算實驗可以通過數學軟件求極限、導數和積分等.驗證試驗可以實現數學定理、公式的計算機證明，例如驗證兩個重要極限及牛頓—萊布尼茨公式等.演示實驗可以直觀地演示各種靜態和動態的圖形，將難以講解的數學規律呈現出來.模擬實驗可以模擬一些數學概念的形成過程和結果，使數學變得具體化，例如模擬數列和函數的極限等.探索性實驗是讓學生運用數學知識和實驗知識，獨立地研究一些與專業相關的小案例，設計算法，編制相應的程序來實現，從而體會其蘊含的基本數學思想和方法.綜合實驗是以高等數學為核心向邊緣學科發展，可涉及微分幾何、數值方法、數理統計、組合與圖論、微分方程、運籌與優化等.具體以學生的專業為背景，設計一些綜合的實際應用型案例，其內容可以取自科學研究中的基礎問題和工業、農業、工程、經濟、軍事、管理、生活等各領域的實際問題，選擇時應遵循可接受性、實用性、開放性等原則，讓學生體驗數學實驗的全過程.

利用玀athematica軟件，結合自編的高等數學教材和講義，我們在高等數學教學中安排了八次實驗，共16課時，分兩個學期開展.實驗一介紹數學軟件的使用方法，然后介紹一元函數的作圖方法、求函數值、方程與方程組的解法、不等式與不等式組的解法等等.實驗二介紹用數學軟件求極限、無窮小的階、函數的導數、函數的微分以及函數的極值等.實驗三介紹用數學軟件進行函數的積分運算和求微分方程的解，并掌握用定積分和微分方程解決實際問題的方法.實驗四結合前面的理論知識及實驗，給出幾個小案例，教師分別闡述背景知識，讓學生利用已有的數學知識和數學軟件，自己編程，提出問題的解決方案.實驗五用數學軟件演示多元函數作圖，介紹如何求偏導數、全微分，演示曲面及其切平面，討論多元函數的極值、二重積分.實驗六介紹如何計算三重積分、曲線積分和曲面積分.實驗七介紹級數的運算、級數的收斂性和函數的逼近.實驗八屬于探索性和綜合性實驗，通過前期的積累，教師給出實際案例，讓學生獨立思考，解決問題.同時，結合學生的專業背景，討論近年來數學建模培訓及競賽的相關選題，讓學生體驗從實際問題建立數學模型，然后利用數學實驗方法解決問題的過程，將數學模型教學進一步融入高等數學理論教學中.這八次高等數學實驗課，既實現了對高等數學理論教學的有益補充，又培養了學生的實踐能力，基本滿足了高等數學理論課與實驗課的教學要求.

3備叩仁學實驗教學的實施

數學實驗教學模式是以問題為載體、以計算機為手段、以軟件為工具、以學生為主體的一種創新教學模式.高等數學實驗教學模式主要有兩種，一種是將數學實驗融入高等數學的教學之中；另一種是單獨開設數學實驗課，進行系統的講解和上機實驗.無論是哪種模式，基本都包括以下環節：

（1）教師通過計算機演示實驗目的，并提出實驗課題.

（2）教師講解實驗中問題的背景、相關的數學理論和實驗方法.

（3）組織學生分組討論，學生通過自主探究和協作學習，設計求解的方案，探討解決問題的數學模型和算法，并進行討論交流.

（4）在教師的指導下，利用相關的數學軟件或通過計算機編程進行計算，對所得數據進行分析，找出可能存在的規律，并給出嚴格的論證，完成相應的實驗報告或實驗論文.實驗報告是實驗的成果體現，它包括實驗目的和要求、實驗內容、實驗方法和步驟、數據記錄和分析、實驗結果的分析和總結以及教師評價等內容.實驗論文類似研究論文，包括題目、摘要、正文、參考文獻等部分.基礎實驗一般采用實驗報告的形式，而綜合實驗則以實驗論文的形式為主.

4備叩仁學實驗課的考核

為了確保高等數學實驗課的教學效果，課程結束時可對學生進行適當的考核.實驗課的考核可與理論課的考核相結合，占該課程總成績的15%左右.實驗課的考核成績以學生提交的實驗報告和實驗論文為主，學生的每個實驗都由任課教師依據“真實性、知識性、實踐性、創新性”這四個方面綜合給出成績，試驗總成績根據每個實驗的成績平均得出.高等數學考核方式的改革更加重視知識的實際運用能力，符合素質教育對高等數學教學模式改革的要求.

三、結 語

高等數學實驗課為學生創造出一個科研工作的模擬環境，培養了學生的創新意識和實踐能力，提高了學生的綜合素質.高等數學教師需要有扎實的數學理論基礎，并掌握幾種常用的數學軟件.教師應進一步探索更加靈活的高等數學實驗教學模式，鼓勵學生針對自己感興趣的數學問題設計實驗，使實驗課的內容更加生動，實驗的方式更加靈活.同時，擴大高等數學實驗的內涵，將實驗課的教學模式引入到工科數學的其他課程，進一步完善工科數學實驗教學體系，并逐步擴大范圍，將數學實驗課與大學生數學建模競賽等活動有機結合，吸引更多的學生參與.這對提高教學質量、推動高等數學教學的全面改革、加強素質教育、培育復合型人才，具有十分重要的現實意義.

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